עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע

עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע
Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

מידע כללי
מאת	אייזק ניוטון
שפת המקור	לטינית
סוגה	פילוסופיית הטבע, מכניקה קלאסית
נושא	פיזיקה קלאסית
הוצאה
מקום הוצאה	לונדון
תאריך הוצאה	1687

עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע (בלטינית: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica – פילוסופיֶה נטוראליס פרינקיפיה מתמטיקה), הנקרא לעיתים קרובות בקיצור "פרינקיפיה", הוא ספר בעל שלושה כרכים שנכתב על ידי אייזק ניוטון ויצא לאור ב־5 ביולי 1687. הוא מכיל את ניסוח חוקי התנועה של ניוטון אשר יצקו את הצורה היסודית של המכניקה הקלאסית, וכמו כן את חוק הכבידה האוניברסלי שהגה ואת גזירת חוקי קפלר על תנועת כוכבי לכת (שהתגלו לראשונה ניסויית 80 שנה קודם לכן).

מלבד החידושים הפיזיקליים היה חיבור זה הראשון בו נעשה שימוש שיטתי ומוצלח במתמטיקה לתיאור והסברת חוקי הטבע והתופעות. "פרינקיפיה" נחשבת לאחת היצירות המדעיות החשובות ביותר בכל הזמנים. כמו הרבה יצירות מדעיות בשנים אלו, הספר נכתב במקורו בשפה הלטינית (לטינית חדשה).

הפיזיקאי והמתמטיקאי הצרפתי אלכסיס קלרו כתב בשנת 1747 כי "פרסום הספר של העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע מסמל את תחילתה של תקופה של מהפכה במדע הפיזיקה. השיטה שתוארה על ידי המחבר המהולל סר אייזק ניוטון... הפיצה את האור של המתמטיקה על מדע שעד תקופה זו היה שרוי באפלה של השערות והיפותזות לא מבוססות."

הערכה מאוחרת יותר של השפעת הספר קבעה שעל אף שקבלת התאוריות של ניוטון לא הייתה מיידית, ב-1687, בחלוף מאה שנים לפרסום הספר, "איש לא יכול היה להכחיש, כי מתוך הפרינקיפיה צמח מדע חדש אשר, לפחות במובנים מסוימים, כה התעלה על כל מה שקדם לו, שהוא ניצב לבדו כמדגים האולטימטיבי של המדע בכללותו." ייתכן שהייתה זו אולי העוצמה של ה"פרינקיפיה", שהסבירה דברים רבים כל כך על טבע העולם בסגנון מופתי, שלם, קוהרנטי והרמוני, שגרמה לשיטה המדעית הזאת להיות מזוהה עם מדע הפיזיקה מאות שנים אחר ראשיתה. ה"פרינקיפיה" נחשבה בתקופתה ליצירה המהווה תפארת של המחשבה, והיא נחשבת, גם לאחר כמה מאות שנים, למונומנט ליכולת ההבנה הכבירה של האדם.

בעת שניסח את התאוריות הפיזיקליות שלו, פיתח ניוטון תחום במתמטיקה הנקרא קלקולוס (חשבון אינפיניטסימלי), המהווה את הבסיס המתמטי לתאוריות שלו. אף על פי כך, שפת הקלקולוס המוכרת לנו היום אינה מופיעה במשפטים ובהוכחות שב"פרינקיפיה". במקום זאת השתמש ניוטון בטיעונים גאומטריים, וזאת מכמה סיבות: הראשונה היא שהסימונים של ניוטון היו שונים מן הסימונים של לייבניץ (והסימונים של לייבניץ הם הסימונים שתפסו את המקום המרכזי בשפת הקלקולוס של ימינו). בנוסף, השיקולים של ניוטון היו גאומטריים מכיוון שבאותה תקופה היה מקובל להסתכל על עקומות באמצעות הגאומטריה, ועדיין לא נוצר אותו הקישור בין הגאומטריה והאלגברה. רק בהמשך, כאשר נוצר אותו קישור וההסתכלות על העקומות הפכה להסתכלות אלגברית, החלו להשתמש בשפה המוכרת לנו היום.

בנספח שניוטון הוסיף ל"פרינקיפיה", שכותרתו הערות כלליות (General Scholium), ביטא ניוטון את מה שנודע כאמרתו המפורסמת "אינני בודה השערות".

הקשר היסטורי

תחילתה של המהפכה המדעית

הפיזיקאי האיטלקי גלילאו גליליי (1564–1642), אימץ את המודל הקופרניקאי של היקום וערך ניסויים חשובים מאוד בקינמטיקה.

