ドナルドソンの定理

数学では、ドナルドソンの定理(Donaldson's theorem)は、次元 4 の単連結な滑らかな多様体(smooth manifold)の定値(definite)な交叉形式は、対角化可能であるという定理である。交叉形式が正定値（負定値）であれば、交叉形式は整数上の単位行列（負の単位行列）に対角化可能である。

歴史

この定理は、サイモン・ドナルドソン(Simon Donaldson)により証明された。

拡張

マイケル・フリードマン(Michael Freedman)は、任意のユニモジュラー対称二次形式(unimodular symmetric bilinear form)は、ある向きづけられた 4次元閉多様体の交叉形式として実現されることを示していた。この結果とセールの分類定理(Serre classification theorem)とドナルドソンの定理を結びつけると、いくつかの興味深い結果が得られる。

1) 対角化ができない交叉形式は、微分構造(differentiable structure)を持たない 4次元位相多様体(topological manifold)から発生する（滑らかにはできない）。

2) 2つの滑らかで単連結な 4次元多様体が同相であることと、それらの交叉形式は同一のランク、符号、パリティを持つ。

関連項目

• ユニモジュラー格子(Unimodular lattice)

参考文献

• Donaldson, S. K. (1983), “An application of gauge theory to four-dimensional topology”, Journal of Differential Geometry 18 (2): 279–315, ISSN 0022-040X, MR710056, http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437665 
• S. K. Donaldson, P. B. Kronheimer The Geometry of Four-Manifolds (Oxford Mathematical Monographs) ISBN 0-19-850269-9
• D.S. Freed, K. Uhlenbeck, Instantons and four-manifolds, Springer (1984)
• M. Freedman, F. Quinn, Topology of 4-Manifolds", Princeton University Press (1990)
• A. Scorpan,The Wild World of 4-Manifolds, American Mathematical Society (2005)