Euclides

Euclides

Biografía
Nacemento	(grc) Εὐκλείδης h. 340 a. C. ↔ 315 a. C. valor descoñecido
Morte	valor descoñecido valor descoñecido
Residencia	Alexandría
Actividade
Campo de traballo	Xeometría
Ocupación	matemático, escritor
Período de tempo	Período helenístico
Período de actividade	(Con vida en: A principios século III a. C. )
Alumnos	Dioclides Atheniensis
Obra
Obras destacables xeometría sintética (século III a. C.) Elementos de Euclides
Descrito pola fonte	Enciclopedia Xudía de Brockhaus e Efron Pequeno Dicionario Enciclopédico de Brockhaus e Efron Dicionario Enciclopédico Brockhaus e Efron

Euclides (en grego antigo: Εὐκλείδης / Eukleídês), ás veces chamado Euclides de Alexandría para distinguilo de Euclides de Megara, (floruit o 300 a.C.), foi un matemático e xeómetra grego. Considerado como "o pai da xeometría". coñéceselle principalmente polo tratado Elementos, que estableceu os fundamentos da xeometría que dominaron en gran parte este campo até principios do século XIX. O seu sistema, agora denominado como xeometría euclidiana, incluía innovacións en combinación cunha síntese de teorías de matemáticos gregos anteriores, como Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quíos, Tales e Teeteto. Xunto con Arquímedes e Apolonio de Perge, Euclides está xeralmente considerado entre os máis grandes matemáticos da antigüidade, e un dos máis influentes na historia das matemáticas.

Sábese moi pouco da vida de Euclides, e a maior parte da información procede dos eruditos Proclo e Pappus de Alexandría moitos séculos despois. Os matemáticos islámicos medievais inventaron unha biografía fantasiosa, e os eruditos medievais do Bizantino e de principios do Renacemento confundírono co filósofo anterior Euclides de Megara. Na actualidade acéptase xeralmente que desenvolveu a súa carreira en Alexandría (Antigo Exipto) en tempos de Tolomeo I Sóter (323-283 a.C.) ao redor do ano 300 a.C., despois dos alumnos de Platón e antes de Arquímedes. Especúlase con que Euclides estudou na Academia Platónica, en pleno florecemento da cultura helenística, e máis tarde ensinou no Museion; considérase que tendeu unha ponte entre a tradición platónica anterior de Atenas e a posterior de Alexandría. Foi o fundador da escola de matemáticas na cidade.

Creador da famosa xeometría euclidiana: o espazo euclidiano, inmutable, simétrico e xeométrico, metáfora do saber na antigüidade clásica, que se mantivo incólume no pensamento matemático medieval e renacentista, pois só nos tempos modernos puideron ser construídos modelos de xeometrías non-euclidianas. Foi o fundador da escola de matemáticas na cidade.

Nos Elementos, Euclides deduciu os teoremas a partir dun pequeno conxunto de axiomas. Tamén escribiu obras sobre perspectiva, sección cónicas, xeometría esférica, teoría de números e rigor matemático. Ademais dos Elementos, Euclides escribiu un texto temperán fundamental no campo da óptica, Óptica, e obras menos coñecidas como Data e Fenómenos. Cuestionouse a autoría de Euclides de Sobre divisións de figuras e Catóptricas. Crese que escribiu moitas obras hoxe en día perdidas.

Traxectoria

Como ocorre con moitos matemáticos da Grecia antiga, os detalles da vida de Euclides son na súa maioría descoñecidos. Considéraselle autor de catro tratados, a maioría dos cales se conservan: Elementos, Óptica, Data e Fenómenos, pero á parte disto, non se sabe nada con certeza sobre el. A narración tradicional segue principalmente o relato de Proclo do século V d.C. no seu Comentario ao primeiro libro dos Elementos de Euclides, así como algunhas anécdotas de Pappus de Alexandría de principios do século IV.