ניקולאוס קופרניקוס קבע באופן נחרץ כי הארץ כלל וכלל איננה מרכז היקום בעזרת המודל ההליוצנטרי שהציג בספרו על תנועתם של גרמי השמיים שפורסם ב־1543. התאוריה ההליוצנטרית הושלמה כאשר יוהאנס קפלר כתב את הספר אסטרונומיה חדשה, ובו העיד על תגליתו שכוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים כאשר השמש באחד המוקדים ושכוכבי הלכת אינם נעים במהירות קבועה במסלוליהם. לא די בכך, מהירותם משתנה כך שהקו המחבר את מרכזי השמש וכוכב הלכת מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. לחוקים אלו הוא הוסיף חוק שלישי כעשור מאוחר יותר, בספרו האחר ההרמוניות של העולם. חוק זה מציב את הפרופורציה בין החזקה השלישית של המרחק הממוצע של הכוכב מהשמש וריבוע זמן ההקפה שלו.

יסודות הדינמיקה המודרנית הונחו בידי גלילאו גליליי בספרו הדיאלוג, ובו המושג של אינרציה – התמדה – היה הכרחי ושימושי. בנוסף, ניסוייו של גלילאו במישורים משופעים הניבו יחסים מתמטיים מדויקים בין זמן מחזור ותאוצה, מהירות או מרחק בעבור תנועת האצה אחידה או לא אחידה.

ספרו של רנה דקארט משנת 1644, עקרונות הפילוסופיה טען שגופים יכולים לפעול אחד על השני רק דרך מגע: עקרון שהביא אנשים, וביניהם הוא עצמו, להעלות היפותזה לפיה קיים מדיום או תווך אוניברסלי הנושא אינטראקציות כגון אור או כבידה – האתר. טעות אחרת הייתה טיפולו בתנועה מעגלית, אבל למרות זאת, טעות זאת הניבה תוצאות מאוחר יותר בכך שהיא הביאה אנשים לזהות את התנועה המעגלית כבעיה הקשורה באופן הדוק לעקרון ההתמדה. כריסטיאן הויגנס פתר את הבעיה הזו בערך בשנות ה־50 של המאה ה־17 ופרסם את פתרונו זמן רב מאוחר יותר.

תפקידו של ניוטון

במהלך חייו כסטודנט, ניוטון עיין בקפידה בחיבורים הללו, או במקרים מסוימים, במקורות המבוססים עליהם, והחל לכתוב יומן שכותרתו "שאלות על פילוסופיה". בתקופה זו (1664–1666), הוא החל לנסח את הבסיס לקלקולוס, ולהעלות את ניסוייו הראשונים באופטיקה של הצבעים. בנוסף הוא התקדם שני צעדים מכריעים בדינמיקה: ראשית, בנושא האינטראקציה בין שני גופים, הוא הסיק נכונה שמרכז המסה של המערכת נשאר בתנועה אחידה, ושנית, הוא ביצע את ניתוחו הראשוני, והמוטעה, של תנועה מעגלית בהניחו שחייב לפעול כוח צנטריפוגלי החוצה. הוכחתו שהאור הלבן הוא תערובת של צבעי הקשת והתאוריה שנוסחה בעקבותיה החליפה את התאוריה השלטת בנוגע לצבעים וקיבלה יחס מועדף בידי מרבית המדענים, אך גרמה למחלוקת מרירה בינו לבין רוברט הוק ואחרים, אשר אילץ אותו לפתח את רעיונותיו עד כדי שהשלים חיבור חלקים מספרו אופטיקה כבר בשנות ה־70. הוא חיבר ופרסם חלקים מן הקלקולוס שפיתח במספר עבודות ומכתבים, וביניהם שנים ללייבניץ. הוא נעשה לחבר בחברה המלכותית והוענקה לו הקתדרה למתמטיקה ע"ש לוקאס באוניברסיטת טריניטי שבקיימברידג'.

בשנת המגפה ב־1665, ניוטון כבר הבין כי עוצמת הכבידה יורדת ביחס הפוך לריבוע המרחק, באמצעות המרת החוק השלישי של קפלר לביטוי שגזר עבור הכוח הצנטריפוגלי (הוא ערבב תחילה בין המושגים בגלל הבנתו השגויה את התנועה המעגלית). תאוריה שאותה אהב לספר ניוטון לפיה הוא הגיע למסקנותיו אלו כאשר צפה בתפוח הנושר מעץ במהלך שהותו בוולסתורפ נפוצה מאוד בקרב הציבור הרחב, אולם היסטוריונים רבים מפקפקים בנכונותה.

הרהורים על מה שניתן להסיק באמצעות השכל הישר לגבי היבטים שונים של התנועה המעגלית, הובילו אותו לקונספט "המרחב המוחלט". ב"פרינקיפיה" מציג ניוטון את הדוגמה של דלי מים מסתובב כדי להראות שבחיי היום יום ניתן להבחין כי בתנועת סיבוב מעורב גורם נוסף פרט לתנועה היחסית של גופים.

