Anello (algebra)

Template:Avvisounicode In matematica un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con $+$ e $\cdot$, che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

Definizione formale

L'insieme A, dotato di due operazioni binarie + e ·, è un anello se valgono le seguenti proprietà:

(A, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0:

• (a + b) + c = a + (b + c)
• a + b = b + a
• 0 + a = a + 0 = a
• ∀a ∃(−a) tale che a + (−a) = (−a) + a = 0

(A, ·) è un semigruppo:

• (a·b)·c = a·(b·c)

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

• a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
• (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

(le relazioni devono valere per ogni a, b e c in A)

Come per i numeri, il simbolo · per la moltiplicazione è spesso omesso.

Spesso vengono studiati anelli che posseggono ulteriori proprietà: se anche la moltiplicazione è commutativa, A è detto anello commutativo, se ammette un elemento neutro (generalmente indicato con 1; cioè (A, ·) è un monoide) allora l'anello è unitario; se poi l'anello è commutativo e non esistono divisori dello 0 (cioè se ab=0 allora almeno uno tra a e b è 0) si è in presenza di un dominio d'integrità.

Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è un anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia un corpo commutativo. L'esempio più importante di corpo non commutativo è il corpo $\mathbb {H}$ dei quaternioni, mentre gli insiemi $\mathbb {Q}$ (numeri razionali), $\mathbb {R}$ (numeri reali) e $\mathbb {C}$ (numeri complessi) sono esempi di campi.

A volte la definizione di anello è lievemente diversa. La più importante di queste differenze è la richiesta che l'anello possegga anche l'unità: tra i matematici che adottano questa definizione vi sono Bourbaki e Serge Lang. In questo caso, per riferirsi alla struttura qui presentata come anello, viene usato il termine pseudoanello. Altri autori non richiedono l'associatività del prodotto.

Esempi

L'esempio più basilare della struttura di anello è l'insieme $\mathbb {Z}$ dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo ed è un dominio d'integrità. L'insieme dei numeri naturali non è invece un anello, perché non esistono gli inversi rispetto all'addizione.

Allo stesso modo, l'insieme A[x] dei polinomi con variabile x e coefficienti in un anello A formano un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi. Tale anello eredita molte proprietà da quelle di A, quali la commutatività e l'assenza di divisori dello 0. Anche l'insieme F(X, A) delle funzioni da un insieme qualsiasi X ad un anello A forma un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni punto a punto, definite nel modo seguente:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

Un anello non commutativo è invece l'anello delle matrici n x n (con $n\geq 2$) a valori in un anello A (indicato con $M(n,A)$), con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello possiede anche dei divisori dello zero. Ad esempio, in $M(2,\mathbb {R} )$ valgono le relazioni:

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$

e

${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

Teoremi di base

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni a e b in un anello A:

• 0a = a0 = 0,
• (−a)b = a(−b) = −(ab).

Se poi l'anello A è unitario, allora

• l'unità è unica,
• (−1)a = −a,
• (ab)⁻¹ = b⁻¹ a⁻¹ se a e b hanno inversi rispetto al prodotto.,
• se 0 = 1 allora l'anello è formato da un solo elemento,

Un altro importante teorema, che non richiede l'esistenza dell'unità, è il teorema del binomio:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},$

valido per ogni coppia di elementi x e y che commutano (cioè tali che xy = yx).

Sottostrutture

Un sottoanello di un anello A è un sottogruppo S di (A, +) che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole, S è un sottoinsieme non vuoto di A, e se a e b sono in S, allora anche $a-b$ e ab sono in S. Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per S, anch'esso è un anello rispetto alle operazioni + e · di A. In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:

• I numeri interi divisibili per n sono un sottoanello di Z.
• I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di Q.
• L'insieme di tutti i numeri reali della forma a + b√2 con a e b interi è un sottoanello di R.
• Gli interi gaussiani a + bi in C, dove a e b sono interi, sono un sottoanello di C.
• I polinomi in A[x] del tipo p(x) = a₀ + a₁x² + a₂x⁴ + ... + a_nx²ⁿ sono un sottoanello di A[x].
• L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.

