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命数法

数を表現するための表記体系
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命数法（めいすうほう、英語: Numeral system, または system of numeration）とは、数を名付ける法、即ち与えられた数を表わすための、一連の方式・規則・対応である。

概要

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命数法とは、数値を表すときの数詞の体系[1]であり、言語により異なる。例えば、1桁の数値では「四の次」を表す数詞(5)を、日本語では「五」、英語では"five"（ファイブ）、ドイツ語では"fünf"、ラテン語では"quinque"という。同じく、十進数における「十の四乗」を表す数(10,000)を、日本語では「一万」、英語では"ten thousand"（テン・サウザンド、十千）と呼ぶ。これらの組み合わせにより任意の数値を表すことができる。言語により同じ数値命数法のうち、数字を用いて数を表す方法を記数法という。

命数には、一般に「一」や「三」など自然数を表す数詞、「零」など無を表す数詞、「百」や「千」など何かの冪乗を表す数詞とがある。

位取りは十進法が圧倒的に多いが、十進法に囚われる必要は無く、十二進法や二十進法も散見される。十を超える数で、十進法から独立している数詞として、十二を意味する"dozen"（日本語ではダース）や"打"（→zh:打）、百四十四を意味する"gross"（グロス）、千七百二十八を意味する"great gross"、二十を意味する"score"（スコア）や"vingt"（フランス語）や"廿"や"kal"（マヤ数詞、以下同じ）、四百を意味する"bak"、八千を意味する"pic"などがある。


以下の記述においては、まず大数の命数法と小数の命数法に大別して解説する。

大数の命数法

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万進法系の命数法

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中国に由来する漢数字では、以下の数詞で大数を示す。

一、十、百、千、万、億、兆、京、…

中国の算術書である後漢の徐岳『数術記遺（中国語版）』や北周の甄鸞『五経算術（中国語版）』に、大数の単位が記されているが、当時は載までであり、また𥝱は本来は秭であり、それが日本の『塵劫記』で字形が変化したものである。これらの文献によると、万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である[2]。

当初は万（104）を区切りとして十万（105）、百万（106）、千万（107）まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億（105）、兆（106）、と名付けていた。これを下数（かすう）と呼ぶ。

漢代あたりから、上数（じょうすう）が文献に記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億（108）であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆（1016）、兆兆が京（1032）となる。実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。

その後、千万の次を億とし、十億（109）、百億（1010）と続けていく方法が考案された。これを中数（ちゅうすう）という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万（108）倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億（1011）、万億（1012）、十万億（1013）と続き、億の万万倍を兆（1016）、兆の万万倍を京（1024）とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆（1012）とする万進（まんしん、万進法（まんしんほう））に移行した。

元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、極以上の単位（そのうち恒河沙以上は仏教に由来する名称）が加わったが、当時不可思議の上は無量大数ではなく無量数であり、明の程大位による算法統宗でも同様であった。極以上の単位は基本的に中数（万進・万万進）のみで使われ、下数や上数で使われることはなかったが、ただ日本の『塵劫記』初版で極以下を下数としており、それによれば極は1015ということになる。

日本では、1627年（寛永4年）の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが[3]、極以下が下数、恒河沙以上を万万進の中数（恒河沙＝1023、阿僧祇＝1031、那由他＝1039、不可思議＝1047）としていた。1631年（寛永8年）の版では極以下が万進（恒河沙以上は万万進のまま）に改められ、それとともに算学啓蒙・算法統宗にあった不可思議の上の無量数も無量大数という名称として組み込まれた。そして1634年（寛永11年）の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。

読み方の例を以下に示す。

  • 1 0000 : 一万 (いちまん)
  • 983 6703 : 九百八十三万 六千七百三 (きゅうひゃくはちじゅうさんまん ろくせんななひゃくさん)
  • 20 3652 1801 : 二十億 三千六百五十二万 千八百一 (にじゅうおく さんぜんろっぴゃくごじゅうにまん せんはっぴゃくいち)

アラビア数字が使われる場合は、英語のように3桁ごとにコンマが入れられる。アラビア数字と漢数字が同時に使われる場合は、1万以下の数字についてアラビア数字の書き方が使われる場合がある（例: 25,000,000を2,500万と表記する場合)。

大きな数字が漢字で表されるときは、ほとんどの場合でゼロが省かれる。例えば、4002はゼロを表す中国語での「四千零二」ではなく、四千二と表されることが多い。ただし、決算書を読み上げる場合、読まない桁は、「飛び」または「飛んで」で示される場合がある。例えば、通常の「よんせんに」の代わりに、「よんせんとびに」または「よんせんとんでに」のようにもなる。

中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法の接頭語のメガ（106）に「兆」（下数における 106）の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 108、「兆」は下数の 106 の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆（1012）は「万億」といい、京以上については、例えば 1016 は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾（植民地時代）と朝鮮半島（併合時）は、日本の命数法（万進）が導入されていたので、兆は 1012 であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。

ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、106を「triệu」（兆）、109を「tỷ」（秭）と呼ぶ。これは下数にあたる。