ניוטון עדיין לא השלים את כתיבת ה"פרינקיפיה" בשנת 1681, כאשר כוכב שביט נצפה משנה את כיוון תנועתו מסביב לשמש. האסטרונום המלכותי, ג'ון פלמסטיד, זיהה את שינוי מגמת תנועת השביט, בניגוד לרוב המדענים שהאמינו שהיו שני שביטים, אחד שנעלם מאחורי השמש, ואחר שהופיע מאוחר יותר מאזור היעלמותו של הקודם. המחלוקת שהתעוררה בין ניוטון ופלמסטיד מראה שפלמסטיד לא הבין והכיר באוניברסליות של חוק הכבידה.

תוכן הספר

העותק האישי של אייזק ניוטון

מטרתו המוצהרת של הספר ונושאיו

בהקדמה ל"פרינקיפיה", ניוטון כתב:

... מכניקה רציונלית תהיה מדע התנועה הנגרמת מכוחות מכל סוג שהוא, ועל הכוחות הנדרשים כדי להפיק תנועה כלשהי... ולכן אני מציע עבודה זו כעקרונות המתמטיים של הפילוסופיה, אשר כל תכולת הפילוסופיה נראית כמתקיימת בהם – מן התופעה של התנועה לחקור את הכוחות של הטבע, ואז מן הכוחות לקבוע את התופעות האחרות...

הפרינקיפיה דן בראש ובראשונה בגופים מאסיביים בתנועה, תחת מגוון תנאים התחלתיים וחוקים היפותטיים של כוח בתווכים עם וללא התנגדות, ומציע קריטריונים להכריע, באמצעות תצפיות, איזה חוקים של כוח פועלים בתופעות הספציפיות שנצפות. הספר הוא ניסיון לכסות תנועות היפותטיות או אפשריות של גופים שמימיים וקליעים ארציים. הוא חוקר את הבעיות הקשות של תנועה המופרעת על ידי מספר כוחות משיכה מרכזיים. הספר השלישי והאחרון עוסק בפרשנות לתצפיות על תנועת כוכבי הלכת והירחים שלהם. הוא מראה כיצד תצפיות אסטרונומיות מוכיחות את חוק היפוך הריבוע של הכבידה (ברמת דיוק שהייתה גבוהה יחסית למקובל באותה העת); מציע אומדנים למסות היחסיות של הפלנטות הענקיות הידועות ושל כדור הארץ והשמש; מגדיר את התנועה האיטית של השמש יחסית למרכז מערכת השמש; מראה כיצד התאוריה של הכבידה יכולה להסביר חלק מהמורכבויות של תנועת הירח; מזהה ומעריך את פחיסות צורת כדור הארץ; מספק הסבר כמותי מקורב למחזורי הגאות הנובעים מההשפעה הכבידתית של הירח והשמש על מימי כדור הארץ; מסביר את נקיפת ציר כדור הארץ כתוצאה של האפקט הכבידתי של הירח על פחיסות כדור הארץ (קוטרו בקו המשווה ארוך ב-44 ק"מ מזה העובר בקטבים); ומספק בסיס תאורטי להסבר וחישוב מגוון תופעות הקשורות בשביטים ומסלוליהם המוארכים, הכמעט פרבוליים.

ה"פרינקיפיה" פותחת בסדרה של "הגדרות", ו"אקסיומות או חוקי תנועה", וממשיכה בשלושה ספרים:

ספר 1, על התנועה של גופים

הספר הראשון, שכותרתו על התנועה של גופים עוסק בתנועה של גופים בהיעדר תווך בעל התנגדות. כמבוא קצרצר לספר הראשון של הפרינקיפיה מביא ניוטון סדרה של חמישה טיעונים תחת הכותרת "תכונות, סיבות, ותוצאות של תנועה", בהם עשה הבחנה בין מרחב, זמן ותנועה יחסיים למוחלטים. "טיעון הדלי" המפורסם מובא כטיעון האחרון במבוא זה.

הספר פותח בתיאור מתמטי של גרסה גאומטרית לחשבון האינפיניטסימלי, הבאה בעקביות יחד עם הגדרות בדינמיקה בסיסית וההיסקים הראשוניים המבוססים עליהם.

הוכחת ניוטון את החוק השני של קפלר, כפי שמוצגת בספר

חלקו השני של הספר מבסס את הקשר בין כוחות צנטריפטליים לחוק השטחים, הידוע כחוק השני של קפלר (טענות 1–3), מקשר בין מהירות תנועה מעגלית ורדיוס עקמומיות לכוח רדיאלי (טענה 4), ומקשר בין כוחות צנטריפטליים המשתנים לפי היפוך ריבועו של המרחק מהמרכז למסלולים בעלי צורה של חתכי חרוט (גזירת חוקי קפלר, טענות 5–10).

