מד כושר

תרשים המציג את התוצאה הממוצעת של משחק שחמט בהינתן מד הכושר של השחקנים. הקו השחור האלכסוני מייצג משחקים בהם לשני הצדדים יש את אותו מד כושר. ניתן לראות את היתרון הקל שיש לשחקן הלבן. כמו כן ניתן לראות שככול שמד הכושר עולה כך אחוז המשחקים שמסתיימים בתיקו גדל (בהינתן שלשני השחקנים מד כושר דומה).

מד כושר הוא שיטה מקובלת לדירוג של שחקני שחמט, המבוססת על מודל סטטיסטי פשוט ויציב ומנוהלת על ידי התאחדות השחמט העולמית (פיד"ה). לפי שיטה זו, לכל שחמטאי פעיל יש דירוג מספרי, המעודכן באופן קבוע לפי הניצחונות וההפסדים שלו במשחקים תחרותיים, באופן הלוקח בחשבון גם את רמתם של היריבים שמולם שיחק: ניצחון נגד שחקן חזק מקנה יותר נקודות מניצחון נגד שחקן חלש ממנו.

ציון מד הכושר אמור לשקף את יכולתו של השחמטאי בדרך של חיזוי התוצאות שלו, ולענות על השאלה כיצד צפוי להסתיים דו-קרב בין שני שחקנים, אף אם מעולם לא שיחקו זה כנגד זה. הסולם הוא לוגריתמי – שחקנים בעלי ציוני מד כושר $\ R_{1}$ ו- $\ R_{2}$ אמורים (בתוחלת) לחלק ביניהם את הנקודות במשחק ביחס של $\ 10^{R_{1}/400}$ ל-$\ 10^{R_{2}/400}$. לדוגמה, דו-קרב בן 11 משחקים בין שני שחקנים, שהפרש מד הכושר שלהם 400 נקודות, אמור (בתוחלת) להסתיים בתוצאה 10:1, ואילו הפרש של 32 נקודות אמור (שוב, בתוחלת) להסתיים בתוצאה של 6:5.

את השיטה פיתח הפיזיקאי והשחמטאי ארפד אלו (Elo) בשנות ה-50 של המאה ה-20, וב-1970 היא אומצה על ידי פיד"ה, לאחר שינויים והתאמות. מלבד בשחמט, השיטה משמשת לדירוג שחקנים וקבוצות גם בכמה ענפי ספורט אחרים.

היסטוריה ותיאור המודל

הצורך בדירוג השחמטאים הרואים עצמם מועמדים לתואר הוכר מאז שהוחל בקיום תחרויות על הזכות להתמודד בדו-קרב עם אלוף העולם בשחמט. מאז ראשית המאה ה-20, הדירוג נקבע על-פי הישגי השחקנים בתחרויות, בדרך של צבירת ניקוד על ניצחונות. הקביעה כמה נקודות יש להעניק לכל הישג היא שרירותית, וארגוני השחמט השונים השתמשו בשיטות שונות. בפדרציית השחמט של ארצות הברית (USCF) הייתה מקובלת "שיטת Harkness", המבוססת על אותו עיקרון.

בשנות ה-50 של המאה ה-20 פיתח הפיזיקאי והשחמטאי ארפד אלו, בשיתוף עם ה-USCF, שיטה סטטיסטית עקבית לדירוג השחקנים. העבודה התבססה על רעיונות שהציגו הסטטיסטיקאים ראלף בראדלי ומ. טרי ב-1952.

השיטה מבוססת על ההנחה שלכל שחקן יש "כושר אמיתי", שאינו ידוע ואינו ניתן למדידה ישירה; הכושר האמיתי עשוי להשתנות עם הזמן, אך הוא אינו משתנה במהירות. אם הניצחון במשחק היה נקבע באופן ישיר על ידי הכושר האמיתי של שני היריבים, אפשר היה למדוד את ציוני הכושר האמיתי בקלות. בפועל, מניח המודל של אלו, מגריל השחקן מעין "כושר רגעי" בכל משחק, והשחקן בעל הכושר הרגעי הגבוה יותר – מנצח. הכושר הרגעי תלוי בכושר האמיתי, אך הוא עשוי להיות נמוך או גבוה ממנו. מד הכושר מתעדכן באופן שוטף על-פי הישגי השחמטאי, הנקבעים על-פי ציוני מד הכושר הרגעיים שלו במשחקים השונים. אלו, בתורם, נקבעים על ידי מד הכושר האמיתי, גם אם בזה לא ניתן לצפות באופן ישיר. על ידי עדכון מד הכושר באופן מתאים (כפי שיוסבר בהמשך), אמורים הניצחונות וההפסדים להצטבר באופן כזה שמד הכושר יהיה אומד חסר הטיה של ציון הכושר האמיתי.

