高等学校数学III/積分法

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ここでは、数学IIの微分・積分の考えで学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。

高等学校数学の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。

不定積分

積分の基本的な性質

積分法について

$\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,$ $\int af(x)dx=a\int f(x)dx$(aは定数)

が成り立つ。

導出

$\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

の両辺を微分すると、

左辺 =右辺 = $f+g$

が従う。

よって、

$\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

の両辺は一致する。

(実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。

仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。

このとき、

$(F(x)-G(x))'=h(x)-h(x)=0$

となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。

よって、両辺を積分すると、

$F(x)-G(x)=C$

となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。

よって、

$\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。)

$\int af(x)dx=a\int f(x)dx$

についても両辺を微分すると、

左辺=右辺= a f(x)

が従う。

よって、

$\int afdx=a\int fdx$

が成り立つことが分る。

関数 $f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とすると

$\int _{a}^{b}f(x)\,=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$ である。

$\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

置換積分法

関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。

$\int f(g(x))dg(x)=\int f(g(x))g'(x)dx$

導出

$\int f(g(x))dg(x)=F(g(x))$を$x$について微分すると、

$F'(g(x))=f(g(x))g'(x)$

再び$x$について積分すると、

$\int f(g(x))dg(x)=\int f(g(x))g'(x)dx$

また、特に

• $\int f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}\int f(ax+b)d(ax+b)$
• $\int \{f(x)\}^{n}f'(x)dx={\frac {1}{n+1}}\{f(x)\}^{n+1}+C(n\neq -1)$
• $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log |f(x)|+C$

例えば、$\int (ax+b)^{2}dx$を考える。

$t=ax+b$と置く。

この両辺を微分すると $dt=adx$ が成り立つことを考慮すると、

$\int t^{2}{\frac {dt}{a}}$	$={\frac {t^{3}}{3a}}+C$
	$={\frac {(ax+b)^{3}}{3a}}+C$

となることがわかる。

実際この式をxで微分すると $(ax+b)^{2}$ と一致することが分る。

置換積分を使わずに計算することも出来る。

$\int (ax+b)^{2}dx$	$=\int (a^{2}x^{2}+2abx+b^{2})dx$
	$={\frac {a^{2}}{3}}x^{3}+abx^{2}+b^{2}x+C'$
	$={\frac {a^{2}}{3}}x^{3}+abx^{2}+b^{2}x+{\frac {b^{3}}{3a}}+C$

($C'={\frac {b^{3}}{3a}}+C$と置き換えた。)

$={\frac {(ax+b)^{3}}{3a}}+C$ となり確かに一致する。

部分積分法

関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 $g(x)$ の原始関数を $G(x)$ とすると

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\,dx$

導出

積の微分法より $\{f(x)G(x)\}'=f'(x)G(x)+f(x)g(x)$ である。これを移項して

$f(x)g(x)=\{f(x)G(x)\}'-f'(x)G(x)$

である。両辺をxで積分して

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\,dx$

が得られる。

例えば、

$\int x(ax+b)^{3}dx$	$=\int x\left({\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}\right)'dx$
	$=x\left({\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}\right)-\int (x)'{\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}dx$
	$=x\left({\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}\right)-\int (x)'{\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}dx$
	$=x\left({\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}\right)-\int {\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}dx$
	$=x\left({\frac {(ax+b)^{4}}{4a}}\right)-{\frac {(ax+b)^{5}}{20a^{2}}}$

部分積分を $n$ 回行うと、

${\begin{aligned}\int f(x)g(x)\,dx&=f(x)g^{(-1)}(x)-\int f'(x)g^{(-1)}(x)\,dx\\&=f(x)g^{(-1)}(x)-f'(x)g^{(-2)}(x)+\int f''(x)g^{(-2)}(x)\,dx\\&=f(x)g^{(-1)}(x)-f'(x)g^{(-2)}(x)+f''(x)g^{(-3)}(x)+\cdots +(-1)^{n}\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)\,dx\end{aligned}}$

となる。 ここで、$g^{(-1)}(x)$ は $g(x)$ の不定積分の任意の一つ。$g^{(-2)}(x)$ は $g^{(-1)}(x)$ の不定積分の任意の一つ。... $g^{(-n)}(x)$ は $g^{(-n+1)}(x)$ の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒だから、次のような表を作ってみると計算しやすい。