החלקים השלישי עד השישי של הספר כוללים את טענות 11–31, המבססות תכונות של תנועה במסלולים בצורה של חתכי חרוט אקסצנטריים (כולל אליפסות) ואת הקשר שלהם לכוחות היפוך ריבועיים המכוונים למוקד, וכוללות (בחלק השישי) את משפט ניוטון על עקומים סגורים (למה 28). חלקים 4 ו-5 הם בעלי עניין מתמטי נטו, ואין להם תפקיד מרכזי בהמשך הפרינקיפיה. בחלקים אלו ניוטון מציג כמה מתגליותיו הגאומטריות על חתכי חרוט וטרנספורמציות פרויקטיביות, ומציג את פתרונו הסינתטי לבעיית פאפוס העתיקה. כדי לפתור את הבעיה ניוטון פיתח אלמנטים של גאומטריה פרויקטיבית, ובחלק 5 הוא מראה כיצד לבנות חתך חרוט שעובר דרך $n$ נקודות נתונות ומשיק ל-$5-n$ ישרים נתונים (כאשר n בין 0 ל-5).

טענות 43–45 כוללות הדגמה של התכונה שבמסלול אקסצנטרי תחת כוח מרכזי בו האפסיד עשוי לנוע, אוריינטציה יציבה ולא נעה של קו האפסיד הוא אינדיקציה נוספת לחוק משיכה היפוך-ריבועי. טענות אלה כוללות את משפט ניוטון על מסלולים סובבים (Newton's theorem of revolving orbits), אותה הוכיח ניוטון בניסיון להסביר את נקיפת האפסיד של הירח.

החלק העשירי סוטה מעט מהקו המרכזי של הפרינקיפיה (אין לתוצאותיו תפקיד בהמשך הפרינקיפיה), וניוטון עוסק בו בהכללת התוצאות של הויגנס על האיזוכרוניות (אי תלות זמן המחזור במשרעת) של מטוטלות ציקלואידיות, ובבעיה של תנועה מאולצת – תיאור התנועה של חלקיק על משטחים עקומים בהשפעת כוח מרכזי המכוון למוקד שאינו בהכרח במישור התנועה הרגעי של החלקיק. בין היתר ניוטון מכליל בטענה 55 בחלק זה את החוק השני של קפלר לתנועות בהן מרכז הכוח נמצא מחוץ למישור התנועה של החלקיק (מצב שמתאפשר עקב הקיבוע למשטח העקום). בעיה חשובה זו נחקרה מאוחר יותר על ידי כמה מבני משפחת ברנולי ואוילר.

הספר הראשון מכיל כמה הוכחות עם קשר חלש לדינמיקה של העולם האמיתי, אך יש בו גם מספר חלקים שלהם יש ישימות מרחיקת לכת למערכת השמש והיקום:

טענות 57–69 דנות בתנועה של מספר גופים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם. טענות אלה הן בעלות חשיבות ראשונה במעלה לחקר בעיות הנוגעות לדינמיקה של מערכת השמש, וכוללות את טענה 66 ואת 22 התוצאות הנגזרות ממנה, שהייתה תרומה חשובה מוקדמת לתורת הפרטורבציות האסטרונומיות. בטענה זו ניוטון תיאר בצורה כמותית את האפקט הפרטורבציוני שיש לכבידה שמפעילה השמש על מסלול הירח סביב כדור הארץ (שהיה מהווה חתך חרוט אלמלא אפקט זה היה קיים). בטענות אלה ניוטון עשה את הצעדים הראשונים בהגדרת ומחקר הבעיה של תנועת שלושה גופים מסיביים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם, בעיה שזכתה לתהילה (בגלל הקושי הרב שלה) כבעיית שלושת הגופים.

הטענות האחרונות בספר זה, טענות 70–84, דנות בכוחות המשיכה שיוצרים גופים כדוריים. טענות אלה כוללות את ההוכחה מבוססת האינטגרציה של ניוטון לטענה שגופים כדוריים מושלמים מפעילים משיכה כאילו כל המסה שלהם נמצאת במרכזם. תוצאה יסודית זאת, הידועה כמשפט הקליפה (shell theorem), מאפשרת לחוק היפוך הריבוע של הכבידה להיות מיושם למערכת השמש האמיתית בדרגה גבוהה מאוד של קירוב.

בחלק ה־13 של הספר ניוטון עוסק בכוחות המשיכה שיוצרים גופים לא-כדוריים, והוא מציג את הפתרון למשיכה שיוצר ספרואיד בצורה של טור אינסופי. בנוסחה שלו לחישוב הווריאציה של הכבידה על ספרואיד הוא עשה שימוש בספר השלישי במסגרת חישוב האליפטיות של כדור הארץ.

ספר 2

העותק האישי של ניוטון, המהדורה הראשונה, כולל הערותיו ותיקוניו בכתב ידו לקראת הוצאת המהדורה השנייה. מוצג בספריית אוניברסיטת קיימברידג'.

