הלמה של יונדה

הלמה של יונדה היא תוצאה יסודית בתורת הקטגוריות המראה כיצד אובייקט בקטגוריה נקבע לפי המורפיזמים ממנו לשאר האובייקטים בקטגוריה.

פונקטורים יציגים וניסוח לא פורמלי

תהא ${\mathcal {C}}$ קטגוריה ויהא $c$ אובייקט ב-${\mathcal {C}}$. ההעתקה

$h_{c}:{\mathcal {C}}\rightarrow (Sets)$

המוגדרת על ידי $h_{c}(d)=Hom_{\mathcal {C}}(c,d)$ מגדירה פונקטור בין ${\mathcal {C}}$ לבין הקטגוריה של קבוצות. גרסה חלקית של הלמה של יונדה אומרת שכל המידע שיש על האובייקט $c$ נמצא בפונקטור $h_{c}$. בניסוח מדויק יותר, הטענה היא שההעתקה $c\mapsto h_{c}$ מהקטגוריה ${\mathcal {C}}$ לקטגוריה $Func({\mathcal {C}},(Sets))$ של פונקטורים מ-${\mathcal {C}}$ לקטגורית הקבוצות היא שיכון (פונקטור מלא ונאמן), כלומר שההעתקה

$Hom_{\mathcal {C}}(c,d)\rightarrow Nat(h_{c},h_{d})$

היא חד חד ערכית ועל.

הניסוח המלא מאפשר להחליף את הפונקטור $h_{d}$ בפונקטור כללי.

ניסוח פורמלי

תהא ${\mathcal {C}}$ קטגוריה, יהא $c$ אובייקט של ${\mathcal {C}}$, ויהא $F$ פונקטור מ-${\mathcal {C}}$ לקטגורית הקבוצות. אזי יש איזומורפיזם טבעי

$Nat(h_{c},F)\cong F(c)$

קישורים חיצוניים

https://www.math3ma.com/blog/the-yoneda-lemma