『塵劫記』での命数は以下のようになっている[4]。

位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。

塵劫記（寛永11年版）での命数（日本の現行方式）
数詞 読み 数 10000m 一（いち） 十（じゅう） 百（ひゃく） 千（せん） 補足
一
100		 十
101		 百
102		 千
103
万 まん 104 100001 一万
104		 十万
105		 百万
106		 千万
107
億 おく 108 100002 一億
108		 十億
109		 百億
1010		 千億
1011
兆 ちょう 1012 100003 一兆
1012		 十兆
1013		 百兆
1014		 千兆
1015
京 けい 1016 100004 一京
1016		 十京
1017		 百京
1018		 千京
1019		 （きょう）
垓 がい 1020 100005 一垓
1020		 十垓
1021		 百垓
1022		 千垓
1023
𥝱 じょ 1024 100006 一𥝱
1024		 十𥝱
1025		 百𥝱
1026		 千𥝱
1027		 秭（し）
穣 じょう 1028 100007 一穣
1028		 十穣
1029		 百穣
1030		 千穣
1031
溝 こう 1032 100008 一溝
1032		 十溝
1033		 百溝
1034		 千溝
1035
澗 かん 1036 100009 一澗
1036		 十澗
1037		 百澗
1038		 千澗
1039
正 せい 1040 1000010 一正
1040		 十正
1041		 百正
1042		 千正
1043
載 さい 1044 1000011 一載
1044		 十載
1045		 百載
1046		 千載
1047
極 ごく 1048 1000012 一極
1048		 十極
1049		 百極
1050		 千極
1051
恒河沙 ごうがしゃ 1052 1000013 一恒河沙
1052		 十恒河沙
1053		 百恒河沙
1054		 千恒河沙
1055
阿僧祇 あそうぎ 1056 1000014 一阿僧祇
1056		 十阿僧祇
1057		 百阿僧祇
1058		 千阿僧祇
1059
那由他 なゆた 1060 1000015 一那由他
1060		 十那由他
1061		 百那由他
1062		 千那由他
1063
不可思議 ふかしぎ 1064 1000016 一不可思議
1064		 十不可思議
1065		 百不可思議
1066		 千不可思議
1067
無量大数 むりょうたいすう 1068 1000017 一無量大数
1068		 十無量大数
1069		 百無量大数
1070		 千無量大数
1071

以下の表に各方式での大数の命数法を示す。

各方式での大数の命数法
名称 下数 中数（万進・日本の現行方式） 塵劫記寛永8年版 中数（万万進） 上数
十 101 101 101 101 101
百 102 102 102 102 102
千 103 103 103 103 103
万 104 104 104 104 104
億 105 108 108 108 108
兆 106 1012 1012 1016 1016
京 107 1016 1016 1024 1032
垓 108 1020 1020 1032 1064
秭（𥝱） 109 1024 1024 1040 10128
穣 1010 1028 1028 1048 10256
溝 1011 1032 1032 1056 10512
澗 1012 1036 1036 1064 101024
正 1013 1040 1040 1072 102048
載 1014 1044 1044 1080 104096
極 1015（塵劫記初版） 1048 1048 1088 -
恒河沙 - 1052 1056 1096 -
阿僧祇 - 1056 1064 10104 -
那由他 - 1060 1072 10112 -
不可思議 - 1064 1080 10120 -
無量数（無量大数） - 1068 1088 10128 -

なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。

3文字以上の単位は、インドから由来したものが多い。恒河沙はもともと仏教の聖典で無限に大きな数を表すのに使われていた位で、गङ्गा（ガンジス川）から由来している。阿僧祇はअसंख्येय（不可算）から、那由他はनयुत/नयुतःから由来している。それより大きな数の単位は、仏教の単語が中国語に翻訳され、後に単位を与えられたものである。

千進法系の命数法

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西洋の諸言語の命数法には、long scale（ロングスケール）とshort scale（ショートスケール）と呼ばれる2種類がある。これは漢字文化圏でいう万万進と万進の関係に似たものである。万万進と万進の関係と同様に、一部の数詞においては、双方の命数法でそれぞれ異なる数が割り当てられている (「billion」「trillion」など)。long scaleやshort scaleは標準的な用語ではないが、意味するところが明確なので、百科事典や科学的な文章でしばしば使われる。

19世紀から20世紀の大部分では、イギリスでは前者のみ、アメリカでは後者のみが使われていた。それ故、それぞれ「イギリス式」、「アメリカ式」とも呼ばれるが、今日ではイギリスでも後者が使われるため、「イギリス式」という表現は正確ではない。

歴史上フランスでは双方共に用いられており、19世紀はじめには広範囲でshort scaleに移行した。アメリカはこれに従ったもので、long scaleを使用していた20世紀初頭のイギリスにおいてアメリカでは方式が違うことに注意を呼びかけている[5]。しかし、現在ではフランスも他の英語圏を除くヨーロッパ諸国に合わせてlong scaleに落ちつき、それとは逆にイギリスではshort scaleに移行するという複雑な経緯を辿っている。

1948年、国際度量衡総会はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。しかし、英語圏においては上述の通りアメリカを筆頭にイギリスが移行したこともあり、現在では一般的にshort scaleが使用されている（歴史も参照）。

long scaleとshort scaleの比較

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英語の場合は、以下のようになる。千進（せんしん、千進法（せんしんほう））が使われる。