הספר הראשון היה מחולק לשני כרכים בגלל אורכו. הספר השני עשיר בתוצאות מתמטיות, ודן בעיקרו בתנועה של גופים בתווך בעל התנגדות. בדיוק כפי שניוטון בחן את ההשלכות של חוקי משיכה שונים בספר הראשון, כך גם הוא בוחן חוקי התנגדות שונים בספר השני; לכן החלק הראשון עוסק בהשלכות של כוח התנגדות פרופורציונלי למהירות, והחלק השני עוסק בהשלכות של כוחות התנגדות המתכונתיים למהירות בריבוע. בחלקים אלו ניוטון גם הציג ופתר את הבעיה הראשונה אי פעם של ענף המתמטיקה הידוע כחשבון וריאציות, כאשר גזר משיקולים מתמטיים-פיזיקליים את הצורה בעלת ההתנגדות המינימלית (צורת הקליע האופטימלית). הספר השני דן גם (בחלק החמישי) בהידרוסטטיקה ותכונות של זורמים דחיסים (עם יישומים לחישוב צפיפות האטמוספירה בכל גובה שהוא). ההשפעה של התנגדות האוויר על מטוטלות (תנודות משוככות) נלמדת בחלק השישי, יחד עם הדיווח של ניוטון על מבחנים ניסויים של התנהגות התנגדות האוויר כאשר למטוטלת נתוני התחלה שונים. בחלק השמיני, ניוטון מספק כללים לגזור את המהירות של גלים מכניים בזורמים וגזים ומקשר אותה לצפיפות הזורם ולפרמטר הדחיסות שלו (טענה 48; זו תהפוך לחשובה מאוד באקוסטיקה). הוא מניח שהכללים האלה תקפים לאור וקול ומעריך שמהירות הקול היא בערך 1088 רגל בשנייה ושהיא יכולה לגדול בתלות בתכולת אדי המים של האוויר. היקף הפיתוחים שלו בנוגע לגלים מכניים נוגע לא רק לגלי קול אלא גם לגלי ים (בטענות 44 ו-46), שם הוא מציע נוסחאות שהתבררו כנכונות. החלק התשיעי והאחרון של הספר, שכותרתו "על התנועה המעגלית של זורמים", מהווה גם הוא תרומה יסודית וחשובה למכניקת הזורמים, ובו ניוטון קובע קיומו של קשר ליניארי בין קצב הגזירה של הזורם וכוחות ההתנגדות הפנימיים (חיכוך בין שכבות הזורם) הקיימים בתוך הזורם (הצגת המונחים של זורם ניוטוני ומקדם הצמיגות). ניוטון מדגים את השלכות ההנחה הזאת במגוון משפטים הנוגעים לזרימה מסתחררת של זורם.

חלק מועט יותר מן הספר השני שרד את מבחן הזמן לעומת הספר הראשון והשלישי, ונטען כי הוא נכתב בעיקר כדי לדחות את התאוריה של דקארט שכבידה בין גופים היא תוצאה של מערבולות באתר. ניוטון כתב בסוף הספר השני על המסקנה שלו שההיפותזה של מערבולות באתר לחלוטין לא תאמה את התצפיות האסטרונומיות בפועל, ולא עזרה להסביר אותן אלא להפך, יצרה בלבול רב.

ספר 3, על מערכת העולם

על מערכת העולם הוא חיבור על כבידה אוניברסלית שמנתח את ההשלכות שלה, במיוחד אלו הקשורות לאסטרונומיה. הוא מתבסס על הטענות של הספרים הקודמים ומיישם אותם לתנועות הנצפות במערכת השמש – הרגולציות והאי־רגולציות של מסלול הירח, התאוריה הראשונה של "נקיפת שוויון היום והלילה", משפט ניוטון על דעיכה מסלולית, יישומים לתנועתם של ירחי צדק, לשביטים ותופעת הגאות והשפל. הספר מביא בחשבון גם אוסצילטור הרמוני בשלושה ממדים, ותנועה תחת חוקי כוח שרירותיים (בספר זה ניוטון הוכיח משפטים על כוח היפוך שיורד לפי החזקה השלישית של המרחק).

החלק הראשון של הספר מכיל את 21 הטענות הראשונות שלו, ופותח בהצגה של סדרת תופעות אסטרונומיות. הפרק מתבסס על הטענות של הספר הראשון כדי להראות שחוקי קפלר והרעיון של כבידה עולמית תקפים לכל כוכבי הלכת והירחים במערכת השמש, ומדגים את נכונותם במקרה של ירחי צדק. ניוטון מציין את התצפיות האסטרונומיות עליהן הוא מסתמך, ומבסס צעד אחר צעד את ההשערה שחוק הכבידה הוא חוק אוניברסלי התקף לכל שני אלמנטי מסה ביקום, ובמערכת השמש בפרט (חלק ניכר מן המידע הושג בעזרתם של ג'ון פלמסטיד ואדמונד האלי). בטענה 19 בחלק זה ניוטון מוכיח את התוצאה על פחיסות כדור הארץ כתוצאה מסיבובו העצמי, ומחשב את הערך $\epsilon =1/230$ עבור האליפטיות של כדור הארץ.