Un particolare sottoanello è il centro di un anello A: esso comprende tutti gli elementi che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di A. Esso coincide con l'intero anello se e solo se A è un anello commutativo.

A partire da un sottoanello S di A e da un sottoinsieme X, si può costruire il più piccolo sottoanello contenente S ed X: esso è indicato con S[X], ed è uguale all'insieme delle combinazioni degli elementi di $S\cup X$ mediante le operazioni di anello. Tale operazione è detta estensione di anelli, ed è "finitamente generata" se X è finito.

Ideali

Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti ai, dove a è un elemento dell'anello e i appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale. Se invece l'anello non è commutativo, è necessario distinguere tra ideali destri e sinistri: i primi sono quelli tali che ia appartiene all'ideale per ogni i nell'ideale e a nell'anello, mentre per i secondi, allo stesso modo, ai appartiene all'ideale. Se un ideale è sia destro che sinistro, viene detto bilatero o bilaterale.

L'importanza di questa struttura risiede nel fatto che il nucleo di un omomorfismo tra due anelli è sempre un ideale bilatero di A, e che a partire da un ideale bilatero I è possibile costruire l'anello quoziente A/I. Inoltre la presenza di ideali permette di stabilire un'importante proprietà dell'anello: esso è infatti un campo se e solo se è privo di ideali non banali (cioè diversi dall'insieme {0} e dall'anello stesso).

A seconda del rapporto di un ideale con il resto dell'anello, sono possibili ulteriori specificazioni: un ideale primo I è un ideale tale che, per ogni prodotto ab che appartiene ad I, almeno uno tra a e b appartiene ad I (il nome deriva dalla similitudine di questa definizione con il lemma di Euclide riguardante i numeri primi); se invece non esistono ideali "intermedi" tra I ed A (cioè se l'unico ideale di A che contiene I è A stesso) si parla di ideale massimale. Questi due tipi di ideali sono particolarmente importanti in relazione ai loro quozienti: in un anello commutativo, infatti, I è primo se e solo se A/I è un dominio d'integrità, mentre se l'anello è anche unitario I è massimale se e solo se A/I è un campo. Questo implica anche che, in un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale è primo.

Il lemma di Krull (la cui dimostrazione si basa sul lemma di Zorn) afferma che ogni anello unitario possiede almeno un ideale massimale; se esso è unico, l'anello si dice locale. L'insieme degli ideali primi di un anello commutativo A forma il cosiddetto spettro di A.

Elementi invertibili

Un elemento a di un anello A con unità è invertibile se esiste un b tale che $ab=ba=1$.

Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.

L'insieme degli elementi invertibili in A è generalmente descritto come $A^{*}$. L'insieme $A^{*}$ forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di A.

Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi $\{-1,1\}$. In un corpo o in un campo, il gruppo moltiplicativo coincide con tutto l'anello privato dell'elemento neutro.

Omomorfismi

Un omomorfismo tra due anelli A e B è una funzione che preserva le operazioni, cioè una funzione f tale che, per ogni coppia di elementi a e b di A, si ha $f(a+b)=f(a)+f(b)$ e $f(ab)=f(a)f(b)$. Gli omomorfismi quindi preservano in qualche modo la struttura algebrica; particolarmente importanti tra di essi sono gli isomorfismi, ovvero gli omomorfismi biunivochi, che la conservano completamente: due anelli isomorfi possono essere considerati "uguali" per tutte le proprietà algebriche.

Ogni omomorfismo mappa lo zero di A nello zero di B, mentre questo non avviene per l'unità, nemmeno se entrambi gli anelli sono unitari: condizioni sufficienti perché questo avvenga è che l'omomorfismo sia suriettivo oppure che nel codominio non esistano divisori dello zero. Il nucleo di un omomorfismo è un ideale bilatero di A, e viceversa ogni ideale è il nucleo di un omomorfismo: invece l'immagine di A è un sottoanello di B. Gli omomorfismi preservano in una certa misura anche le sottostrutture: l'immagine di un sottoanello è un sottoanello, mentre l'immagine di un ideale è un ideale nell'immagine di A, ma non necessariamente in B.

