מרחב לינדלף

בטופולוגיה, מרחב לינדלף הוא מרחב טופולוגי שבו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן-מנייה. זוהי גרסה חלשה של תכונת הקומפקטיות, הדורשת שלכל כיסוי פתוח יהיה תת-כיסוי סופי. המרחבים נקראים כך על שם המתמטיקאי הפיני ארנסט לאונרד לינדלף.

הלמה של לינדלף קובעת שכל מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב לינדלף (אבל לא להפך). מרחב מטרי הוא מרחב לינדלף אם ורק אם הוא ספרבילי, אם ורק אם הוא מקיים את אקסיומת המנייה השנייה. לעומת זאת, קיים מרחב רגולרי לינדלף-תורשתית שאינו ספרבילי (Moore, 2006). (מרחב הוא לינדלף-תורשתית אם כל תת-קבוצה שלו היא לינדלף בטופולוגיה המושרית).

כמה תכונות:

1. תת-קבוצה סגורה של מרחב לינדלף היא מרחב לינדלף.
   הוכחה: יהיו $X$ מרחב לינדלף ו-$V\subseteq X$ תת-קבוצה סגורה. יהי ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ כיסוי פתוח של $V$, במובן ש-$V\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$. נבחין שאז ${\mathcal {U}}\cup \{V^{c}\}$ כיסוי פתוח של $X$ (הקבוצה $V^{c}$ פתוחה כי $V$ סגורה). מכך ש-$X$ לינדלף נובע שקיים תת-כיסוי בן מנייה ${\mathcal {U'}}$, ונוכל להבחין כי ${\mathcal {U'}}\setminus \{V^{c}\}$ הוא תת-כיסוי בן מנייה של ${\mathcal {U}}$. לכן $V$ לינדלף. $\blacksquare$
2. תמונה רציפה של מרחב לינדלף היא לינדלף.
   הוכחה: יהיו $X,Y$ מרחבים טופולוגיים כך ש-$X$ לינדלף, ותהי $f\colon X\to Y$ פונקציה רציפה. נטען ש-$f(X)$ גם לינדלף. יהי ${\mathcal {U}}$ כיסוי פתוח של $f(X)$. נבחין שאז $f^{-1}({\mathcal {U}})=\{f^{-1}(U)\mid U\in {\mathcal {U}}\}$ מהווה כיסוי של $X$. זה אף כיסוי פתוח של $X$, שהרי כל $U\in {\mathcal {U}}$ פתוחה ו-$f$ רציפה. מכך ש-$X$ לינדלף נסיק שקיים תת-כיסוי בן מנייה, כלומר שקיימות $U_{1},U_{2},\dots \in {\mathcal {U}}$ כך ש-$X=\bigcup _{i=1}^{\infty }f^{-1}(U_{i})$. מכיוון ש-$f$ היא על $f(X)$ נסיק כי $f(X)=\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}$, ובכך מצאנו תת-כיסוי בן מנייה ל-${\mathcal {U}}$, ולכן $f(X)$ לינדלף. $\blacksquare$
3. מכפלה של שני מרחבי לינדלף אינה בהכרח לינדלף. למשל, הישר של סורגנפריי $\mathbb {R} _{\ell }$ הוא לינדלף (אף על פי שאיננו מרחב מנייה שנייה), אולם ניתן להראות שהמכפלה $\mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }$ אינה לינדלף.

לקריאה נוספת

• ד"ר דניאלה ליבוביץ, ‏טופולוגיה קבוצתית, האוניברסיטה הפתוחה, 1997