החלק השני פותח בהסבר איכותי קצר ולא טכני לתופעת הגאות והשפל (שנובעת מהשפעת כבידת הירח), כאשר לאחריו הקורא מיד שוקע בפרטים המורכבים של התאוריה הירחית של ניוטון. ניוטון מראה כיצד היבטים רבים של תנועתו המורכבת של הירח ניתנים להסבר במונחים של האפקט של כבידת השמש על מערכת הארץ-ירח. כשיצר את התאוריה של תנועת הירח, שמידת מהימנותה הייתה המבחן המרכזי של תורת הכבידה האוניברסלית, ניוטון זיהה (בטענה 22, ולאחר מכן בטענות 25–35) רבים מהמאפיינים והמורכבויות של תנועת הירח, ובעבור כמה ממאפיינים אלה עלה בידו לפתח מודל כמותי מוצלח (במהדורות השנייה והשלישית של הפרינקיפיה ובכתבים מתמטיים לא מפורסמים שלו הוא פיתח את התאוריה הלאה), במיוחד לוריאציה – אחת הפרטורבציות המרכזיות של תנועת הירח, שנתגלתה לראשונה מתצפיות על ידי האסטרונום הדני טיכו ברהה. התאוריה החדשה של ניוטון והאתגרים שהציבה היו מושא המחקר המרכזי של אסטרונומים במהלך מאתיים השנים הבאות, ששאפו לפתח מודל מורכב ומדויק יותר ויותר לתנועת הירח (התקוות לפתח מודל עם דיוק מושלם באו אל קצם בעבודתו המזהירה של אנרי פואנקרה, שהניחה את היסודות לתורת הכאוס).

החלק השלישי פותח בטענות 36 ו-37, אשר דנות לעומק ובאופן כמותי בתופעת הגאות והשפל הירחית והשמשית, ובטענה 38 ניוטון נותן הסבר איכותי וכמותי מדוע אותם פנים של הירח תמיד פונות לכיוון כדור הארץ (תופעה המכונה "נעילת גאות"). בטענה 39 ניוטון מצליח להראות שהאפקט הכבידתי של הירח על כדור הארץ הפחוס יכול להסביר את הפרצסיה של ציר כדור הארץ ברמת דיוק גבוהה – הערך של זמן המחזור של הפרצסיה שחישב ניוטון עמד בקירוב על 26,000 שנה – וזהו בדיוק הערך שמצא היפרכוס מתצפיות אסטרונומיות.

החלק הרביעי והאחרון של הספר השלישי אתחל את התאוריה של חיזוי מסלולי שביטים, וכולל משפטים מקוריים רבים על חתכי חרוט ותנועה קרובה לפרבולית. חשיבותו נחה גם בניתוח של מידע אסטרונומי ושיטות בחירת הנתונים בהם ניוטון נעזר כדי לבחור על אילו תצפיות אסטרונומיות יש להסתמך (שכן כמות המידע האסטרונומי שנאסף על שביטים הייתה דלה בהרבה מאשר על כוכבי הלכת).

מושגי היסוד של הדינמיקה הניטונית

סדרת ההגדרות ששימשו להנחת יסודות הדינמיקה ב"פרינקיפיה" זהה לאלו שניתנות בטקסטים מדעיים בימינו. ניוטון פתח בהגדרת המושג היסודי מסה:

כמות החומר שבגוף נובעת באופן טבעי מצפיפותו וגודלו. גוף בעל צפיפות כפולה התופס נפח כפול מזה של גוף אחר הוא בעל מסה גדולה פי 4. כמות זו אני מייצג באמצעות שם הגוף או המסה

בהגדרה זו נעזר ניוטון לאחר מכן כדי להגדיר את "כמות התנועה" (במונחים של ימינו: תנע), ואת עקרון ההתמדה שבו מסה תופסת את מקומו של המושג הקרטזיאני הקודם של "כוח עצמותי". הגדרות אלו היוו את התשתית להגדרת מושג יסודי נוסף בתורה הניוטונית והוא מושג הכוח. ניוטון הציג את מושג הכוח כשיעור השינוי בכמות התנועה של הגוף, או בתנע שלו. מסקרן הדבר, שעבור קוראי ימינו, תיאור המושג כוח נקרא לא נכון מבחינת ממדיו (יחידותיו), ובצדק, שכן ניוטון אינו מציב את המושג של זמן בהגדרותיו, שכן כוח שווה לקצב שינוי התנע.