Segundo Proclo, Euclides viviu pouco despois que varios dos seguidores de Platón (m. 347 a.C.) e antes que o matemático Arquímedes. (c. 287 – c. 212 a.C.); En concreto, Proclo sitúa a Euclides durante o goberno de Tolomeo I. (r. 305/304 282 a.C.). A data de nacemento de Euclides é descoñecida; algúns eruditos estiman que foi ao redor do 330 ou 325 a.C., pero outros se absteñen de especular. Suponse que era de ascendencia grega, pero descoñecese o seu lugar de nacemento. Proclo sostiña que Euclides seguía a tradición platónica, pero non hai confirmación definitiva diso. É pouco probable que fose contemporáneo de Platón, polo que a miúdo se presume que foi educado por discípulos de Platón na Academia Platónica de Atenas. O historiador Thomas Heath apoiou esta teoría, sinalando que a maioría dos xeómetras capaces vivían en Atenas, incluídos moitos daqueles en cuxo traballo se baseou Euclides; O historiador Michalis Sialaros considérao unha mera conxectura. En calquera caso, o contido da obra de Euclides demostra a súa familiaridade coa tradición da xeometría platónica.

Na súa Colección, Pappus menciona que Apolonio estudou cos alumnos de Euclides en Alexandría, e isto interpretouse como que Euclides traballou e fundou unha tradición matemática alí. A cidade foi fundada por Alexandre o Grande no ano 331 a.C, e o goberno de Tolomeo I a partir do 306 a.C. déronlle unha estabilidade relativamente única no medio das caóticas guerras por dividir o imperio de Alexandre. Tolomeo iniciou un proceso de helenización e encargou numerosas construcións, edificando a enorme institución Musaeum, que foi un destacado centro de educación. Especúlase que Euclides foi un dos primeiros estudosos do Musaeum. Descoñécese a data da morte de Euclides; especulouse que morreu c. 270 a.C..

Identidade e historicidade

O cadro de Domenico Maroli da década de 1650 Euclide di Megara si traveste da donna per recarsi ad Atene a seguire le lezioni di Socrate. [Euclides de Mégara vístese de muller para ouvir a Sócrates ensinar en Atenas]. Naquela época, considerábase erroneamente que Euclides o filósofo e Euclides o matemático eran a mesma persoa, polo que este cadro inclúe obxectos matemáticos sobre a mesa.

A miúdo faise referencia a Euclides como «Euclides de Alexandría» para diferencialo do filósofo anterior Euclides de Mégara, discípulo de Sócrates incluído en diálogos de Platón con quen foi historicamente confundido. Valerio Máximo, o recopilador romano de anécdotas do século I d.C., substituíu erroneamente o nome de Euclides polo de Eudoxo (século IV a.C.) como o matemático ao que Platón enviaba aos que lle preguntaban como duplicar o cubo. Quizais baseándose nesta mención a un Euclides matemático aproximadamente un século antes, Euclides mesturouse con Euclides de Megara nas fontes bizantinas medievais (agora perdidas), levando finalmente a que se atribuísen a Euclides o matemático detalles das biografías de ambos os homes e describíseselle como Megarensis ( lit. ' de Megara ' ) O erudito bizantino Theodore Metochites (c. 1300) confundiu explicitamente aos dous Euclides, do mesmo xeito que fixo o impresor Erhard Ratdolt na editio princeps de 1482 da tradución latina dos Elementos de Campanus de Novara. Despois de que o matemático Bartolomeo Zamberti engadise a maioría dos fragmentos biográficos existentes sobre Euclides ao prefacio da súa tradución de 1505 dos Elementos, as publicacións posteriores pasaron por alto esta identificación. Estudosos posteriores do Renacemento, en particular Peter Ramus, reevaluaron esta afirmación, demostrando que era falsa por cuestións de cronoloxía e contradición nas primeiras fontes.

As fontes árabes medievais achegan gran cantidade de información sobre a vida de Euclides, pero son totalmente inverificables. A maioría dos estudosos considéranos de dubidosa autenticidade; Heath, en particular, sostén que a ficcionalización fíxose para reforzar a conexión entre un matemático venerado e o mundo árabe. Tamén existen numerosos relatos anecdóticos sobre Euclides, de historicidade incerta, que «o retratan como un ancián amable e xentil». A máis coñecida é a historia de Proclo sobre Tolomeo preguntando a Euclides se había un camiño máis rápido para aprender xeometría que ler os seus Elementos, ao que Euclides respondeu «non hai camiño real cara á xeometría». Esta anécdota é cuestionable, xa que unha interacción moi similar entre Menecmo e Alexandre o Grande recóllese en Estobeu. Ambos os relatos foron escritos no século V d.C., ningún indica a súa fonte e ningún aparece na literatura grega antiga.