数 short scale long scale SI接頭語
呼び方 カタカナ表記 理由 呼び方 カタカナ表記 理由
100（一） one ワン 1 one ワン 1 なし
103（千） thousand サウザンド (103)1 thousand サウザンド (106)0.5 k（キロ）
106（百万） million ミリオン (103)1+1 million ミリオン (106)1 M（メガ）
109（十億） billion ビリオン (103)1+2 thousand million
(milliard)		 サウザンド ミリオン
（ミリアード）		 (106)1.5 G（ギガ）
1012（一兆） trillion トリリオン (103)1+3 billion ビリオン (106)2 T（テラ）
1015（千兆） quadrillion クアドリリオン (103)1+4 thousand billion
(billiard)		 サウザンド ビリオン
（ビリアード）		 (106)2.5 P（ペタ）
1018（百京） quintillion クインティリオン (103)1+5 trillion トリリオン (106)3 E（エクサ）
  • millionは、イタリア語で千を意味する “mille” に、拡大接尾辞（他の語の後ろについて意味を誇張する）“-one” がついた “millione” （現代の正書法では milione）が語源である。
  • bi-（バイ）は2を、tri-（トライ）は3を、quadr-（クアドラ）は4を、quint-（クイント）は5を表すラテン語に由来する倍数接頭辞。
    • short scaleでは、1,000倍するごとに新しい名前がつく （千進（せんしん）、千進法（せんしんほう）、thousand millions = billion, thousand billions = trillion, ...）。
    • long scaleでは、1,000,000倍するごとに新しい名前がつく （百万進（ひゃくまんしん）、百万進法（ひゃくまんしんほう）、million millions = billion, million billions = trillion, ...）。
  • 古語に十億を表すmilliardがあるが、英語では使われることはない（言語によっては使われる）。だが金融市場においては、誤解を避けるために十億を "yard"（milliardに由来）と言うことがある。
  • より大きな数の表し方についてはNames of large numbers、数の比較を参照。

歴史

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年代 出来事
1475年 ジャン・アダムが1012（一兆）、1018（百京）を表す言葉としてbymillion, trimillionを用いた。
1484年 フランスの数学者ニコラ・シュケー（英語版）が著書『Triparty en la science des nombres』の中で、1012（一兆）、1018（百京）、1024（一秭）、1030（百穣）、1036（一澗）、1042（百正）、1048（一極）、1054（百恒河沙：万進法による）をそれぞれbyllion tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion, nonyllionと表した。この本は1870年代に初めて発行されたものであったが、この大部分はエスティエンヌ・ド・ラ・ロッシュ（英語版）の著書『L'arismetique』（1520年）からとったものであった。
1549年 ジャック・ペルチエがmilliard (milliart) を "Million de Millions"（millionのmillion）すなわち1012（一兆）として用いた。彼はこの用法をフランス人の学者ギヨーム・ビュデ（1467-1540年）によるものだとした。
17世紀 6桁（百万）ごとに名前の変わる伝統的な方式（後のlong scale）から、3桁（千）ごとに名前の変わる新しい方式（後のshort scale）が分かれ、フランスやイタリアでbillionを109（十億）の意味で使う科学者が現れた。それでもthousand millionやmilliard（ペルチエの用語）を用いる方が多数派であった。こちらの用法がイギリスやドイツその他ヨーロッパ全域で採用され、Chuquetのlong scaleのbillion（一兆）が使われ続けることとなった。
18世紀
半ば		 short scaleの意味でのbillionがアメリカのイギリス植民地にもたらされる。
19世紀
はじめ		 フランスが広くshort scaleに移行し、アメリカ合衆国がそれに続き、学校でも教えられるようになった。19世紀のフランスの百科事典の多くではlong scaleは省かれたり、「今やもう古い方式である」と書かれたりしていた。
1926年 H. W. Fowlerの『Modern English Usage』に、「アメリカ（フランスに従った）では "billion" はイギリスと同じ意味ではないことを覚えておくべきだ。billionは我々（イギリス人）にとってはmillionの2乗すなわちmillion millions（一兆）を意味するものだが、アメリカ人にとってはthousandの3乗すなわちthousand millions（十億）を表す。これは我々がmilliardと呼んでいるものである。我々の意味におけるbillionが天文学者以外には使い勝手が悪いからといって従わないのは残念なことである」と記された。
1948年 国際度量衡総会はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。
1961年 Journal Officiel（フランスの官報）は、フランスで公式にlong scaleが用いられていることを確認した[6]。
1974年 イギリス首相ハロルド・ウィルソンは、これからは政府の統計でshort scaleを用いると述べた[7]。20世紀の最後の四半期には、他の多くの英語圏の国々もこれに続いてshort scaleに切り替えた。しかしながら、これらの全ての国において、わずかながらlong scaleの使用は続いており、また公式にshort scaleが使われていることも明確ではない。
1994年 イタリア政府は公式にlong scaleが用いられていることを確認した[8]。

現在の使用状況

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short scaleを用いる国
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英語圏
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現在英語圏の多くの国でshort scaleが用いられている。以下はその一部である。

英語圏以外
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109 = milliard、1012 = trillion

109 = billion、1012 = trillion

独自の名称

  •  ギリシャ - 109をdisekatommyrio（「二-百-万」の意）、1012をtrisekatommyrio（「三-百-万」の意）という。
  •  キプロス
long scaleを用いる国
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英語圏と東欧を除く多くの大陸ヨーロッパの国々ではlong scaleを使う。

例
  • Milliard
フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: milliard、ドイツ語: Milliarde、オランダ語: miljard、ハンガリー語: milliárd、スペイン語: millardo（mil millonesの方が頻繁に用いられる）、イタリア語: miliardo、ポーランド語: miliard、スウェーデン語: miljard（milliardということもある）、フィンランド語: miljardi、チェコ語: miliarda、スロベニア語・クロアチア語・セルビア語: milijarda、アイスランド語: milljarður - 皆109を表す。
  • Billion
フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: billion、ドイツ語: Billion、オランダ語: biljoen、ハンガリー語: billió、スペイン語: billón、ポーランド語・セルビア語: bilion、スウェーデン語: biljon（billionということもある）、フィンランド語: biljoona、クロアチア語: bilijun、ポルトガル語（ポルトガル）: bilião、スロベニア語: bilijon、アイスランド語: billjón - 皆1012を表す。

