「ガウス求積」の版間の差分

nを正の[[整数]]とし、<math>f(x)</math> を 2n-1 次以下の任意の[[多項式関数]]とする。'''積分点'''または'''ガウス点 (ガウスノード)'''と呼ばれる [-1, 1] 内のn個の点 <math>x_i</math> を適切に決めると、'''重み''' と呼ばれるn個の実数 <math>w_i</math> が <math>f(x)</math> によらず一意的に定まり、<math>f(x)</math>の [-1, 1] に渡る定積分値 <math>I</math> は厳密にを、

この場合のn個の積分点の選び方実は一通りではないが、特にn次の[[ルジャンドル多項式]]のn個の零点(これらは全て [-1, 1] 内にある)を積分点として選び、<math>w_i</math> を適切に選ぶと、<math>f(x)</math> が2n-1次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが分かっている。この場合、<math>w_i</math> は <math>f(x)</math> によらず一意的に定まる。この方法をn次の'''ガウス・ルジャンドル(Gauss-Legendre)公式'''と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している<ref name="Mori_Natori_Torii_1982">森・名取・鳥居　『数値計算』、岩波書店〈情報科学 18〉、1982年、pp130-132。</ref>。

<math>f(x)</math> が2n-1次を超える多項式関数の場合、または多項式関数でない場合におは、上記の公式は厳密には成立しないてもが、<math>f(x)</math> が2n-1 次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上記の公式を <math>f(x)</math> に対して適用することにより、その [-1, 1] における定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外の例えば、[[特異点]]のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、対象の関数を <math>f(x) = W(x) g(x)</math> と表すことができ、g(x) が近似多項式で W(x) が既知であれば、それを代替する重み <math>w_i</math> を使って次のように表せる。