Calquera datación firme da actividade de Euclides c.300 a.C ponse en dúbida pola falta de referencias contemporáneas. A referencia orixinal máis antiga a Euclides atópase na carta prefatoria de Apolonio ás Cónicas (principios do século II a.C.): «O terceiro libro das Cónicas contén moitos teoremas asombrosos que son útiles tanto para as sínteses como para as determinacións do número de solucións de lugares xeométricos sólidos. A maioría deles, e os máis finos, son novos. E cando as descubrimos démonos conta de que Euclides non fixera a síntese do lugar xeométrico en tres e catro liñas, senón só un fragmento accidental da mesma, e nin sequera iso estaba felizmente feito." Especúlase que os Elementos estaban polo menos en parte en circulación no século III a.C., xa que Arquímedes e Apolonio dan por sentadas varias das súas proposicións; con todo, Arquímedes emprega unha variante da teoría das proporcións máis antiga que a que se atopa nos Elementos. As copias físicas máis antigas do material incluído nos Elementos, que datan aproximadamente do ano 100 d.C., poden atoparse en fragmentos de papiro desenterrados nun antigo vertedoiro de Oxyrhynchus, Exipto romano. As citas directas máis antigas que existen dos Elementos en obras cuxas datas se coñecen con certeza non son até o século II d.C., por Galeno e Alexandre de Afrodisias; para entón era un texto escolar estándar. Algúns matemáticos gregos antigos mencionan a Euclides polo seu nome, pero normalmente refírense a el como «ὁ στοιχειώτης» («o autor de “”Elementos“”»). Na Idade Media, algúns eruditos sostiñan que Euclides non era un personaxe histórico e que o seu nome xurdiu dunha corrupción de termos matemáticos gregos.

Convidado por Tolomeo I para compor o cadro de profesores da recentemente fundada Academia, que tornaría Alexandría ao centro do saber da época, tornouse o máis importante autor de matemáticas da Antigüidade grecorromana e talvez de todos os tempos, co seu monumental Stoichia (Elementos, 300 a.C.), no estilo dun libro de texto, unha obra en trece volumes, deles cinco sobre xeometría plana, tres sobre números, un sobre a teoría das proporcións, un sobre inconmensurábeis e os tres últimos sobre xeometría no espazo. Escrita en grego, a obra cubría toda a aritmética, a álxebra e a xeometría coñecidas ata entón no mundo grego, reunindo o traballo dos seus predecesores, como Hipócrates de Quíos e Eudoxio, e sistematizaba todo o coñecemento xeométrico dos antigos e intercalaba os teoremas xa coñecidos daquela coa demostración de moitos outros, que completaban lagoas e daban coherencia e encadeamento lóxico ao sistema por el creado. Despois da súa primeira edición foi copiado e recopiado innúmeras veces e traducido ao árabe en 774, e tornouse o máis influente texto científico de todos os tempos e un dos máis veces publicados ao longo da historia.

Despois da caída do Imperio Romano, os seus libros foron recuperados para a sociedade europea polos estudosos árabes da Península Ibérica. Escribiu aínda Óptica (295 a.C.), sobre a óptica da visión e sobre astroloxía, astronomía, música e mecánica, ademais doutros libros sobre matemáticas. Entre eles Lugares de superficie, Pseudaria e Porismas.

Obra

Fragmentos dos Elementos de Euclides, nun papiro atopado no sitio arqueolóxico de Oxirrinco (Exipto).

Algunhas das súas obras como Os elementos, Datos, outro libro de texto, unha especie de manual de táboas de uso interno na "Academia" e complemento dos seis primeiros volumes dos Elementos, División de figuras, sobre a división xeométrica de figuras planas, Fenomena (Os Fenómenos), sobre astronomía, e Óptica, sobre a visión, sobreviviron parcialmente e hoxe son, despois de A Esfera de Autólico, os máis antigos tratados científicos gregos existentes. Pola maneira de expor nos seus escritos dedúcese que foi un habilísimo profesor.

As mencións a obras atribuídas a Euclides figuran en varios autores, en particular na Colección matemática de Pappus e no Comentario aos Elementos de Euclides debido a Proclo.