כדי לפשט את המודל שלו, אלו אינו מנסה לחזות את הסיכוי לניצחון או לתיקו, אלא מודד רק את הנקודות הנצברות במשחק. מנקודת מבט זו, תיקו נחשב כחצי ניצחון וחצי הפסד, ורק מספר הניצחונות (הכולל מחצית ממספר תוצאות התיקו) קובע.

בעבודתו המקורית, הציע אלו שהכושר הרגעי מתפלג התפלגות נורמלית, שהערך הממוצע שלה שווה לכושר האמיתי, וסטיית התקן מכוילת באופן כזה שהפרש של 200 נקודות יביא לחלוקה צפויה של הנקודות במשחק ביחס של 3:1. ה-USCF אימץ את המודל ב-1960, ובחר את הערך 1500 כציון הממוצע של שחקן רשום במועדון.

אם הכושר הרגעי מתפלג נורמלית, אז ההפרש בין שני ציוני כושר רגעי (של שני שחקנים יריבים) אמור גם הוא להיות בעל התפלגות נורמלית. מדידות שנעשו לאורך זמן, הראו שהנחה זו אינה תואמת את המציאות. מסיבה זו, ובעקבות ניתוח תאורטי, תוקנה ההנחה לכך שהציון הרגעי מתפלג לפי התפלגות הערך הקיצוני (שהיא ההתפלגות של הערך המקסימלי של משתנים מקריים רבים). פירושה של הנחה זו הוא שבדרך-כלל ציון הכושר הרגעי נמוך במעט מציון הכושר האמיתי, אך מפעם לפעם הוא גבוה ממנו במידה משמעותית. מכאן נובע, מתמטית, שההפרש בין הציונים הרגעיים מתפלג לוגיסטית – דבר המקנה לשחקנים חלשים סיכוי גבוה יותר מזה שנותן להם המודל הקודם (משום שהזנבות של ההתפלגות הלוגיסטית דועכים כמו $\ e^{-z}$, ולא כמו בהתפלגות נורמלית שקצב הדעיכה שלה, $\ e^{-z^{2}}$, מהיר בהרבה).

ב-1970 אימץ פיד"ה את השיטה המתוקנת. אלו עצמו כתב על השיטה ואופניה השונים את הספר 'דירוג שחקני שחמט, עבר ועתיד', שפורסם ב-1978.

פרטים טכניים ושיקולים תאורטיים

משמעות הציון

כאמור לעיל, ההפרש בין ציוני הכושר הרגעיים של שני מתחרים, שציון הכושר האמיתי שלהם $\ R_{1}$ ו- $\ R_{2}$, מתפלג לוגיסטית, סביב ההפרש $\ D=R_{1}-R_{2}$. מן הנוסחאות המתארות את ההתפלגות הלוגיסטית אפשר לחשב שכל נקודה אמורה להיות מחולקת בין שני הצדדים ביחס של $\ 1:10^{D/400}$.

על-פי ה-USCF, לאמן אמור להיות דירוג של 2200–2400, ואמן בינלאומי, דירוג 2400 ומעלה. הפרש של 200 נקודות פירושו שדו-קרב בן 8 משחקים אמור להסתיים בתוצאה החריגה 6:2. בדרך כלל הפער בין מתמודדים בתחרויות אינו מגיע לרמה כזו.

אתחול

כיום מקובל לאתחל את הדירוג ההתחלתי של שחקן בוגר שאינו מדורג לפי רמת ביצועיו כנגד שחקנים מדורגים אחרים. באיגוד הישראלי לשחמט הדירוג המינימלי הוא 1200, ואחרי ששחקן עוקף את ה-1400 הוא אינו יכול לרדת מתחת לזה.

אופן העדכון

לאחר תחרות, מעדכנים את מד הכושר של כל משתתף. העדכון תלוי בעיקר ב"מקדם המהירות" K: מקדם גבוה מאפשר לעדכן את הדירוג במהירות, ומקדם נמוך שומר יותר על יציבותו. מקובל להשתמש בערך K=32 לשחקנים חלשים ופחות מנוסים, ובערך K=16 לאמנים ולשחקנים ותיקים. את המקדם הזה מכפילים בהפרש שבין הציון בפועל, לציון הצפוי. זהו תיקון סביר, משום שעבור שחקן שביצועיו עולים על אלו שחוזה מד הכושר שלו, סביר שמד הכושר נמוך מציון הכושר האמיתי (הנוכחי) שלו, ולהפך.