מהות חוקי התנועה בניסוחם הראשוני

חוקי התנועה מופיעים בעמודים הראשונים של הספר, אך לפניהם מגדיר ניוטון את המושגים הפיזיקליים הנדרשים: כמות החומר, כמות התנועה, הכוח המולד הסביל של החומר, כוח מופעל, כוח צנטריפטלי, הכמות האבסולוטית, הכמות המואצת, הכמות התנועתית של הכוח הצנטריפוגלי ושני מושגים נוספים מרכזיים בשיטתו: המרחב והזמן המוחלטים, שבלעדיהם אין כל משמעות להגדרות הנ"ל.

שלושת החוקים מגדירים את ההתנהגות הפיזיקלית־מתמטית של המאסה החומרית תחת אילוצים ותנאים שונים.

1. חוק I: כל גוף יתמיד במצבו כל עוד שקול הכוחות עליו הוא אפס.
2. חוק II: שינוי התנועה הוא פרופורציוני לכוח המניע המופעל; והוא בכיוון הקו הישר שבו פועל הכוח הזה.
3. חוק III: לכל פעולה יש תמיד פעולה מנוגדת השווה לה; או, הפעולות הדדיות, ששני גופים פועלים זה על זה, הן תמיד שוות זו לזו ומכוונות לעברים מנוגדים.

המסה אינה מוגדרת אצל ניוטון כמאפיין עצמי של גוף, כמו: צורה, גודל או משקל. ההגדרה מבטאה את החוקיות של הפעולות והתגובות להן היא כפופה, כאשר פועל עליה כוח חיצוני רגעי השואף לשנות את המצב האינרטי, בין אם הוא מנוחה או תנועה קצובה.

דהיינו, אנו למדים על מהותה של המסה מתוך פעולות הגוף ותגובותיו לסביבה ולא מתוך תכונותיו העצמיות

הרקע של האירועים – קונספט המרחב המוחלט הניוטוני

הוא מגדיר מרחב וזמן "לא כפי שהם ידועים היטב לכל". במקום, הוא מגדיר זמן "אמיתי" ומרחב כ"מוחלט" ומסביר:

האדם הפשוט מהרהר בטיבם של המושגים הללו תחת אף מושג אחר אלא תחת היחס שהם חבים לעצמים מוחשיים. ויהיה זה נוח לחלק אותם למוחלטים ויחסיים, אמיתיים וגלויים, מתמטיים ומסוימים, ... במקום מקומות ותנועות מוחלטות אנו מסתייעים ביחסיים, וזאת אפילו מבלי להרגיש אי נוחות בהבנתנו הרעועה את הדבר אשר נוגע לכל. אבל בדיונים פילוסופיים, אנו חייבים לפסוע צעד אחד קדימה מן החושים שלנו, ולהחשיב דברים כשהם לעצמם, מנותקים וחופשיים ממה שהוא רק אמות מידה מוחשיות שלהם.

בספרו מתאר ניוטון את היקום כאינסופי ונצחי, אשר קיומו ומהותו שקולים לשתי התכונות שתוארו בציטוט: אבסולוטיות המרחב, ונצחיות הזמן. ואכן, בספרו ניוטון מתאר את היקום כמין שעון ענקי שכל חלקיו פועלים יחד בדיוק מושלם ובחפיפה אחד לשני כשיוצר השעון – אלוהים; מכוון את מחוגיו בכל רגע. בעיני רוחו של ניוטון עמד דגם היקום הנצחי כהתגלותה של האלוהות בטבע, כאשר המרחב והזמן הם אופני התגלותו של האל.

כללי החשיבה בפילוסופיה

כדי למנוע את האפשרות שהציבור הרחב יפרש את "פרינקיפיה" כקריאת תיגר על מקומו של האל בעולם, ניוטון הוסיף ליצירתו חלק העוסק בכללי החשיבה בפילוסופיה. ארבעת הכללים שהוא ניסח היוו גם דרך להצעת הסברים לתופעות מסתוריות בטבע. כל כלל שהוצע בידי ניוטון משרת עבורו תפקיד מסוים בשיכוך הרוחות הסוערות של הפילוסופים באמצעות הצגת התופעות בטבע כחסרות מענה באופן כללי. ב"פרינקיפיה", הוא מסביר כל כלל בצורה מפושטת יותר או נותן דוגמה כדי להמחיש מה כוונתו של כל כלל.

הכלל הראשון קובע במילים אחרות כי בטבע לעולם לא מתרחש משהו ללא סיבה מכוונת וישירה מאחר שתכנונו האינטליגנטי של האל הוא האופטימלי ביותר האפשרי. הכלל השני קובע כי אם גורם אחד מיועד לתופעה מסוימת, אזי אותו גורם במדויק מיועד לכל תופעה מדעית דומה (אור השמש הלוהטת או של המדורה). בקצרה, כאשר הוא מדגים את שני הכללים האחרונים, הוא נעזר בהם כדי להסביר את הכבידה ואת המרחב. בתקופתו, שני הנושאים הללו היו מסתוריים מאוד וניוטון נעזר בכלליו כדי לנמק כל הבט של תופעות אלו. בסוף, ניוטון מסיים את הבהרתם של החוקים באמצעות שילובו של האל בכל תהליך או ישות בעולם הזה. ניוטון קובע כי כל דבר מתוכנן ומותווה בצורה מושלמת בידי האל. ניוטון נכנס לפרטים בתיאורו כיצד תכנונו האינטליגנטי של האל פועל לבדו ללא עזרתו או נוכחותו המורגשת של האל. הכבוד שניוטון רכש בספרו וההערכה האולטימטיבית שנתן לאל, שוככו את כל האנשים שעשויים היו לדחות את עבודתו הבלתי ניתנת להכחשה.