用法

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"thousand milliard" の使用
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Milliardを用いるこれらの国々において "thousand milliard" という用語が時折使われるが、これは予算についての文脈でのみである。「ドイツの国債が2004年末の時点で約1418 milliardユーロ（1兆4180億ユーロ）であった」というように、milliardは予算の単位としては主要なものとなっている。予算以外については、1012はthousand milliardではなくbillionという。

イタリアでの用法
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19世紀にはshort scaleを用いていたが20世紀になってlong scaleに戻したヨーロッパの国は2つあるが、イタリアはその1つである（もう1つはフランス）。

イタリア語では、bilioneという単語は公式には1012を意味するが、口語では109と1012のいずれをも意味し得る。またtrilioneも、1012と（まれに）1018のいずれをも意味する。そのため、曖昧さを避けるために、こうした単語を使う人はほとんどいない。一般には1012はmille miliardi (a thousand milliards)、1015はun milione di miliardi、1018はun miliardo di miliardi、1021はmille miliardi di miliardiという方が多い。

英語圏での用法
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アメリカでの用法
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アメリカ合衆国では、19世紀初頭から学校でshort scaleが教えられてきた。そのため、専らshort scaleのみが用いられている。

他の国々
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アメリカ以外の国では何世紀にもわたってlong scaleが用いられてきた。従って、long scaleの使用もいまだ続いており、そのためshort scaleの公式の立場がはっきりしていない。

イギリスでの用法
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イギリス英語においてmilliardという用語は今や時代遅れであり（派生語のyardは使われる。#long scaleとshort scaleの比較を参照）、現在では刊行物でも筆記物でもbillionが109以外を意味することはない。イギリス政府もBBCも専らshort scaleを用いている。イギリス英語で1012の意味でbillionを用いた場合、誤解される可能性が高い。

オーストラリアでの用法
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オーストラリアでは、2つの物を同じmillionの単位で比較するときなど、109をthousand millionと表すこともある。1999年現在、オーストラリア政府の財務省はshort scaleが標準であるとは見なしていないが、時折short scaleを使っている[9]。Australian Department of Finance and Administration（AusInfoとして知られる）は現在、short scaleを推奨しており、法的定義もshort scaleである。教育、放送局、文学においても、他の英語圏と同様にshort scaleを用いている。

インドでの用法
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他の英語圏の国と同様、現在、インドもアメリカのshort scaleの影響を強く受けている。しかし経済関連のメディア以外ではまちまちであり、話者の教育環境や学歴によるため、イギリスの影響下であったこともあり、多くが伝統的なlong scaleを使い続けると思われる。また、日常生活では、現在でもインド独自の命数法を用いている。（short scaleもlong scaleも用いない国参照）

エスペラントでの用法
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エスペラントの公式の単語であるbilionoやtriliono等の意味するところは曖昧であり、long scaleとshort scaleのどちらを支持するかを国家が推定するのを妨げることによって、国際的なエスペラントのコミュニケーションの本質は問題を複雑化させていた。

ただ、現在では非公式だが一般に用いられている -ilion- という接尾辞 (106×n) を用いることで曖昧を避けようとする方向に向かっている。これは106のべき乗を表すために追加されたもので、例えばduiliono（duはエスペラントで「二」）は 106×2 = 1012、triiliono（triはエスペラントで「三」）は 106×3 = 1018 を表す。

miliardoは明確に109を表す単語であるが、最近ではこれを基にした-iliard-を非公式な接尾辞 (106×n+3) と見立ててduiliardo = 106×2+3 = 1015、triliono = 106×3+3 = 1021のように表すことが多い。つまり-ilion-の1000倍の数を表すのである。

これによって、mililiono = 106×1000 = 106000やmililiardo = 106×1000+3 = 106003等の大きな数も簡単に作れるようになった (mil = 1000)。

混乱回避措置

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long scaleとshort scaleを使用している国では百万より大きい単位では同じ単語が異なる桁を示すなど表記の仕方が異なる。混乱を回避するために以下のような表示がされる[10]。なお命数法の違いに加え、小数点や3桁を区切る記号をコンマかピリオド（終止符）かという小数点の問題がある。

もっとも簡単な方法が全数を記述することである。
例）1,000,000,000,000 これはshort scaleでは1 trillionであるがlong scaleでは1 billionである。
ミリオン（百万）までは共通であるので百万以上の桁を数字で表示する[11]。
例）12,345 million（ミリオン）
指数表記で桁を表す。
1×109、1×1010、1×1011、1×1012などで広く使われている。または一般的ではないがコンピューターで1e9、1e10、1e11、1e12と表記される。
SI接頭語で表す。
SI接頭語は基本単位に非依存の数値の桁のみを表すものでキロ（k, 103 = 千）、メガ（M, 106 = 百万）、ギガ（G, 109 = 十億）、テラ（T, 1012 = 兆）などである。これらは科学者・技術者の間で広く使われている。例）キログラム、メガワット、ギガヘルツ、テラバイト。これらはコンピュータの普及により一般にも知られているが、1ギガドルといった表現は一般的ではない。なお日本では電力表示に億kW（キロワット）といった使われ方をする。1億kWは100ギガワット (GW)である。

インド

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インドの命数法は、古代インドから現代でもインド、パキスタン、バングラデシュ、ネパール、ミャンマーなどで使用されている。基本的には、西洋で一般的な3桁ごとの位取りや、日本や中国などで一般的な4桁ごとの位取りではなく、インドにおいては2桁ごとの位取りに基づく。

この命数法による表記では、基本的に2桁ごと（下3桁のみ例外）の位取りに基づいて点を置く。例えば3カロール（3千万）ルピーと記する場合はRs. 30,000,000ではなく、Rs. 3,00,00,000とすることが多い。ハザール／サハストル（千）、ラーク（十万）、カロール（千万）で区切っている。