Data, Sobre as divisións, Catóptrica, Fenómenos do ceo e Óptica. Por fontes árabes, atribúenselle a Euclides varios tratados sobre mecánica. Sobre o pesado e o lixeiro contén, en nove definicións e cinco proposicións, as nocións aristotélicas sobre o movemento dos corpos e o concepto de gravidade específica. Sobre o equilibrio trata a teoría da panca, tamén de forma axiomática, cunha definición, dous axiomas e catro proposicións. Un terceiro fragmento sobre os círculos descritos polos extremos dunha panca móbil contén catro proposicións. Estas tres obras compleméntanse de tal maneira unhas coas outras que se suxeriu que son remanentes dun único tratado de Mecánica escrito por Euclides.

Os Elementos

A súa obra Elementos é unha das producións científicas máis coñecidas do mundo e era unha recompilación do coñecemento impartido no ámbito académico de entón. Os Elementos non eran, como se pensa ás veces, un compendio de todos os coñecementos xeométricos, senón máis ben un texto introdutorio que cubría toda a matemática elemental, é dicir a aritmética, a xeometría sintética e o álxebra.

Os Elementos están divididos en trece libros ou capítulos, dos cales a primeira media ducia son sobre xeometría plana elemental, os tres seguintes sobre teoría de números, o libro X Sobre os inconmensurables (isto é, sobre os números irracionais, probablemente unha refundición de Teéteto), e o tres últimos principalmente sobre xeometría de sólidos.

Nos libros dedicados a xeometría, partindo unicamente de cinco postulados, preséntase de maneira formal o estudo das propiedades de liñas e planos, círculos e esferas, triángulos e conos, etc.; é dicir, das formas regulares. Probablemente ningún dos resultados dos Elementos sexa demostrado por primeira vez por Euclides, pero a organización do material e a súa exposición sen ningunha dúbida débense a el. De feito, hai moita evidencia de que Euclides usase libros de texto anteriores cando escribía os Elementos, xa que presenta un gran número de definicións que non son usadas, talles como a dun oblongo, un rombo e un romboide. Os teoremas de Euclides son os que xeralmente se aprenden na escola moderna. Por citar algúns dos máis coñecidos:

• A suma dos ángulos interiores de calquera triángulo é 180°.
• Nun triángulo rectángulo, o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos catetos, que é o famoso teorema de Pitágoras.

Nos libros VII, VIII e IX dos Elementos estúdase a teoría da divisibilidade. Considera a conexión entre os números perfectos e os números primos de Mersenne (coñecida como o teorema de Euclides-Euler), a infinitude dos números primos (Teorema de Euclides), o lema de Euclides sobre a factorización (que conduce ao teorema fundamental da aritmética sobre a unicidade das factorizacións dos números primos) e o algoritmo de Euclides para atopar o máximo común divisor de dous números.

A xeometría de Euclides, ademais de ser un poderoso instrumento de razoamento dedutivo, foi extremadamente útil en moitos campos do coñecemento; por exemplo, na física, na astronomía, na química e diversas enxeñarías. Desde logo, é moi útil nas matemáticas. Inspirada pola harmonía da presentación de Euclides, no século II formulouse a teoría tolemaica do universo, segundo a cal a Terra é o centro do universo, e os planetas, a Lúa e o Sol dan voltas ao seu ao redor en liñas perfectas, é dicir, circunferencias e combinacións de circunferencias. Con todo, as ideas de Euclides constitúen unha considerable abstracción da realidade. Por exemplo, supón que un punto non ten tamaño; que unha liña é un conxunto de puntos que non ten nin anchura nin grosor, soamente lonxitude; que unha superficie non ten groso, etcétera. En vista de que o punto, de acordo con Euclides, non ten tamaño, asígnaselle unha dimensión ou magnitude nula ou cero. Unha liña ten soamente lonxitude, polo que adquire unha dimensión igual a un. Unha superficie non ten espesor, non ten altura, polo que ten dúas dimensión: ancho e longo. Finalmente, un corpo sólido, como un cubo, ten tres dimensión: longo, ancho e alto. Euclides tentou resumir todo o saber matemático no seu libro Os elementos. A xeometría de Euclides foi unha obra que perdurou sen variacións até o século XIX.