符号	微分	積分
$+$	$f(x)$	$g(x)$
$-$	$f'(x)$	$g^{(-1)}(x)$
$+$	$f''(x)$	$g^{(-2)}(x)$
$-$	$f^{(3)}(x)$	$g^{(-3)}(x)$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$(-)^{n}$	$f^{(n)}(x)$	$g^{(-n)}(x)$

この表から、部分積分を $n$ 回行った結果は、

一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + $\int$ n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx

と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は

一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分

となる

いろいろな関数の積分

多項式関数の積分

$n\neq -1$のとき、$\left({\frac {1}{n+1}}x^{n+1}\right)'=x^{n}$なので、

$\int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C$

$n=-1$のとき、$(\log |x|)'={\frac {1}{x}}=x^{-1}$なので、

$\int x^{-1}dx=\int {\frac {1}{x}}dx=\log |x|+C$

が成り立つ。

三角関数の積分

• $(\sin x)'=\cos x$
• $(\cos x)'=-\sin x$
• $(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

が成り立つことを考慮すると、

• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x+C$

となることが分る。

$\int \tan xdx$は、置換積分法を使って

$\int \tan xdx$	$=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx$
	$=\int {\frac {-(\cos x)'}{\cos x}}dx$
	$=-\int {\frac {(\cos x)'}{\cos x}}dx$
	$=-\log |\cos x|+C$

　

なお同様に、${\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}$　であるので、$\int {\frac {1}{\tan x}}dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}dx=\int {\frac {(\sin x)'}{\sin x}}dx=\log \left|\sin x\right|+C$

　

より一般に有理関数 $R(x,y)$ に対して、$\int R(\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta$ について考える。 $t=\tan {\frac {\theta }{2}}$ とおく。 $\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}+1={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}$ よって $\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{1+t^{2}}}$である。${\frac {dt}{d\theta }}={\frac {d}{d\theta }}\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}={\frac {1}{2}}(t^{2}+1)$ であり、$\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ かつ $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta ={\frac {2\tan {\frac {\theta }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}\cos \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

である。よって

$\int R(\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta =\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,{\frac {2dt}{1+t^{2}}}$

と有理関数の積分にもち込める。

幾何学的は、この変換は単位円上の点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$と点 $A(-1,0)$ を結ぶ直線の勾配 $t$ で変換したものである。実際円周角の定理より $\angle xAP={\frac {1}{2}}\angle xOP={\frac {\theta }{2}}$より $t=\tan {\frac {\theta }{2}}.$

被積分関数の周期が $\pi$ の場合は、被積分関数は $\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ の有理関数なので、 $t=\tan \theta$ と置換すると計算が楽だ。被積分関数が $\sin ^{2}\theta ,\cos ^{2}\theta ,\sin \theta \cos \theta$ の有理関数となるときもこの範疇に属する。$t=\tan \theta$ と置換したとき、$\cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+t^{2}}}$, $\sin ^{2}\theta =\tan ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}$ , $\sin \theta \cos \theta =\pm {\sqrt {\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta }}={\frac {t}{1+t^{2}}}$ ($\sin \theta \cos \theta$ と $\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ の正負は一致するため), $d\theta ={\frac {dt}{1+t^{2}}}$ となる。

例　$\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx$ は $t=\tan x$ と置換すると、$\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\int {\frac {1+t^{2}}{t}}{\frac {dt}{1+t^{2}}}=\ln |\tan x|+C.$ $t=\tan {\frac {\theta }{2}}$ と置換してしまうと、$\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}\,dx=\int {\frac {1+t^{2}}{t(1-t^{2})}}\,dt=\ln \left|{\frac {t}{1-t^{2}}}\right|+C'=\ln |\tan x|+C$ と計算量が少し増える。

指数・対数関数の積分

指数関数について $(e^{x})'=e^{x}$ が成り立つことを用いると、 $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ が得られる。

また、 $\left({\frac {a^{x}}{\ln a}}\right)'=a^{x}$ なので、 $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}$ である。

