Ավարտել է Թիֆլիսի համալսարանը (1930), աշխատել է ՄՄՀՄ ԳԱ-ում, Վրացական ԽՍՀ ԳԱ-ում, Թբիլիսիի, Մոսկվայի, Նովոսիբիրսկի բուհերում, Թբիլիսիի (1940 թվականից) և Մոսկվայի համալսարանների (1952 թվականից) պրոֆեսոր։ 1959-1964 թվականներին Նովոսիբիրսկի, իսկ 1965-1972 թվականներին՝ Թբիլիսիի համալսարանների ռեկտոր։ 1972 թվականից՝ Վրացական ԽՍՀ ԳԱ նախագահ։
Իլյա Վեկուայի հիմնական աշխատանքները վերաբերում են սինգուլյար ինտեգրալ հավասարումներին և անալիտիկ ֆունկցիաների տեսության եզրային հարցերին, էլիպսական տիպի մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների եզրային խնդիրներին, ընդհանրացյալ անալիտիկ ֆունկցիաների տեսությանը և դրա կիրառումներին մեխանիկայում, երկրաչափությունում և թաղանթների տեսությունում։ ԽՍՀՄ պետական մրցանակ (1950), լենինյան մրցանակ (1963)։ Եղել է արտասահմանյան մի քանի ակադեմիաների և գիտական ընկերությունների անդամ։ Պարգևատրվել է Լենինի 5 և «Պատվո նշան» շքանշաններով։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 11, էջ 363)։