Dos axiomas de partida, soamente o das liñas paralelas parecía menos evidente. Diversos matemáticos tentaron sen éxito prescindir de devandito axioma tentándoo deducir do resto dos axiomas e presentalo como un teorema, sen logralo.

Finalmente, algúns autores crearon xeometrías novas baseándose en invalidar ou substituír o axioma das paralelas, dando orixe ás "xeometrías non euclidianas". Devanditas xeometrías (a xeometría elíptica e a xeometría hiperbólica) teñen como característica principal que ao cambiar o axioma das paralelas os ángulos dun triángulo xa non suman 180 graos: a primeira suma máis, e a segunda menos.

Outras obras

Ademais dos Elementos, sobreviviron polo menos cinco obras de Euclides até a actualidade. Seguen a mesma estrutura lóxica que os Elementos, con definicións e proposicións probadas.

• Datos. Trata sobre a natureza e as implicacións da información "dada" en problemas xeométricos; o tema está intimamente relacionado cos catro primeiros libros dos Elementos.
• División de figuras. Consérvase só parcialmente na tradución árabe e trata da división de figuras xeométricas en dúas ou máis partes iguais ou en partes en determinadas proporcións. É semellante a unha obra do século III de Herón de Alexandría.
• Catóptricos. Trata da teoría matemática de espellos, en particular das imaxes formadas no plano e de espellos cóncavos esféricos. A autoría é considerada dubidosa por J.J. O'Connor e E.F. Robertson que nomean a Teón de Alexandría como o autor máis probable.

Estatua de Euclides na Universidade de Oxford.

• Fenomena ou Aparencias do ceo. É un tratado sobre astronomía esférica, consérvase en grego e é moi semellante a Sobre a movemento da esfera de Autólico de Pitane, que floreceu aproximadamente no 310 a.C.
• Óptica. É o tratado grego máis antigo que se conserva, en diversas versións, dedicado a problemas de perspectiva e aparentemente destinada a ser utilizada en astronomía. Nas súas definicións Euclides segue a tradición platónica na que a visión é causada por raios que emanan do ollo. Unha definición importante é a cuarta: "As cousas vistas baixo un ángulo maior parecen maiores, e menores baixo un ángulo menor, mentres que baixo ángulos iguais parecen iguais". Nas proposicións que se seguen, Euclides relaciona o tamaño aparente dun obxecto á súa distancia do ollo e investiga as formas aparentes de cilindros e conos vistos de diferentes ángulos. Na proposición 45 proba que, para calquera dúas magnitudes desiguais, hai un punto a partir do cal as dúas parecen iguais. Pappus cría que estes resultados eran importantes na astronomía e incluíu a Óptica de Euclides, xunto co Fenomena na pequena Astronomía, un compendio de obras menores que había que estudar antes da Syntaxis (Almaxesto) de Claudio Tolomeo.

Outras obras atribuídas a Euclides, pero que se perderon:

• Cónicas, foi un tratado sobre seccións cónicas, posteriormente ampliado por Apolonio de Perge nun traballo famoso sobre o mesmo tema. É probable que os catro primeiros libros da obra de Apolonio veñan directamente de Euclides. Segundo Pappus, «Apolonio, completou os catro libros de Euclides de cónicas e despois de engadir catro máis, deixou oito volumes de cónicas.» O Cónicas de Apolonio substituíu rapidamente o antigo tratado, e polo tempo de Pappus, a obra de Euclides xa estaba perdida.
• Porisms, podería ser unha ampliación do traballo de Euclides coas seccións cónicas, pero o significado exacto do título é controvertido.
• Pseudaria, ou Libro das falacias, era un texto elemental sobre erros de razoamento.
• Sobre os lugares xeométricos. Trataba sobre os lugares xeométricos ou sobre superficies ou lugares xeométricos que eran eles mesmos superficies. Nunha interpretación posterior, existe a hipótese de que a obra podería tratar de superficies quádricas.

