Համիլտոնյան (քվանտային մեխանիկա)

Չշփոթել Համիլտոնի ֆունկցիայի հետ։

Համիլտոնյան (նշանակվում է ${\hat {H}}$ կամ H), համակարգի լրիվ էներգիայի օպերատորը քվանտային մեխանիկայում։ Կոչվել է իռլանդացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Համիլտոնի անունով։

Համիլտոնյանի սպեկտրը հնարավոր արժեքների բազմությունն է համակարգի լրիվ էներգիայի փոփոխության դեպքում։ Սպեկտրը կարող է լինել դիսկրետ կամ անընդհատ։ Կարող է նաև այնպիսի դեպք լինել (օրինակ՝ կուլոնյան պոտենցիալը), երբ սպեկտրը բաղկացած է ընդհատ և անընդհատ մասերից։

Քանի որ էներգիան իրական մեծություն է, համիլտոնյանը ինքնահամալուծ օպերատոր է։

Շրյոդինգերի հավասարում

Հիմնական հոդված՝ Շրյոդինգերի հավասարում

Համիլտոնյանը հարուցում է քվանտային վիճակների ժամանակավոր փոփոխություն։ Եթե $\left|\psi (t)\right\rangle$-ն համակարգի վիճակն է t պահին, ապա

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$:

Այս հավասարումը կոչվում է Շրյոդինգերի հավասարում (այն նույն տեսքն ունի, ինչ Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումը դասական մեխանիկայում)։ Իմանալով վիճակը ժամանակի սկզբնական պահին (t = 0), մենք կարող ենք լուծել Շրյոդինգերի հավասարումը և ստանալ վիճակի վեկտորը ժամանակի ցանկացած հաջորդ պահի համար։ Մասնավորապես, եթե H-ը կախված չէ ժամանակից, ապա

$\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle$

Էքսպոնենտի օպերատորը Շրյոդինգերի հավասարման աջ մասում որոշվում է ըստ H-ի աստիճանային շարքով։

Ըստ հոմոմորֆ հատկությունների,

$U=e^{-iHt/\hbar }$

օպերատորն ունիտար է։ Դա փակ քվանտային համակարգի ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորն է (կամ պրոպագատորը)։

Եթե համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից, {U(t)}-ն միապարամետրական խումբ է կազմում, որտեղից հետևում է принцип детального равновесия.

Համիլտոնյանի արտահայտությունը կոորդինատային պատկերացումով

Ազատ մասնիկ

Եթե մասնիկը պոտենցիալ էներգիա չունի, ապա համիլտոնյանը ամենապարզն է։ Մեկ չափողականության դեպքում

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$

Եռաչափ դեպքում

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Պոտենցիալ փոս

V = V₀ հաստատուն պոտենցիալով (ժամանակից և կոորդինատներից անկախ) մասնիկի համար մեկ չափողականության դեպքում համիլտոնյանը՝

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$

Եռաչափ դեպքում

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$։

Պարզագույն հարմոնիկ տատանակ

Պարզ հարմոնիկ տատանակի համար միաչափ դեպքում պոտենցիալը կախված է կոորդինատից (բայց ոչ ժամանակից) որպես

$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},$

որտեղ տատանակի անկյունային հաճախությունը, k առաձգականության գործակիցը և m զանգվածը բավարարում են

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

առնչությանը, այդ պատճառով համիլտոնյանի տեսքը հետևյալն է՝

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$։

Եռաչափ դեպքում համիլտոնյանը ընդունում է

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}$

տեսքը, որտեղ r եռաչափ շառավիղ-վեկտորի մեծությունը որոշվում է որպես

$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$։

Լրիվ համիլտոնյանը միաչափ համիլտոնյանների գումարն է՝

${\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}$։

Դաշտի քվանտային տեսություն

Դաշտի դասական տեսությունում ընդհանրացված կոորդինատների դերը կատարում են դաշտի ֆունկցիաները տարածաժամանակի յուրաքանչյուր կետում, իսկ դաշտի քվանտային տեսությունում դրանք վերածվում են օպերատորների։ Փոխազդող դաշտերի համակարգի համար համիլտոնյանն իրենից ներկայացնում է ազատ դաշտերի էներգիաների և փոխազդեցության էներգիաների օպերատորների գումար։ Ի տարբերություն լագրանժյանյի, համիլտոնյանը չի տալիս համակարգի բացահայտ ռելյատիվիստական-ինվարիանտ նկարագրություն․ էներգիան տարբեր իներցիալ համակարգերում տարբեր է, չնայած ռելյատիվիստական համակարգերի համար կարելի է ապացուցել այդ ինվարիանտությունը։

Գրականություն

• The Feynman Lectures on Physics, Volume III
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9