また、$\log |x|$の 原始関数も求めることが出来る。

$\int \log |x|dx$	$=\int (x)'\log |x|dx$
	$=x\log |x|-\int x(\log |x|)'dx$
	$=x\log |x|-\int x{\frac {1}{x}}dx$
	$=x\log |x|-\int dx$
	$=x\log |x|-x+C$

となる。

有理関数 $R(x)$ に対して、積分 $\int R(e^{x})\,dx$ は $t=e^{x}$ すると ${\frac {dt}{dx}}=e^{x}=t$ より

$\int R(e^{x})\,dx=\int R(t){\frac {dt}{t}}.$

二次無理関数の積分（発展）

有理関数 $R(x,y)$ に対して、積分 $\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx$ について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、${\sqrt {p^{2}-x^{2}}},{\sqrt {x^{2}+p^{2}}},{\sqrt {x^{2}-p^{2}}}$のいずれかの形になる。それぞれの場合について、$x=p\sin \theta ,x=p\tan \theta ,x={\frac {p}{\cos \theta }}$ と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。

また、$y^{2}=ax^{2}+bx+c$ は二次曲線で、特に $a>0$ のときは双曲線となる（$y^{2}-a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}$より）。このとき、$y=\pm {\sqrt {a}}x+t$ すなわち $t=\mp {\sqrt {a}}x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が $t$ の直線 $y=\pm {\sqrt {a}}x+t$ と双曲線のただ一つの交点 $(x,y)$ を変数 $t$ で表したものである。

例 $\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ は $t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}$ と置換すると、${\frac {1}{t}}=x-{\sqrt {x^{2}-1}}$ なので、$t+{\frac {1}{t}}=2x$ すなわち $2dx=\left(1-{\frac {1}{t^{2}}}\right)dt$ また、 $t-{\frac {1}{t}}=2{\sqrt {x^{2}-1}}$.なので、$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\int {\frac {1-{\frac {1}{t^{2}}}}{t-{\frac {1}{t}}}}dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C$ である。

ところで、この変換は双曲線 $y^{2}=x^{2}-1$ と直線 $y=-x+t$ のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて $t$ で表すと、$x={\frac {1}{2}}\left(t+{\frac {1}{t}}\right),\,y={\frac {1}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)$ を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 $t\rightarrow e^{t}$ とすると、$x={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=\cosh t,\,y={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=\sinh t.$ これは $x>0$ の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の $\mathrm {h}$ はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$ は $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ とよく似ている。例示の不定積分は $x=\cosh t$ と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。

定積分

定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。

定積分の置換積分法

$\alpha <\beta$のとき、開区間$[\alpha ,\beta ]$で微分可能な関数$x=g(t)$に対し、$a=g(\alpha ),b=g(\beta )$ならば$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(g(t))g'(t)\,dt$

定積分の部分積分法

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{b}^{a}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$

• 問題
  • 以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する)
    1. $\int _{0}^{1}|e^{x}-{\frac {3}{2}}|\,dx$
    2. $\int _{1}^{0}{\frac {x-2}{(3-x)^{2}}}\,dx$
    3. $\int _{-5}^{5}x{\sqrt {x^{2}-9}}\,dx$
    4. $\int _{3}^{7}x\log(x^{2}-2)\,dx$
    5. $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx$
    6. $\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{n}x\,dx$

特殊な定積分

円

$a<b$ とする。積分 $\int _{a}^{b}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}\,dx$ は $y={\sqrt {(x-a)(b-x)}}$ とすると、$\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)+y^{2}=\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}$ より、被積分関数 $y$ は中心 ${\frac {a+b}{2}}$ で半径 ${\frac {b-a}{2}}$の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、$\int _{a}^{b}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}$ である。

King Property

一般に、関数 $f(a-x)$ のグラフは関数 $f(x)$ のグラフを直線 $x={\frac {a}{2}}$ で対称移動したものである。

従って、連続関数 $f(x)$ を区間 $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ で積分した値 $\int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx$ と、連続関数 $f(a+b-x)$ を区間 $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ で積分した値 $\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(a+b-x)\,dx$ は等しい：

$\int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(a+b-x)\,dx.$

この等式は単に、 $x\to a+b-x$ の変数変換によっても導出できる。

この等式より、 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(x)\,dx+\int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]\,dx$ が導かれる。

