「デデキント無限」の版間の差分

: <math>f(n) = (x_{n0},x_{n1},\ldots,x_{nn})</math>

と表す。いま <math>Y = \{ x_{ni} \mid i \leq n < \omega \}</math> とおけば、 <math>Y</math> は可算無限集合である。実際 <math>Y</math> の元は <math>x_{00}, x_{10}, x_{11}, \ldots</math> と（重複は飛ばして）枚挙できる。したがって <math>Y</math> は <math>X</math> の可算無限部分集合である。そこで可算無限部分集合 <math>Y</math> を'''潰す'''ことで全射でない単射 <math>h:X\to X</math> が得られる。したがって <math>X</math> はデデキント無限である。

<!-- 【翻訳部分がわかりにくいので書き換えます。】

第一に、(有限順序数でもある)自然数の集合'''N'''上の関数''f'' :'''N'''→P(''X'' )を定義する。

 

== 一般化 ==

圏論的な言葉で表現すれば、集合 {{mvar|A}} は集合の圏においてすべてのモノ射 {{nowrap|''f'': ''A'' → ''A''}} が同型射であるときにデデキント有限である。[[フォン・ノイマン正則環]] {{mvar|R}} が（左あるいは右）{{mvar|R}}-加群の圏において同様の性質を持つことと、{{mvar|R}} において {{nowrap|1=''xy'' = 1}} ならば {{nowrap|1=''yx'' = 1}} が成り立つことは同値である。より一般に、'''デデキント有限環''' (Dedekind-finite ring) は、この条件（{{nowrap|1=''xy'' = 1}} ならば {{nowrap|1=''yx'' = 1}}）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 ''_RR'' がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと ''R'' がデデキント有限であることは同値である。