Insieme di Julia

In analisi complessa, l'insieme di Julia di una funzione olomorfa consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

Un insieme di Julia

Il complementare dell'insieme di Julia nel piano complesso si chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.

I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou, che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all'inizio del XX secolo, considerando il caso delle iterazioni di funzioni razionali.

Polinomi quadratici

Alcuni insiemi di Julia al variare di $c$ nell'insieme di Mandelbrot

Consideriamo ad esempio la funzione olomorfa, dipendente da un parametro complesso $c$:

$f_{c}(z)=z^{2}+c.$

L'insieme di tutti i valori $c$ per cui l'insieme di Julia di $f_{c}$ è connesso forma il celebre insieme di Mandelbrot. Se $c$ è fuori di questo insieme, l'insieme di Julia risulta essere omeomorfo all'insieme di Cantor.

Esempi

Tramite un calcolatore è possibile rappresentare la dinamica delle iterazioni. Qui di seguito viene rappresentata la dinamica dell'iterazione $z\rightarrow z^{2}+c$ per i valori:

$c=\phi -2;\phi -2+(\phi -1)i;0,285.$

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e quindi per:

$c=0,285+0,013i;0,45-0,1428i;-0,70176-0,3842i;-0,835-0,2321i.$

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Bibliografia

• (EN) Lennart Carleson and Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer 1993
• (FR) Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• (EN) John Milnor, Dynamics in One Complex Variable (terza edizione), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (comparso come preprint a Stony Brook nel 1990], disponibile come arXiV:math.DS/9201272.)

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Collegamenti esterni

• (EN) Julia set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Julia sets, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Julia Set, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Julia set, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Programma in C per creare l'insieme di Julia., su mamo139.altervista.org.
• Un piccolo programma per creare l'insieme di Julia (Windows, 370 kb), su lizardie.com. URL consultato il 29 ottobre 2009 (archiviato dall'url originale il 17 marzo 2011).

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