Uji kekonvergenan

(Dialihkan dari Tes konvergensi)

Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar uji kekonvergenan

sunting
  • Limit dari jinumlah: Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu  , maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
  • Uji rasio: Uji ini juga dikenal sebagai kriteria d'Alembert (d'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat   sedemikian rupa sehingga Jika  , maka deret tersebut konvergen. Jika  , maka deret tersebut divergen. Jika  , maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
  • Uji akar: Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkan dengan   melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika  , maka deret tersebut konvergen. Jika  , maka deret tersebut divergen. Jika  , maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
  • Uji integral: Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan   adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga  . Jika maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret   konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.
    • Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah uji deret-p: Misalkan  , maka   konvergen jika  . Kasus   untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus   adalah masalah Basel dan deret tersebut konvergen menuju  . Secara umum, untuk  , maka deret tersebut sama dengan fungsi zeta Riemann dari  , yaitu  .
  • Uji perbandingan langsung: Jika deret   merupakan suatu deret konvergen mutlak dan   untuk   yang cukup besar, maka deret   konvergen mutlak.
  • Uji perbandingan limit: Jika  , dan limit   ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka   konvergen jika dan hanya jika   konvergen.
  • Uji kondensasi Cauchy: Misalkan   adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah   adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah   konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan  .
  • Uji Abel: Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:   adalah suatu deret konvergen;   adalah suatu urutan monoton; dan   mempunyai batasan (bounded). Maka   juga konvergen.
  • Uji Dirichlet: Jika   adalah barisan bilangan real dan   adalah barisan bilangan kompleks yang memenuhi syarat bahwa:  ,  , dan   untuk setiap bilangan bulat positif   dengan menyatakan suatu konstan, maka deret   konvergen.
  • Uji kekonvergenan Cauchy: Suatu deret   adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap  , terdapat suatu bilangan asli   sehingga  berlaku untuk semua   dan untuk semua  .
  • Teorema Stolz–Cesàro: Misalkan   dan   adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa   adalah barisan yang monoton sempurna dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut: Maka, limit 
  • Uji-M Weierstrass: Misalkan   adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan  , dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif   yang memenuhi syarat-syarat:   untuk semua   dan semua  , serta   konvergen. Maka deret   konvergen mutlak dan seragam di  .
  • Uji Raabe–Duhamel: Misalkan   adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan  Jika   ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika  , maka deret itu konvergen; jika  , maka deret itu divergen; dan jika  , maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan   adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat   dan   (adalah suatu bilangan asli) sehingga untuk semua  , maka deret   konvergen.

Catatan

sunting
  • Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

Contoh

sunting

Misalkan, diberikan suatu deret

 

 

 

 

 

(i)

Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika

 

 

 

 

 

(ii)

konvergen terhingga. Karena maka deret di (ii) adalah deret geometri dengan rasio  . Deret di (ii) adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis  . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika  .

Kekonvergenan hasil kali

sunting

Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari hasil kali tak terhingga. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:

Misalkan   adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga   konvergen jika dan hanya jika deret   konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan  , maka   mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret   konvergen.

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma dari hasil kali dan menggunakan uji perbandingan limit.[1]

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Belk, Jim (26 January 2008). "Convergence of Infinite Products". 

Pranala luar

sunting