ラーク (lakh)、カロール (crore) という単語は後述の仏典の華厳経（八十華厳及び四十華厳）における洛叉・倶胝に当たる。またインド英語では今日でも頻繁に使われており、インドでの英字新聞等でも普通に使用される。なお、英語の綴りと実際の発音とは大きくかけ離れている場合が多い。

呼び方 数字 桁数 西洋の記数法と日本語での命数法による呼び方
एक (ek) エーク 1 100 1（一）
दस (das) ダス 10 101 10（十）
सौ (sau) ソウ 100 102 100（百）
सहस्त्र (sahastr) サハストル / हज़ार (hazaar) ハザール 1,000 103 1,000（千）
लाख (lakh) ラーク 1,00,000 105 100,000（十万）
करोड़ (crore) カロール 1,00,00,000 107 10,000,000（千万）
अरब (arawb) アラブ 1,00,00,00,000 109 1,000,000,000（十億）
खरब (kharawb) カラブ 1,00,00,00,00,000 1011 100,000,000,000（千億）
नील (neel) ニール 1,00,00,00,00,00,000 1013 10,000,000,000,000（十兆）
पद्म (padma) パドマ 1,00,00,00,00,00,00,000 1015 1,000,000,000,000,000（千兆）
शंख (shankh) シャンク 1,00,00,00,00,00,00,00,000 1017 100,000,000,000,000,000（十京）
महाशंख (mahashankh) マハーシャンク 1,00,00,00,00,00,00,00,00,000 1019 10,000,000,000,000,000,000（千京）

ヒンディー語において、新聞などでパドマ、カラブの単位までは時折使用されるが、それ以上の単位が登場する事はない。またインド英語においては、アラブ以上の単位は通常用いられない。しかしながら、インド数学の古い文書ではニール、パドマ、シャンクが用いられる事も多い。

高桁数の表記の場合は、ラークとカロールを組み合わせて、1ラーク・カロール（一兆、1012）等ということが多い。

ムンバイのギャングなどが話すスラングでは、カロールのことを「コーカー」(khokha)、ラークのことを「ペーティー」(peti) ということがある。

イランでは、50万を表す単語として「コルール」（ペルシア語: کرور‎ Korūr）を最近まで使用していた。

シンハラ語では、カロールを「コーティヤ」(kōţiya)、ラークを「ラクシャヤ」(lakshaya) と呼んでいる。また、カンナダ語のような他の南インド言語では、カロールは「コティ」(koti)、ラークは「ラクシャ」(laksha) と呼ばれている。

ベンガル語にもシャンクと同源の শঙ্খ（/ʃɔŋkʰɔ/ ションコ）という語が見られるが表す数は1012、つまり一兆であり、またパドマと同源の পদ্ম（綴り通りにラテン文字転写すれば padma となるが実際の発音は /pɔdːɔ̃/ ポッド）という語も存在するが指す数は1013、つまり十兆である[12]。

