במתמטיקה, בתחום תורת המידה , פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים , והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה , הוא קבוצה מדידה .
בניסוח פורמלי, אם
(
X
,
M
X
)
,
(
Y
,
M
Y
)
{\displaystyle \ (X,{\mathcal {M}}_{X}),(Y,{\mathcal {M}}_{Y})}
f
:
(
X
,
M
X
)
→
(
Y
,
M
Y
)
{\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})}
∀
V
∈
M
y
:
f
−
1
(
V
)
∈
M
x
{\displaystyle \ \forall V\in {\mathcal {M}}_{y}\ :\ f^{-1}(V)\in {\mathcal {M}}_{x}}
אם נתון מרחב טופולוגי
X
{\displaystyle \ X}
אלגברת בורל , כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה
σ
{\displaystyle \ \sigma }
קבוצות הפתוחות .
לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית , מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות , ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.
פונקציה מדידה
f
:
(
X
,
B
X
)
→
(
Y
,
B
Y
)
{\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {B}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {B}}_{Y})}
מדידת בורל כאשר
B
X
,
B
Y
{\displaystyle \ {\mathcal {B}}_{X},{\mathcal {B}}_{Y}}
פונקציה רציפה היא מדידת בורל , אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
פונקציה מדידה
f
:
(
R
n
,
L
n
)
→
(
R
,
B
)
{\displaystyle \ f:(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {L}}_{n})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
מדידת לבג אם
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
L
n
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}
לבג .
תהא f פונקציה
f
:
(
X
,
M
X
)
→
(
R
,
B
)
{\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
לכל
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
>
t
}
{\displaystyle \{x\in X\mid f(x)>t\}}
לכל
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
≥
t
}
{\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\geq t\}}
לכל
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
<
t
}
{\displaystyle \{x\in X\mid f(x)<t\}}
לכל
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
≤
t
}
{\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\leq t\}}
לכל
U
∈
B
{\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}
f
−
1
(
U
)
{\displaystyle \ f^{-1}(U)}
אם הפונקציות
g
:
(
Y
,
M
Y
)
→
(
Z
,
M
Y
)
{\displaystyle \ g:(Y,{\mathcal {M}}_{Y})\rightarrow (Z,{\mathcal {M}}_{Y})}
f
:
(
X
,
M
X
)
→
(
Y
,
M
Y
)
{\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})}
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
אם
f
,
g
:
(
X
,
M
X
)
→
(
R
,
B
)
{\displaystyle \ f,g:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
∀
x
∈
X
,
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \forall x\in X,g(x)\neq 0}
f
g
{\displaystyle {\frac {f}{g}}}
אם
f
n
:
(
X
,
M
X
)
→
(
R
,
B
)
{\displaystyle \ f_{n}:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
sup
n
f
n
,
inf
n
f
n
,
lim sup
n
f
n
,
lim inf
n
f
n
{\displaystyle \sup _{n}f_{n},\;\inf _{n}f_{n},\;\limsup _{n}f_{n},\;\liminf _{n}f_{n}}
lim
n
f
n
{\displaystyle \lim _{n}f_{n}}
אם
f
:
(
X
,
M
X
)
→
(
Y
,
M
Y
)
{\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})}
C
{\displaystyle C}
Y
{\displaystyle Y}
σ
(
C
)
=
M
Y
{\displaystyle \sigma (C)={\mathcal {M}}_{Y}}
f
{\displaystyle f}
אם ורק אם
∀
A
∈
C
:
f
−
1
(
A
)
∈
M
X
{\displaystyle \forall A\in C:{f}^{-1}(A)\in {\mathcal {M}}_{X}}
קבוצה פורשת " של הסיגמא-אלגברה.
עריכה
פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים.
יהא
X
{\displaystyle \ X}
{
A
k
}
1
n
{\displaystyle \{A_{k}\}_{1}^{n}}
קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה
s
(
x
)
=
∑
1
n
α
k
χ
A
k
(
x
)
{\displaystyle \ s(x)=\sum _{1}^{n}\alpha _{k}\chi _{A_{k}}(x)}
χ
A
k
{\displaystyle \chi _{A_{k}}}
פונקציה מציינת .
אם
(
X
,
M
X
)
{\displaystyle \ (X,{\mathcal {M}}_{X})}
A
k
{\displaystyle \ A_{k}}
s
(
x
)
{\displaystyle \ s(x)}
משפט : לכל פונקציה מדידה
f
:
(
X
,
M
X
)
→
(
R
,
B
)
{\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
s
n
:
(
X
,
M
X
)
→
(
R
,
B
)
{\displaystyle \ s_{n}\ :(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
lim
n
→
∞
s
n
=
f
{\displaystyle \ \lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=f}
f
≥
0
{\displaystyle \ f\geq 0}
0
≤
s
n
≤
s
n
+
1
{\displaystyle 0\leq s_{n}\leq s_{n+1}}
0
≤
|
s
n
|
≤
|
s
n
+
1
|
{\displaystyle 0\leq |s_{n}|\leq |s_{n+1}|}
