סדרת קושי – הבדלי גרסאות

 

'''הגדרה פורמלית:''' יהי <math>\left(X,d\right)</math> [[מרחב מטרי]], ותהי <math>\left\{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> סדרה במרחב זה. אומרים כי זו '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>N</math> מתאים לו, כך שלכל <math>n,m > N</math> מתקיים <math>d\left(a_n,a_m\right) < \varepsilon</math>.

 

בכל מרחב מטרי, כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. מאידך ישנם מרחבים מטריים בהם יש סדרות קושי שאינן מתכנסות. [[מרחב מטרי שלם]] הוא כזה שבו לכל סדרת קושי בו קיים [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] הם דוגמה למרחב מטרי שלם. דוגמה למרחב מטרי שאינו שלם היא הקטע הפתוח <math>\left(0,1\right)</math> עם המטריקה המושרית מהמספרים הממשיים, שכן הסדרה <math>\left\{ 1/n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> היא סדרת קושי שאין לה גבול בקטע.