Una relazione molto importante è il teorema fondamentale di omomorfismo, che permette di trovare degli isomorfismi a partire dagli omomorfismi: se f è un omomorfismo tra A e B e I è il suo nucleo, allora il quoziente A/I è isomorfo all'immagine f(A).

Un omomorfismo suriettivo può essere considerato una proiezione di un anello A su un suo quoziente A/I (dove I è il nucleo); un omomorfismo iniettivo, invece, può essere considerato un'inclusione di un anello nell'altro, perché, per il teorema di omomorfismo, esiste nel codominio un'immagine isomorfa ad A, che quindi può essere considerata uguale ad A. Se A è un campo, inoltre, tutti gli omomorfismi non nulli sono iniettivi, in quanto gli unici ideali sono quelli banali.

Prodotto diretto

Il prodotto diretto di due anelli A e B è il prodotto cartesiano A×B con le operazioni definite termine a termine:

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁+a₂, b₁+b₂),

(a₁, b₁)(a₂, b₂) = (a₁a₂, b₁b₂).

Questo nuovo insieme forma un anello, in cui lo 0 è la coppia $(0_{A},0_{B})$. Diverse proprietà di questo nuovo anello possono essere dedotte dalle proprietà degli anelli di partenza: A×B è commutativo se e solo se lo sono entrambi i fattori, mentre se A e B sono unitari allora $(1_{A},1_{B})$ è l'unità di A×B. Una proprietà che invece non passa al prodotto è l'assenza di divisori degli zeri: infatti il prodotto $(0_{A},a)(b,0_{B})$ è sempre uguale a $(0_{A},0_{B})$, anche se a e b non sono zeri. Questo implica che il prodotto diretto di campi non è mai un campo, a meno che uno non sia ridotto al solo 0.

Questa definizione si può estendere naturalmente al prodotto cartesiano di n anelli.

Elementi primi ed irriducibili

In un dominio d'integrità è possibile come in $\mathbb {Z}$ studiare la fattorizzazione di un dato elemento (non invertibile). In questo contesto, la definizione di divisibilità si estende naturalmente al caso di qualsiasi dominio: a divide b se esiste un elemento r tale che ar=b. Se r è invertibile, a e b si dicono associati.

Due definizioni emergono naturalmente in questo studio:

• un elemento a è irriducibile se, ogniqualvolta che a=bc, allora o b o c è invertibile;
• un elemento a è primo se, quando a divide il prodotto bc, allora a divide almeno uno tra b e c.

In $\mathbb {Z}$, queste due definizioni sono equivalenti, ma questo non è vero in generale: gli elementi primi sono irriducibili, ma gli irriducibili non sono sempre primi. Ad esempio, nell'anello $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}]~|~a,b\in \mathbb {Z} \}=\{a+ib{\sqrt {3}}]~|~a,b\in \mathbb {Z} ,~i={\sqrt {-1}}\}$, 2 è irriducibile ma non primo, perché divide il prodotto $(1-i{\sqrt {3}})(1+i{\sqrt {3}})=4$, ma non divide né un fattore né l'altro.

Questa seconda implicazione è tuttavia verificata negli anelli a fattorizzazione unica, ovvero in quegli anelli in cui, date due fattorizzazioni in irriducibili

$a=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=c_{1}c_{2}\cdots c_{m}$

allora m=n, e ogni $b_{i}$ è associato ad un $c_{j}$. In ogni dominio a fattorizzazione unica esistono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra ogni coppia di elementi.

Anelli con ancora maggiori proprietà sono gli anelli ad ideali principali e gli anelli euclidei, in cui è possibile effettuare la divisione euclidea come negli interi. A quest'ultima classe appartengono anche gli anelli di polinomi $\mathbb {K} [X]$, dove $\mathbb {K}$ è un campo.

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

Voci correlate

• Storia della teoria degli anelli
• Teoria degli anelli
• Ideale
• Anello commutativo
• Pseudoanello
• Semianello
• Dominio di integrità
• Campo
• Struttura algebrica

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Anello, in MathWorld, Wolfram Research.