Sottospazio ortogonale

In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di ortogonalità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana $\phi :V\times V\to K$. Sia $W$ un sottospazio vettoriale di $V$. Il sottospazio ortogonale $W^{\perp }$ di $W$ è l'insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di $W$:

$W^{\perp }=\{v\in V\ |\ \phi (v,w)=0\ \forall w\in W\}$

Dove due vettori $v,w$ di $V$ sono detti ortogonali se e solo se $\phi (v,w)=0$.

Si dimostra facilmente che l'insieme $W^{\perp }$, munito della somma e del prodotto mutuati da $V$, è un sottospazio vettoriale di $V$; si dimostra inoltre che, se ${\mathcal {L}}(W)$ è il sottospazio generato dai vettori di $W$, allora:

$W^{\perp }=\left({\mathcal {L}}(W)\right)^{\perp }$

Dimensioni e somma diretta

Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale di $V$. La sua dimensione non è fissata generalmente, ma vale la disuguaglianza:

$\dim W+\dim W^{\perp }\geq \dim V$

Se il prodotto scalare o la forma hermitiana è non degenere, vale l'uguaglianza:

$\dim W+\dim W^{\perp }=\dim V$

Infine, se $K=\mathbb {R}$ e $\phi$ è un prodotto scalare definito positivo, oppure se $K=\mathbb {C}$ e $\phi$ è una forma hermitiana definita positiva, lo spazio $W$ ed il suo ortogonale sono in somma diretta:

$W\oplus W^{\perp }=V$

Questo è il caso ad esempio in ogni spazio euclideo o spazio di Hilbert. Lo stesso risultato vale se $\phi$ è definito negativo. Per questo motivo, se $\phi$ è definito positivo o negativo il sottospazio ortogonale è chiamato anche complemento ortogonale.

Relazioni con le altre operazioni

Valgono le relazioni seguenti per ogni coppia $U$ e $W$ di sottospazi di $V$:

$U\subset W\Rightarrow W^{\perp }\subset U^{\perp }\qquad (U+W)^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp }\qquad (U^{\perp })^{\perp }\supset U$

Se $\phi$ è non degenere, vale:

$(U^{\perp })^{\perp }=U$

Radicale

Il radicale di $\phi$ è definito come il sottospazio formato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore di $V$:

${\rm {Rad}}(\phi )=V^{\perp }$

Un prodotto scalare (o forma hermitiana) $\phi$ è non degenere quando il radicale è il sottospazio banale (consta cioè del solo elemento zero).

Bibliografia

• Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Somma diretta
• Sottospazio vettoriale
• Spazio di Hilbert
• Spazio euclideo

Collegamenti esterni

• Instructional video describing orthogonal complements (Khan Academy), su khanexercises.appspot.com (archiviato dall'url originale il 5 marzo 2012).