ラークは最近「ラキ」(laki) としてスワヒリ語にも取り入れられている。

仏典の数詞

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八十華厳における命数
名称 読み n 数  
倶胝 くてい 0 107
阿庾多 あゆた 1 1014
那由他 なゆた 2 1028
頻波羅 ひんばら 3 1056
矜羯羅 こんがら 4 10112
阿伽羅 あから 5 10224
最勝 さいしょう 6 10448
摩婆羅 まばら 7 10896
阿婆羅 あばら 8 101792
多婆羅 たばら 9 103584
界分 かいぶん 10 107168
普摩 ふま 11 1014336
禰摩 ねま 12 1028672
阿婆鈐 あばけん 13 1057344
弥伽婆 みかば 14 10114688
毘攞伽 びらか 15 10229376
毘伽婆 びかば 16 10458752
僧羯邏摩 そうがらま 17 10917504
毘薩羅 びさら 18 101835008
毘贍婆 びせんば 19 103670016
毘盛伽 びじょうが 20 107340032
毘素陀 びすだ 21 1014680064
毘婆訶 びばか 22 1029360128
毘薄底 びばてい 23 1058720256
毘佉擔 びきゃたん 24 10117440512
称量 しょうりょう 25 10234881024
一持 いちじ 26 10469762048
異路 いろ 27 10939524096
顛倒 てんどう 28 101879048192
三末耶 さんまや 29 103758096384
毘覩羅 びとら 30 107516192768
奚婆羅 けいばら 31 1015032385536
伺察 しさつ 32 1030064771072
周広 しゅうこう 33 1060129542144
高出 こうしゅつ 34 10120259084288
最妙 さいみょう 35 10240518168576
泥羅婆 ないらば 36 10481036337152
訶理婆 かりば 37 10962072674304
一動 いちどう 38 101924145348608
訶理蒲 かりぼ 39 103848290697216
訶理三 かりさん 40 107696581394432
奚魯伽 けいろか 41 1015393162788864
達攞歩陀 たつらほだ 42 1030786325577728
訶魯那 かろな 43 1061572651155456
摩魯陀 まろだ 44 10123145302310912
懺慕陀 ざんぼだ 45 10246290604621824
瑿攞陀 えいらだ 46 10492581209243648
摩魯摩 まろま 47 10985162418487296
調伏 ちょうぶく 48 101970324836974592
離憍慢 りきょうまん 49 103940649673949184
不動 ふどう 50 107881299347898368
極量 ごくりょう 51 1015762598695796736
阿麼怛羅 あまたら 52 1031525197391593472
勃麼怛羅 ぼまたら 53 1063050394783186944
伽麼怛羅 がまたら 54 10126100789566373888
那麼怛羅 なまたら 55 10252201579132747776
奚麼怛羅 けいまたら 56 10504403158265495552
鞞麼怛羅 べいまたら 57 101008806316530991104
鉢羅麼怛羅 はらまたら 58 102017612633061982208
尸婆麼怛羅 しばまたら 59 104035225266123964416
翳羅 えいら 60 108070450532247928832
薜羅 べいら 61 1016140901064495857664
諦羅 たいら 62 1032281802128991715328
偈羅 げら 63 1064563604257983430656
窣歩羅 そほら 64 10129127208515966861312
泥羅 ないら 65 10258254417031933722624
計羅 けいら 66 10516508834063867445248
細羅 さいら 67 101033017668127734890496
睥羅 へいら 68 102066035336255469780992
謎羅 めいら 69 104132070672510939561984
娑攞荼 しゃらだ 70 108264141345021879123968
謎魯陀 めいろだ 71 1016528282690043758247936
契魯陀 けいろだ 72 1033056565380087516495872
摩覩羅 まとら 73 1066113130760175032991744
娑母羅 しゃもら 74 10132226261520350065983488
阿野娑 あやしゃ 75 10264452523040700131966976
伽麼羅 かまら 76 10528905046081400263933952
摩伽婆 まかば 77 101057810092162800527867904
阿怛羅 あたら 78 102115620184325601055735808
醯魯耶 けいろや 79 104231240368651202111471616
薜魯婆 べいろば 80 108462480737302404222943232
羯羅波 からは 81 1016924961474604808445886464
訶婆婆 かばば 82 1033849922949209616891772928
毘婆羅 びばら 83 1067699845898419233783545856
那婆羅 なばら 84 10135399691796838467567091712
摩攞羅 まらら 85 10270799383593676935134183424
娑婆羅 しゃばら 86 10541598767187353870268366848
迷攞普 めいらふ 87 101083197534374707740536733696
者麼羅 しゃまら 88 102166395068749415481073467392
馱麼羅 だまら 89 104332790137498830962146934784
鉢攞麼陀 はらまだ 90 108665580274997661924293869568
毘伽摩 びかま 91 1017331160549995323848587739136
烏波跋多 うはばた 92 1034662321099990647697175478272
演説 えんぜつ 93 1069324642199981295394350956544
無尽 むじん 94 10138649284399962590788701913088
出生 しゅっしょう 95 10277298568799925181577403826176
無我 むが 96 10554597137599850363154807652352
阿畔多 あばんた 97 101109194275199700726309615304704
青蓮華 しょうれんげ 98 102218388550399401452619230609408
鉢頭摩 はどま 99 104436777100798802905238461218816
僧祇 そうぎ 100 108873554201597605810476922437632
趣 しゅ 101 1017747108403195211620953844875264
至 し 102 1035494216806390423241907689750528
阿僧祇 あそうぎ 103 1070988433612780846483815379501056
阿僧祇転 あそうぎてん 104 10141976867225561692967630759002112
無量 むりょう 105 10283953734451123385935261518004224
無量転 むりょうてん 106 10567907468902246771870523036008448
無辺 むへん 107 101135814937804493543741046072016896
無辺転 むへんてん 108 102271629875608987087482092144033792
無等 むとう 109 104543259751217974174964184288067584
無等転 むとうてん 110 109086519502435948349928368576135168
不可数 ふかすう 111 1018173039004871896699856737152270336
不可数転 ふかすうてん 112 1036346078009743793399713474304540672
不可称 ふかしょう 113 1072692156019487586799426948609081344
不可称転 ふかしょうてん 114 10145384312038975173598853897218162688
不可思 ふかし 115 10290768624077950347197707794436325376
不可思転 ふかしてん 116 10581537248155900694395415588872650752
不可量 ふかりょう 117 101163074496311801388790831177745301504
不可量転 ふかりょうてん 118 102326148992623602777581662355490603008
不可説 ふかせつ 119 104652297985247205555163324710981206016
不可説転 ふかせつてん 120 109304595970494411110326649421962412032
不可説不可説 ふかせつふかせつ 121 1018609191940988822220653298843924824064
不可説不可説転 ふかせつふかせつてん 122 1037218383881977644441306597687849648128

八十華厳

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唐の実叉難陀訳の『華厳経（八十華厳）』（新訳華厳経、唐経、大正蔵279）の第45巻「阿僧祇品第三十」には、右表に示した命数が記述されている[13][14]。

105 を洛叉、100洛叉（107）を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は

 

という巨大な数となる。

クッキークリッカーの日本語バージョンの一つでは、「恒河沙」までは一般的な方式の命数法となっているが、それより先は独自の方式の命数法を採用している。具体的には、一般的な方式の「阿僧祇」「那由他」「不可思議」「無量大数」は登場せず、一般的な方式なら「阿僧祇」にあたる位置に八十華厳の数詞の「頻波羅」が使われており、そこから先は「矜羯羅」「阿伽羅」を採用している。なお「阿伽羅」の次の八十華厳の数詞は「最勝」であるが、これはこのゲームで扱える数値の限界を超えてしまうため、このゲームでは事実上「阿伽羅」が日本語バージョンの最高の単位となっている。

六十華厳

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東晋の仏駄跋陀羅訳の『華厳経（六十華厳）』（旧訳華厳経、晋経、大正蔵278）の第29巻「心王菩薩問阿僧祇品第二十五」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている[15][16]。

1010 を拘梨とし、拘梨以上を上数として121の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説転転は   という巨大な数となる。

四十華厳

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唐の般若三蔵訳の『華厳経（四十華厳）』（貞元経、大正蔵293）の第10巻「入不思議解脱境界普賢行願品」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている[17][18]。