Varios tratados sobre mecánica foron atribuídos a Euclides por fontes árabes. Sobre o pesado e o lixeiro contén, en nove definicións e cinco proposicións, nocións aristotélicas de corpos en movemento e do concepto de gravidade específica. Sobre o equilibrio, que trata a teoría da panca de maneira semellante á euclidiana, contén unha definición, dous axiomas, e catro proposicións. Un terceiro fragmento, sobre os círculos descritos polas extremidades dunha panca en movemento, contén catro proposicións. Estas tres obras son complementarias entre si de tal xeito que se suxeriu que son os restos dun único tratado sobre mecánica escrito por Euclides.

Galería de imaxes

• 
  Euclides na pintura de Rafael, A escola de Atenas (1509).
• 
  A construción de Euclides dun dodecaedro regular.

Notas

Referencias

Véxase tamén

Bibliografía

• Artmann, Benno (2012) [1999]. Euclid: The Creation of Mathematics. Nova York: Springer Publishing. ISBN 978-1-4612-1412-0. 
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th ed.). Mineola: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20630-1. 
• Bruno, Leonard C. (2003) [1999]. Math and Mathematicians: The History of Math Discoveries Around the World. Baker, Lawrence W. Detroit: U X L. ISBN 978-0-7876-3813-9. OCLC 41497065. 
• Boyer, Carl B. (1991) [1968]. A History of Mathematics (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Cuomo, Serafina (2005) [2001]. Ancient Mathematics. Londres e Nova York: Routledge. ISBN 978-1-134-71019-5. 
• Fowler, David (1999). The Mathematics of Plato's Academy (2nd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850258-6. 
• Goulding, Robert (2010). Defending Hypatia: Ramus, Savile, and the Renaissance Rediscovery of Mathematical History. Dordrecht: Springer Netherlands. ISBN 978-90-481-3542-4. 
• Heath, Thomas, ed. (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements 1. Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60088-8. 
• Heath, Thomas, ed. (1908b). The Thirteen Books of Euclid's Elements 2. Nova York: Dover Publications. 
• Heath, Thomas L. (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics 2. Nova York: Dover Publications.  ISBN 0-486-24073-8
• Jahnke, Hans Niels (2010). "The Conjoint Origin of Proof and Theoretical Physics". En Hanna, Gila; Jahnke, Hans Niels; Pulte, Helmut. Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives. Berlin: Springer US. ISBN 978-1-4419-0576-5. 
• Jones, Alexander, ed. (1986). Pappus of Alexandria: Book 7 of the Collection. Part 2: Commentary, Index, and Figures. Nova York. ISBN 978-3-540-96257-1. 
• Katz, Victor J.; Michalowicz, Karen Dee (2020) [2005]. Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics. Washington D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 978-1-4704-5711-2. 
• Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Nova York: Sterling Publishing. ISBN 978-1-4027-5796-9. 
• Sialaros, Michalis (2018). "How Much Does a Theorem Cost?". En Sialaros, Michalis. Revolutions and Continuity in Greek Mathematics. Berlin: De Gruyter. pp. 89–106. ISBN 978-3-11-056595-9. 
• Sialaros, Michalis (2020). "Euclid of Alexandria: A Child of the Academy?". En Kalligas, Paul; Balla, Vassilis; Baziotopoulou-Valavani, Chloe; Karasmanis, Effie. Plato's Academy. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 141–152. ISBN 978-1-108-42644-2. 
• Smorynski, Craig (2008). History of Mathematics: A Supplement. Nova York: Springer Publishing. ISBN 978-0-387-75480-2. 
• Tracy, Stephen V (2000). "Demetrius of Phalerum: Who was He and Who was He Not?". En Fortenbaugh, William W.; Schütrumpf, Eckhart. Demetrius of Phalerum: Text, Translation and Discussion. Rutgers University Studies in Classical Humanities IX. New Brunswick and London: Transaction Publishers. ISBN 978-1-3513-2690-2. 
• Venema, Gerard (2006). The Foundations of Geometry. Hoboken: Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-143700-5. 
• Wolfe, Harold E. (1945). Introduction To Non-Euclidean Geometry. Nova York: Dryden Press. 

Outros artigos

• Adelard de Bath
• Xeometría

Ligazóns externas

• Biografía de Euclides en biografiasyvidas.com (en castelán).
• Biografía de Euclides (en castelán).
• Bibliografía de Euclides Arquivado 14 de xullo de 2013 en Wayback Machine. (en castelán).
• Obras de Euclides en castelán e catalán (en castelán).