この公式は、$f(x)+f(a+b-x)$ が簡単な形になる定積分で役に立つ。

例えば、${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}+{\frac {\sin({\frac {\pi }{2}}-x)}{\sin({\frac {\pi }{2}}-x)+\cos({\frac {\pi }{2}}-x)}}\right]\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}+{\frac {\cos x}{\cos x+\sin x}}\right]\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}dx={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$

King Property の応用例は $\int _{-1}^{1}{\frac {x^{2}}{1+e^{x}}}\,dx={\frac {1}{3}}$ , $\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln(1+\tan x)\,dx={\frac {\pi }{8}}\log 2$ , $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \sin x\,dx=-{\frac {\pi }{2}}\log 2$ などがある。計算してみよ。

定積分と不等式

一般に、連続関数について次のことが成り立つ。

開区間$[a,b]$において$f(x)\leqq g(x)$ならば、$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leqq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

等号成立条件は開区間$[a,b]$において恒等的に$f(x)=g(x)$であること。

• 例題

調和級数の第n部分和が$\log(n+1)$より大きいことを証明せよ。

• 解答

自然数kに対して$k\leqq x\leqq k+1$のとき${\frac {1}{k}}\geqq {\frac {1}{x}}$であり、等号は常には成り立たないので$\int _{k}^{k+1}{\frac {dx}{k}}>\int _{k}^{k+1}{\frac {dx}{x}}$である。故に$\sum _{k=1}^{n}\int _{k}^{k+1}{\frac {dx}{k}}>\sum _{k=1}^{n}\int _{k}^{k+1}{\frac {dx}{x}}$。

このとき、（左辺）$=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k}^{k+1}dx=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)$=\sum _{k=1}^{n}\int _{k}^{k+1}{\frac {dx}{x}}=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\left[\log(x)\right]_{1}^{n+1}=\log(n+1)-\log(1)=\log(n+1)$なので、題意は示された。

演習問題1

次の不定積分を求めよ。

(1)$\int \tan xdx$

(2)$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx$

(3)$\int \log xdx$

(4)$\int x\log xdx$

(5)$\int x^{2}\log xdx$

(6)$\int x^{3}\log xdx$

(7)$\int x\sin xdx$

(8)$\int x^{2}\sin xdx$

(9)$\int x^{2}e^{x}dx$

• 解答

(1)$-\log(\cos x)+C$

(2)$\tan x+C$

(3)$x\log x-x+C$

(4)${\frac {x^{2}\log x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

(5)${\frac {x^{3}\log x}{3}}-{\frac {x^{3}}{9}}+C$

(6)${\frac {x^{4}\log x}{4}}-{\frac {x^{4}}{16}}+C$

(7)$\sin x-x\cos x+C$

(8)$2x\sin x+(2-x^{2})\cos x+C$

(9)$(x^{2}-2x+2)e^{x}+C$

演習問題2

第一問(Wallis の積分)

$n$ は非負整数とし、$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx$ とする。

(1) $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx$ を示せ。

(2) $I_{n}={\frac {n-1}{n}}I_{n-2}\quad (n\geq 2)$ を示せ。

(3) $I_{n}$ を求めよ。

第二問（ベータ関数の特殊値）

$m,n$ は非負整数、$\alpha ,\beta$ は $\beta >\alpha$ なる実数とし、$I_{m,n}=\int _{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )^{m}(\beta -x)^{n}\,dx$ とする。

(1) $I_{m,n}={\frac {n}{m+1}}I_{m+1,n-1}\quad (n\geq 1)$ を示せ。

(2) $I_{m,n}$ を求めよ。

(3) $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2m+1}\theta \cos ^{2n+1}\theta d\theta$ を求めよ。

積分の応用

面積

ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。

x^2の0から1までの積分

例えば、 $\int _{0}^{1}x^{2}dx={\frac {1}{3}}$ は、放物線$y=x^{2}$について $0<x<1$の範囲でかこまれる面積に等しい。

