Grúpa

Grúpa^[1] er algebrumynstur sem samanstendur af mengi ásamt aðgerð þannig að hver tvennd úr menginu er vensluð staki úr sama mengi. Aðgerðin, sem um ræðir, er almennt kölluð margföldun, þótt ekki sé um margföldun í venjulegum skilningi að ræða. Svo almenn lýsing nær yfir fjölda fyrirbrigða í stærðfræði, t.d. er mengi heiltalna með venjulegri samlagningu grúpa og einingarhringurinn í tvinntalnasléttunni er margföldunargrúpa. Grúpur eru notaðar til að búa til einfalda lýsingu á flóknu kerfi. Þetta á einnig við um grannfræði, talningarfræði og stærðfræðigreiningu.

Skilgreining

Grúpa er mengi G ásamt tvístæðri aðgerð • (kallast grúpuaðgerð,^[2] group law á ensku) sem tengir stök a og b saman (táknað a • b eða ab) þar sem mengið og aðgerðin (G, •) uppfylla eftirfarandi skilyrði:

Lokun: a • b er í G fyrir öll a og b í G.
Tengni: (a • b) • c = a • (b • c) fyrir öll a, b og c í G
Hlutleysa: Til er stak e í G þannig að e • a = a • e = a gildir fyrir öll stök a í G
Andhverfa: Fyrir gefið stak a í G er til stak b í G svo a • b = b • a = e.

Í mörgum kennslubókum um grúpufræði er tekið fram að tvíundaraðgerðin er lokuð með tilliti til þessarar aðgerðar, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að til er c í G þ.a. a • b = c. Hinsvegar er oftast innifalið í skilgreiningunni á tvíundaraðgerð að hún sé lokuð. Ef aðgerðin er víxlin, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að a • b = b • a, þá kallast grúpa víxlgrúpa eða Abel-grúpa, til heiðurs Niels Henrik Abel.