חוג השלמים האלגבריים

חוג השלמים האלגברים הוא חוג הכולל את כל המספרים האלגברים שהם פתרונות של פולינום מתוקן עם מקדמים שלמים. החוג הזה הוא תת-חוג של שדה המספרים האלגברים. חוג השלמים האלגבריים הוא תחום פרופר שאינו תחום דדקינד.

הגדרות שקולות לשלם אלגברי

בהינתן $K$ הרחבה סופית של שדה המספרים הרציונליים, אז ההגדרות הבאות שקולות:

• $\alpha \in K$ הוא שלם אלגברי אם קיים פולינום מתוקן $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ כך ש- $f(\alpha )=0$.
• $\alpha \in K$ הוא שלם אלגברי אם הפולינום המתוקן המינימלי של $\alpha$ מעל $\mathbb {Q}$ שייך ל-$\mathbb {Z} [x]$.
• $\alpha \in K$ הוא שלם אלגברי אם הוא איבר שלם של ההרחבה הסופית $K/\mathbb {Q}$.

דוגמאות לאיברים

• כל מספר שלם הוא שלם אלגברי.
• כל שורש יחידה הוא שלם אלגברי.

קישורים חיצוניים

• חוג השלמים האלגבריים, באתר MathWorld (באנגלית)