105 を洛叉、100洛叉（107）を倶胝とし、倶胝以上を上数として144の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は   という巨大な数となる。

これら3つの華厳経では、八十華厳・四十華厳の洛叉は別として、他はいずれも上数で2乗すると次の単位になるため、二重指数関数に当たる。もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示して悟りの功徳の大きさを表したものである。

大和言葉（和語）によるひふみ詞命数法

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大和言葉（和語）によって巨大な数を表す方式には、ひふみ詞によるものがあり、1038の桁まで表せる。ただし実際には、「よろず（ろ）」より上が命数法として使用されることはほとんどない。

大和言葉（和語）命数法
名称 数
ひとつ（ひ） 1（一）
ふたつ（ふ） 2（二）
みっつ（み） 3（三）
よっつ（よ） 4（四）
いつつ（い） 5（五）
むっつ（む） 6（六）
ななつ（な） 7（七）
やっつ（や） 8（八）
ここのつ（こ） 9（九）
とお（と） 10（十）
もも（も） 100（百）
ち 1,000（千）
よろず（ろ） 10,000（万）
ら 100,000（十万）
ね 1,000,000（百万）
し 10,000,000（千万）
き 100,000,000（一億）
る 109（十億）
ゆ 1010（百億）
ゐ 1011（千億）
つ 1012（一兆）
わ 1013（十兆）
ぬ 1014（百兆）
そ 1015（千兆）
を 1016（一京）
た 1017（十京）
は 1018（百京）
く 1019（千京）
め 1020（一垓）
か 1021（十垓）
う 1022（百垓）
お 1023（千垓）
ゑ 1024（一𥝱）
に 1025（十𥝱）
さ 1026（百𥝱）
り 1027（千𥝱）
へ 1028（一穣）
て 1029（十穣）
の 1030（百穣）
ま 1031（千穣）
す 1032（一溝）
あ 1033（十溝）
せ 1034（百溝）
え 1035（千溝）
ほ 1036（一澗）
れ 1037（十澗）
け 1038（百澗）

小数の命数法

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中国に由来する漢数字では、小数については、一桁（0.1倍）ごとに新たな名前を付ける下数が行われている。これに対し、ヨーロッパ言語やインドにおいては分数の表記としては、half や quarter、en:Roman numerals#Fractions のような表現にはあるが、10進法の少数について桁ごとに名称を付すことは行われていない。漢数字については、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。例えば朱世傑『算学啓蒙（中国語版）』では沙以下は万万進としているほか、「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」の4つの別の名とするなどの違いがある。以下は一例である。

小数の命数法
呼称 数 備考
一（いち） 100
分（ぶ） 10−1
厘（釐）（りん） 10−2
毛（毫）（もう） 10−3
糸（絲）（し） 10−4
忽（こつ） 10−5
微（び） 10−6
繊（せん） 10−7
沙（しゃ） 10−8
塵（じん） 10−9
埃（あい） 10−10
渺（びょう） 10−11
漠（ばく） 10−12
模糊（もこ） 10−13
逡巡（しゅんじゅん） 10−14
須臾（しゅゆ） 10−15
瞬息（しゅんそく） 10−16
弾指（だんし） 10−17
刹那（せつな） 10−18
六徳（りっとく） 10−19
虚空（こくう）、空虚（くうきょ） 10−20 「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「虚」10−20「空」10−21
清浄（せいじょう） 10−21 「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「清」10−22「浄」10−23

このうち、『塵劫記』では埃以上のみが紹介されている[19]。

実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。なお、「六徳」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。

実際に桁を連ねるときは、「二寸三分四厘」のように1の位の後に「基準単位（ここでは「寸」）」をつける。現代的な表現が「2.34寸」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。

日本語

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現代の日本では、上記の小数の命数法は、野球選手の打率や守備率、スポーツチームの勝率、レートまたは割引を表す場合によく用いられる。「３６度５分」(36.5 ℃)のように、温度を表す時にも、慣用表現 (「五分五分の勝負」、「九分九厘」、「七分袖」など) でも用いられる。

かつては尺貫法において、基準となる計量単位（寸、文、匁）とともによく用いられていた（分 (数)#計量単位など）。現代では例えば 36.5 度と表記するが、伝統的には３６度５分というように基準単位（ここでは「度」）の後に小数の数詞（「分」）を付して記述する。長さの場合は、2寸3分4厘 のようになる。 意味は 2.34寸と同じである。

また、割と用いられることも多い。例えば、２割４分７厘は、分は割の1/10、厘は割の1/100であるので、現代風に書くと、2.47 割ということになる。

割と共に用いる場合の誤解

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→「分 (数) § 百分の一を意味するとの誤解」も参照

基準単位として「割」を使う場合は「2割4分7厘」のようになることから、「分は全体の 1/100、厘は全体の 1/1000 」と勘違いをされることがある。しかし、これは「2.47割」の意味であって、「分は割の 1/10、厘は割の 1/100」であって、長さの場合の「2寸3分4厘 = 2.34寸」と同様の表現である。

上記の勘違いを生ずる原因は、割を用いる場合に割そのものが 1/10 を意味するために、「分が全体の 1/100、厘が全体の 1/1000 」と誤解するからである。分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」（例えば、寸、割、匁など）の小数を意味することを理解しておく必要がある。

小数点と3桁区切り

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小数点には地域（言語）によって、ピリオド（.）又はコンマ（,）が使われる（小数点#二つの方式）。日本ではピリオドが使われることがほとんどである。

3桁区切りについては、国際機関では小数点を基準に3桁毎にコンマ（,）やピリオド（.）を入れることを禁止しており、その代わりにスペース（通常は半角スペース(en:thin space)）を入れると規定している。これは小数点にピリオドとコンマの両方が使われていることから、３桁毎にコンマやピリオドを入れると重大な誤読を招くおそれがあるからである。

