„Hornafall“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
m r2.7.1) (robot Bæti við: az:Triqonometrik funksiyalar |
m +fl (både eukl. och oeukl. geometri; hyperboliska rum hör till det senare området). |
||
| (Ein millibreyting eftir 14 notendur ekki sýnd) | |||
Lína 3:
Hornaföll eiga sér [[andhverfa|andhverfur]], sem eru stundum sameiginlega kölluð ''arcusarhornaföll''. Þau föll heita sömu nöfnum og venjulegu hornaföllin, en með forskeytið „arcus“, sem er [[latneska]] orðið fyrir „horn“: Arcus sinus (''arcsin''), arcus cosinus (''arccos''), arcus tangens (''arctan''), og svo framvegis. Stundum eru þessi föll rituð sem <math>\sin^{-1}</math>, <math>\cos^{-1}</math> og svo framvegis þar sem að <math>f^{-1}</math>(x) er viðtekið tákn fyrir andhverfa fallið af f(x).
Hornaföllin sem nefnd eru hér að framan eru skilgreind fyrir [[rétthyrnd hnitakerfi]], en [[hýperbólísk hornaföll]] eru nauðsynleg í [[hýperbólískt rúm|hýperbólísku rúmi]], svo sem í [[Riemann rúm]]i, ásamt í mörgum sértilfellum í [[örsmæðareikningur|örsmæðareikningi]] og öðrum fögum.
== Skilgreiningar ==
Til eru margar skilgreiningar á hornaföllum. Fyrsta skilgreiningin á þeim var samband á milli hvassra [[horn]]a í rétthyrndum [[þríhyrningur|þríhyrningi]] og hlutfalla á milli lengda hliða hans. Þannig er sínus af hvössu horni rétthyrnds þríhyrnings skilgreindur sem hlutfallið á milli [[þríhyrningur|mótlægrar skammhliðar]] og [[þríhyrningur|langhliðar]], kósínus af hvössu horni í [[rétthyrndur þríhyrningur|rétthyrndum þríhyrningi]] skilgreindur sem hlutfallið á milli [[þríhyrningur|aðlægrar skammhliðar]] og langhliðar og tangens af horni skilgreindur sem hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar og aðlægrar skammhliðar eða sem hlutfallið á milli sínuss og kósínuss sama horns.
Almennari skilgreining er að skilgreina föllin sínus og kósínus sem hnit punkts á ferli [[Einingarhringur|einingarhrings]], þannig að hornið sem miðað er við myndist á milli
[[Mynd:Unit_circle.svg|alt=Einingarhringurinn með horn t|thumb|Hér sést einingarhringurinn þar sem búið er að teikna horn að stærðinni t, punkturinn á hringnum hefur hnitið (cos t, sin t)]]
Sínus af x eða sin(x) er y-hnit þess punkts sem lendir á einingarhringnum (sjá mynd af einingarhring). Sínus er í raun hlutfall af einum þar sem hæsta gildi sínusar er 1 og lægsta -1. Þetta hlutfall er hægt að finna með því að finna hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar við hornið x og langhliðar þríhyrningsins (sem er alltaf 1 í einingarhringnum).
<math>\sin{x}=\frac{motlaeg \ skammhlid}{langhlid}</math>
Kósínus af x eða cos(x) er x-hnit þess punkts sem lendir á einingarhringnum (sjá mynd af einingarhring). Kósínus er í raun hlutfall af einum þar sem hæsta gildi á kósínus er 1 og lægsta er -1. Þetta hlutfall er hægt að finna með því að finna hlutfallið á milli aðlægrar skammhliðar við hornið x og langhliðar þríhyrningssins (sem er alltaf 1 í einingarhringnum).
<math>\cos{x}=\frac{adlaeg \ skammhlid}{langhlid}</math>
Tangens er hallatala snertils við einingarhringinn og fæst hún á sambærilegan máta og hallatala jöfnu línu, þar sem miðja einingarhringsins er (0,0) og punkturinn sem snertillinn lendir í er í (cos x, sin x) þá fæst að hallatala línunnar sem fer um þessa punkta er:
<math>
\tan{x} = \frac{\sin{x}-0}{\cos{x}-0} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}</math> þar sem hallatala línu sem fer um punkta <math>(x_1, y_1) </math>og <math>(x_2,y_2)</math> er <math>h = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.
og þá sést að:
<math>\tan{x} = \frac{\frac{motlaeg}{langhlid}}{\frac{adlaeg}{langhlid}} = \frac{motlaeg}{langhlid}*\frac{langhlid}{adlaeg} = \frac{motlaeg}{adlaeg}</math>
Enn almennari skilgreining er að skilgreina hornaföllin sem summu af óendanlegri [[röð (stærðfræði)|röð]], s.s. [[Taylor röð]] eða [[veldaröð]] eða þá sem lausn á [[deildajafna|deildajöfnum]].
Lína 32 ⟶ 50:
:<math>\cos (\tfrac{v}{2}) = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos v}{2}}</math>
== Tengt efni ==
* [[Bylgja]]
* [[Rúmfræði]]
* [[Hornafræði]]
* [[Kúluhornafræði]]
* [[Ræð hornafræði]]
[[Flokkur:Stærðfræði]]
[[Flokkur:Rúmfræði]]
[[Flokkur:Evklíðsk rúmfræði]]
[[Flokkur:Óevklíðsk rúmfræði]]
| |||