כיוון שהניקוד הצפוי לשחקן A המתמודד נגד שחקן B מנוגד לזה הצפוי לשחקן B המתמודד נגד A (סכום הנקודות הוא 1), אפשר לראות במודל העדכון מעין העברה של נקודות מן המפסיד למנצח בכל משחק.

סטיית התקן

ארפד אלו הניח שלכל השחקנים אותה סטיית תקן, כלומר, שפיזור הציונים הרגעיים סביב לציון האמיתי, אינו תלוי בשחקן. הנחה זו מפשטת את הניתוח המתמטי ואת החישובים, אך היא אינה הכרחית (משום שכח החישוב הדרוש לעדכון סטיות תקן אישיות נמצא בהישג יד), וגם אינה נכונה (ידוע שיש שחקנים הנוטים יותר להתעלות או לשגות באופן קיצוני ביחס לרמתם הממוצעת, ויש כאלו הנוטים להיות יציבים יותר). עם זאת, שילוב של סטיות תקן שונות במודל יביא לכך ששחקן המפסיד במשחק מול שחקן בעל אותו מד כושר, יאבד נקודות במספר השונה ממספר הנקודות שיריבו יזכה בהן. המומחים חוששים שבמקרה כזה, תתעורר תחושה של חוסר-צדק או אפליה מכוונת, ומעדיפים בשל כך להיצמד למודל הפשוט והפחות מדויק.

בעיות ידועות

• שרירותיות – בחירת גודלו של הקבוע K שרירותית. הקבוע שומר על מד הכושר מקפיצות פתאומיות, אך בולם שינוי במקרה שמד הכושר משתנה במהירות לאורך זמן קצר (כתוצאה מלימוד אינטנסיבי, לדוגמה). קשה להצדיק את הערך 16 שנבחר בשיטת פיד"ה.
• אי-התאמה לנתונים – מדידות של אלפי משחקים מראות ששחקנים "חלשים" מצליחים יותר מכפי שהם אמורים להצליח לפי המודל. פירושו של דבר שישנה הערכת יתר של ההפרש בין ציוני הכושר.
• זליגת נקודות – שחקן מן השורה מקבל 1600 נקודות כשהוא נכנס לדירוג, ופורש כשרמתו גבוהה יותר. בין הכניסה לפרישה, השחקנים מעבירים נקודות ביניהם, ולכן ההפרש בין נתוני הפרישה לנתוני הפתיחה אמור לגרום לדחיקת הדירוג הממוצע כלפי מטה.
• אינפלציה – הניסיונות לתקן את זליגת הנקודות (למשל, בדרך של בונוסים המוענקים למשתתפים בתחרויות חזקות, ואינם נלקחים משחקנים אחרים), גורמים לעליה בדירוג מד-הכושר הממוצע לאורך הזמן.
• מדידה יחסית או מוחלטת – יש הטוענים כי עליית מד הכושר הממוצע מוצדקת, לאור התפתחות המומחיות של שחקני השחמט מבחינה תאורטית, בידע הפתיחות והסיומים, וכדומה. השאלה היא האם מד הכושר אמור לשקף כושר מוחלט, ולאפשר השוואה בין שחקן בן המאה ה-21 לשחקן מראשית המאה ה-20, או להשוות את השחקן לבני תקופתו.
• קושי בהשוואות היסטוריות – עקרונית, אפשר לחשב את מד הכושר אחורנית, גם לתקופות בהן טרם הונהג, מתוך השוואת נתונים היסטוריים של המשחקים הידועים לנו. מד הכושר אמור לסייע לענות על השאלה מי אמור היה לנצח בדו-קרב תאורטי בין בובי פישר וחוסה קפבלנקה, וכדומה. בפועל, מרחק השנים בין המדידות מקשה על ההשוואה, גם בשל בעיית האינפלציה שהוזכרה לעיל.

ישראלים בצמרת השחמט

בזכות העלייה מברית המועצות לשעבר בשנות ה-90 הפכה ישראל למעצמת שחמט, וכיום מתגוררים בה רבי אמנים ידועי שם. נכון למרץ 2018, ארבעה רבי אמנים ישראלים נמצאים בין מאה השחמטאים הטובים בעולם, לפי מד הכושר של פיד"ה. החזק שבהם, בוריס גלפנד, אף התמודד בדו-קרב על אליפות העולם בשחמט 2012.

