Vektorpotenciál (matematika)

A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Azt a vektormezőt határozza meg, aminek az adott vektormező a rotációja:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\operatorname {rot} \ \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.

A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a $\mathbf {B} (\mathbf {r} )$ forrássűrűséggel.

A mágneses vektorpotenciál

Az időben állandó áramok által létrehozott stacionárius mágneses teret leíró egyenletek lineáris és izotróp közegben:

$\operatorname {rot} H=J$

$\operatorname {div} B=0$

$~B=\mu H$

ahol a H a mágneses térerősség, B a mágneses indukció, J az áramsűrűség, és µ a közeg permeabilitása, amelyről feltételezzük, hogy térrészenként állandó. Mivel H nem örvénymentes, ezért nem állítható elő egy egyértékű skalár potenciál gradienseként. Általános esetben $\,{\vec {B}}$ indukciójú mágneses mezőt az $\,{\vec {A}}$ vektorpotenciállal jellemezhetünk. Bármely divergenciamentes $\,{\vec {B}}$ vektor előállítható egy alkalmas $\,{\vec {A}}$ vektor, a vektorpotenciál divergenciájaként (nevezik mágneses vektorpotenciálnak is, SI egysége: T/m ), hiszen a div rot A =0,, ezek szerint

$~B=\operatorname {rot} A$

A vektorpotenciált a mezőt gerjesztő áramok (áramsűrűségek) határozzák meg.

Általános kifejezése:

${\vec {A}}={\frac {\mu }{4\pi }}\int \limits _{V}{\frac {{\vec {j}}\,\ dV}{r}}$

ahol µ a permeabilitás, és r a mágneses mező vizsgált pontjának távolsága a dV térfogatelemtől.

A vektorpotenciál helyfüggésének ismeretében a mágneses indukció és a térerősség rotációképzéssel számítható.

Elektromos vektorpotenciál

Az elektromos térerősség kifejezhető $Z=Z(r)$ elektromos vektorpotenciál rotációjának és az elektrosztatikus potenciál gradiensének összegeként:

$\mathbf {E} =\nabla \times \mathbf {Z} +\nabla V$

Irodalom

• Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.