国際単位系国際文書 （SI文書）の要約は次のように記している。

数字の桁数が多い場合は、読み易くするために、小数点から3桁ごとにグループ分けすることが習慣化している。これは必須ではないが、このようにされることが多く、一般的に分かり易い。この書式を使う場合、3桁ごとのグループ分けには空白のみを用い、点やカンマを使ってはならない。[20]　


short scale（英語など）での呼び方
数 short scale 対応する漢数字 補足
1 one 一 1
102 hundred 百 100
103 thousand 千 1000
106 million 百万 1000×1000 (＝1,000,000)
109 billion 十億 1000×10002 (＝1,000,000,000)
1012 trillion 一兆 1000×10003 (＝1,000,000,000,000)
1015 quadrillion 千兆 1000×10004 (＝1,000,000,000,000,000)
1018 quintillion 百京 1000×10005
1021 sextillion 十垓 1000×10006
1024 septillion 一𥝱 1000×10007
1027 octillion 千𥝱 1000×10008
1030 nonillion 百穣 1000×10009
1033 decillion 十溝 1000×100010
1036 undecillion 一澗 1000×100011
1039 duodecillion 千澗 1000×100012
1042 tredecillion 百正 1000×100013
1045 quattuordecillion 十載 1000×100014
1048 quindecillion 一極 1000×100015
1051 sexdecillion 千極 1000×100016
1054 septendecillion 百恒河沙 1000×100017
1057 octodecillion 十阿僧祇 1000×100018
1060 novemdecillion 一那由他 1000×100019
1063 vigintillion 千那由他 1000×100020
1066 unvigintillion 百不可思議 1000×100021
1069 duovigintillion 十無量大数 1000×100022
1072 tresvigintillion ※※※ 1000×100023
1093 trigintillion ※※※ 1000×100030
10100 googol ※※※ 10×100033
10123 quadragintillion ※※※ 1000×100040
long scale での呼び方
数 long scale 対応する漢数字 補足
106 million 百万 (1 000 000)1
1012 billion 一兆 (1 000 000)2 (＝1 000 000 000 000)
1018 trillion 百京 (1 000 000)3 (＝1 000 000 000 000 000 000)
1024 quadrillion 一𥝱 (1 000 000)4 (＝1 000 000 000 000 000 000 000 000)
1030 quintillion 百穣 (1 000 000)5 (＝1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
1036 sextillion 一澗 (1 000 000)6 (＝1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
1042 septillion 百正 (1 000 000)7
1048 octillion 一極 (1 000 000)8
1054 nonillion 百恒河沙 (1 000 000)9
1060 decillion 一那由他 (1 000 000)10
1066 undecillion 百不可思議 (1 000 000)11
1072 duodecillion ※※※ (1 000 000)12

脚注

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  1. ^ 「命数-法」『新明解国語辞典 第六版』三省堂、2005年
  2. ^ wikisource:zh:五經算術：按黃帝為法、數有十等。 及其用也、乃有三焉。十等者、謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載也。三等者、謂上、中、下也。其下數者、十十變之。若言十萬曰億、十億曰兆、十兆曰京也。中數者、萬萬變之。若言萬萬曰億、萬萬億曰兆、萬萬兆曰京也。上數者、數窮則變。若言萬萬曰億、億億曰兆、兆兆曰京也。若以下數言之、則十億曰兆；若以中數言之、則萬萬億曰兆；若以上數言之、則億億曰兆。
  3. ^ 山崎与右衛門; 竹内乙彦; 鈴木久男 (1968). 日本のそろばん. 暁出版. pp. 151, 168. NDLJP:1384357. "日本珠算史年表" 
  4. ^ “新編塵劫記第3巻”. p. 4. doi:10.11501/3508170. 2018年3月2日閲覧。第一：大数の名の事
  5. ^ H. W. Fowler "Modern English Usage"
  6. ^ Décret 61-501, page 4587, note 3 and erratum on page 7572
  7. ^ [1]
  8. ^ Direttiva CE 1994 n. 55, page 12
  9. ^ [2]
  10. ^ 英語版のLong and short scales#Using neitherより
  11. ^ “BBC: GCSE Bitesize – The origins of the universe”. BBC. 2011年7月28日閲覧。
  12. ^ দাস, জ্ঞানেন্দ্রমোহন (1937). “পদ্ম; শঙ্খ”. বাঙ্গলা ভাষার অভিধান (2nd ed.). কলিকাতা: দি ইণ্ডিয়ান্ পাব্লিশিং হাউস. p. 1264, 1920 （ベンガル語）
  13. ^ “SAT大正新脩大藏經テキストデータベース2018（T0279）”. SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。
  14. ^ “T10n0279_045 大方廣佛華嚴經 第45卷”. CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。
  15. ^ “SAT大正新脩大藏經テキストデータベース2018（T0278）”. SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。
  16. ^ “T09n0278_029 大方廣佛華嚴經 第29卷”. CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。
  17. ^ “SAT大蔵経テキストデータベース2018（T0293）”. SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。
  18. ^ “T10n0293_010 大方廣佛華嚴經 第10卷”. CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。
  19. ^ “新編塵劫記第3巻”. p. 4. doi:10.11501/3508170. 2018年3月2日閲覧。第二：小数の名の事
  20. ^ 国際単位系（SI）第9版（2019）要約 日本語版 p.192、国際単位系（SI）基本単位の定義改定と計量標準、2020年3月、 国立研究開発法人産業技術総合研究所 計量標準総合センター

関連項目

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プロジェクト 数学

外部リンク

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