רב אמן	מקום בעולם	מד כושר
בוריס גלפנד	50	2695
תמיר נבאתי	53	2692
מקסים רודשטיין	61	2683
אמיל סוטובסקי	87	2659

המדורגים ראשונים בעולם

עשרת השחמטאים בעלי הדירוג הגבוה ביותר בעולם, לפי מד כושר של פיד"ה, נכון לאוקטובר 2024

1. מגנוס קרלסן 6. נודירבק אבדוסאטורוב 2. היקארו נקמורה 7. עלי רזא פירוזג'א 3. ארג'ון אריגאיסי 8. ויי יו 4. פביאנו קרואנה 9. יאן נפומניאשצ'י 5. גוקש דומרזו 10. וסלי סו

מד הכושר המרבי שנמדד אי פעם היה של מגנוס קרלסן במאי 2014, ועמד על 2882. בכך הוא שיפר את שיאו לאחר שבדצמבר 2012 שבר את שיאו הקודם של גארי קספרוב בן 13 השנים.

גרף מד כושר של עשרת המדורגים הראשונים בעולם

לא ניתן להציג את הגרף באופן זמני –
ההרחבה Graph להצגת תרשימים מושבתת כרגע.

המדורגים ראשונים בישראל

השחמטאיות הישראליות הבכירות לפי מד כושר בינלאומי נכון ל-1 בנובמבר 2024
מס'	שם	דרגה	מד כושר	שנת לידה
1	מרסל אפרוימסקי	אמן בינלאומי	2397	1995
2	יוליה שוויגר	אמן בינלאומי	2347	1994
3	מאשה קלינובה	אמן בינלאומי	2229	1968
4	נגה אוריאן	אמן בינלאומי לנשים	2221	2007
5	אולגה גוטמכר	אמן בינלאומי לנשים	2211	1987
6	אלה פיטם	רב אמן לנשים	2194	1987
7	מיכל להב	אמן בינלאומי לנשים	2179	1999
8	אירינה בוטביניק	אמן פיד"ה לנשים	2172	1961
9	דנה כוכבי	אמן פיד"ה לנשים	2151	1993
10	דינה בלנקיה	רב אמן לנשים	2151	1993

השחמטאים הישראלים הבכירים לפי מד כושר בינלאומי נכון ל-1 בנובמבר 2024
מס'	שם	דרגה	מד כושר	שנת לידה
1	בוריס גלפנד	רב-אמן	2657	1968
2	מקסים רודשטיין	רב-אמן	2636	1989
3	תמיר נבאתי	רב-אמן	2613	1991
4	אמיל סוטובסקי	רב-אמן	2590	1977
5	איליה סמירין	רב-אמן	2574	1968
6	יבגני פוסטני	רב-אמן	2572	1981
7	מיכאל רויז	רב-אמן	2568	1983
8	ניצן שטיינברג	רב-אמן	2566	1998
9	סמיון לומאסוב	רב-אמן	2559	2002
10	אורי קובו	רב-אמן	2539	1997

שחמטאי הנוער הישראלים הבכירים לפי מד כושר בינלאומי נכון ל-1 באוקטובר 2022
מס'	שם	דרגה	מד כושר	דירוג בישראל	שנת לידה
1	סמיון לומסוב	רב אמן	2541	11	2002
2	יאיר פרחוב	אמן בינלאומי	2484	22	2002
3	עידו גורשטיין	אמן בינלאומי	2471	30	2002
4	איתן רוזן	אמן בינלאומי	2462	33	2006
5	ישעיהו צדקיה	אמן בינלאומי	2444	41	2003
6	אלי מיליקוו	אמן פיד"ה	2424	50	2007
7	יהלי סוקולובסקי	אמן פיד"ה	2416	52	2006
8	יואב מיליקוו	אמן בינלאומי	2412	55-56	2004
9	אור גלובוס	אמן פיד"ה	2411	58	2003
10	ינאי בן-ארי	אמן בינלאומי	2401	62-63	2004

ראו גם

• מד כושר לנבחרות כדורגל

קישורים חיצוניים

• טבלת 100 הראשונים במד הכושר הבינלאומי, באתר פיד"ה (באנגלית)
• מאמר ודוגמה לאופן חישוב מד הכושר, באתר gobase (באנגלית)
• מחשבוני מד כושר, באתר פיד"ה (באנגלית)