יצירתם של ארבעת החוקים בידי ניוטון חוללה מהפכה באופן החקירה של כל תופעה שהיא. עם יצירת החוקים, ניוטון היה מסוגל להתחיל לספק הסברים לכל התעלומות הגדולות של העולם המדעי דאז. ניוטון הפעיל את כוחם של החוקים הללו לא רק כדי להרחיק לכת במתן מענה לשאלות מדעיות יותר מכל מדען אחר בזמנו, אלא גם כדי לשחזר צעדים מדעיים ולזהות יצירות ופריצות דרך מדעיות גדולות של העבר. בעזרת המתודה המדעית החדשה שלו הוא החליף את זו של אריסטו והיה מסוגל לשכלל את השיטה הניסויית של גלילאו. הבריאה מחדש של שיטת גלילאו הייתה כה משוכללת שהיא מעולם לא השתנתה מאז ומדענים עדיין משתמשים בה כיום.

קבלת הפרינקיפיה על ידי הקהילה המדעית

מעניין שלמספר גדלים בדינמיקה שנעשה בהם שימוש בספר (כגון תנע זוויתי), לא ניתנו שמות. מדע הדינמיקה כפי שהוצג בשני הספרים הראשונים היה כה מבוסס ועקבי שהוא התקבל מיד בקרב קהילת המדענים באירופה: לדוגמה ג'ון לוק שאל את כריסטיאן הויגנס אם הוא נותן אמון בהוכחות המתמטיות, והויגנס השיב כי הוא סמוך ובטוח בנכונותם של ההוכחות.

אף על פי כך, הקונספט של כוח משיכה הפועל ממרחק זכה ליחס קר יותר. בכתביו, ניוטון כתב כי חוק הריבוע־ההפוך נובע באופן טבעי ממבנה החומר. למרות זאת, הוא לא הוסיף משפט זה בגרסה שפרסם, בה הוא טען במקום שתנועת הכוכבים היא עקבית עם חוק הריבוע־ההפוך, אבל סירב לציין מה מקור החוק הזה. הויגנס ולייבניץ שמו לב שחוק זה אינו מתיישב עם קיומו של האתר. מנקודת מבט קרטזיאנית היה, אפוא, פגם בתאוריה (אף על פי שלולא הנחת קיומו של האתר ניתן להבין ההקשר המתמטי ולא רק הניסויי ליחס זה מהגדרות שטף ושדה פיזיקלי). להגנתו של ניוטון נחלצו מאז פיזיקאים מפורסמים רבים – וזאת מכיוון שהוא הצביע על כך שהצורה המתמטית של התאוריה חייבת להיות נכונה ומכיוון שהסבירה את המידע האסטרונומי, אך סירב לשער השערות הלאה לגבי הטבע הבסיסי של הכבידה. הכמות העצומה של תופעות שהובאו לארגון וסדר באמצעות התאוריה הייתה כה מרשימה שה"פילוסופים" הצעירים יותר אימצו תוך זמן קצר את השיטות ואת שפת ה"פרינקיפיה".

ראו גם

• רשימות על המקדש היהודי
• אופטיקה (ספר)
• אריתמטיקה אוניברסלית
• הסכוליום הכללי

לקריאה נוספת

• עיבל לשם רמתי, אייזק ניוטון ובית המקדש, הוצאת רזיאל, מגדל, 2005.

• Sir Isaac Newton, The chronology of Ancient Kindoms Amended London, 1728 – printed by Histories and Misteries of Man LTD, 1988, U.S.A

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע בוויקישיתוף

• עפרי אילני, תערוכה בירושלים תחשוף לראשונה את כתביו המיסטיים של ניוטון – אבי המדע המודרני הספיק גם לחשב את קץ העולם ולעסוק באלכימיה, באתר הארץ, 17 ביוני 2007
• סודותיו של ניוטון – תערוכה וירטואלית מאתר בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי
• כתבי ניוטון המבוססים על "סודותיו של ניוטון
• האוניברסיטה העברית, ‏חוקרים מישראל ומצ'ילה פתרו את חידת שלושת הגופים של ניוטון מלפני 330 השנים, באתר "הידען", 23 בדצמבר 2019
• עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)