楕円の面積

楕円${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$の面積$S=\pi ab$の導出

楕円${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$を$y$について解くと

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

となる。そのうち$y={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積Sとなるので

$S=2\int _{-a}^{a}{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}={\frac {2b}{a}}\int _{-a}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}={\frac {2b}{a}}\times {\frac {\pi a^{2}}{2}}=\pi ab$

となる。

体積

ある立体$V_{0}$の$x=t$における断面積が有限な値で、その値が $t$の関数$S(t)$となるとき、この立体を平面$x=a$，$x=b$（ただし、$a<b$）で切り取った領域の体積は、底面積$S(t)$に極めて小さい高さ$dt$の積$S(t)\,dt$の区間$[a,b]$における累積であるので、以下の式で表すことができる。

$V=\int _{a}^{b}S(t)\,dt$

（例1）

$O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(1,0,2)$である三角錐を考える。

この三角錐を平面$x=t(0\leqq t\leqq 1)$で切断すると、断面の三角形の各座標は$A_{t}(t,0,0),B_{t}(t,t,0),C_{t}(t,0,2t)$となる。この時、$\triangle {A_{t}B_{t}C_{t}}$の面積$S(t)=t^{2}$となる。

これを、区間$[0,1]$で積分すると、

$V=\int _{0}^{1}S(t)\,dt=\int _{0}^{1}t^{2}\,dt=\left[{\frac {t^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{3}}$となる。

（例2）

設問

1. $O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),F(0,1,1),G(1,1,1)$である立方体を想定。
2. 平面$x=t(0\leqq t\leqq 1)$で切断し、$\square {O_{t}A_{t}B_{t}C_{t}}$を得る。
3. 線分$O_{t}A_{t},A_{t}B_{t},B_{t}C_{t},C_{t}O_{t}$に、各々点$O_{t},A_{t},B_{t},C_{t}$から、長さ$t$である点$H_{t},I_{t},J_{t},K_{t}$をとり、$\square {H_{t}I_{t}J_{t}K_{t}}$を$S_{t}$とする。
4. $t$を区間$[0,1]$で変化させた時、$S_{t}$が通過する部分の体積$V$を求めよ。なお、$S_{t}$が正方形である証明は省略してよい。

解答

1. $S_{t}$の1辺の長さを$l$とおくと、$l^{2}=t^{2}+(1-t)^{2}=2t^{2}-2t+1$
2. $S_{t}$の面積$S(t)$は$l^{2}$であるから、$S(t)=2t^{2}-2t+1$
3. これを、区間$[0,1]$で積分すると、
4. $V=\int _{0}^{1}S(t)\,dt=\int _{0}^{1}(2t^{2}-2t+1)\,dt=\left[{\frac {2t^{3}}{3}}-t^{2}+t\right]_{0}^{1}={\frac {2}{3}}$となる。

回転体の体積

$y=f(x)(a\leq x\leq b)$ で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる 立体の体積Vは、 $V=\int _{a}^{b}\pi \{f(x)\}^{2}dx$ で与えられる。

導出

立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は $h\times \pi (f(c))^{2}$ となる。 これを$a<c<b$満たす全てのcについて足し合わせると、 $S=\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx$ が得られる。

同様に、$x=g(y)(c\leq x\leq d)$で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、

$V=\int _{c}^{d}\pi \{g(y)\}^{2}dy$

で与えられる。

例えば、 $y=x^{2}~(0<x<1)$ をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、

図形の絵?

$S=\int _{0}^{1}\pi (x^{2})^{2}dx$ $=\pi \int _{0}^{1}x^{4}dx$ $={\frac {\pi }{5}}$ となる。

球の体積

球の体積$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$の導出

半径rの球は半円$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$をx軸の周りに回転させてつくることができる。

$V=\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}^{2}dx=\pi \int _{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dx={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

また体積をrで微分すると球の表面積$S=4\pi r^{2}$が得られる。

補：バームクーヘン積分

上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方をバームクーヘン積分（円筒分割積分）と呼ぶ。

バームクーヘン積分による回転体の体積の公式

曲線$y=f(x)$とx軸、直線$x=a,x=b$に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、
$V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx$

• 導出

閉区間$[x,x+\Delta x](\Delta x>0)$においてx軸と曲線$y=f(x)$で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を$\Delta V$とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。

このとき、$\pi \{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}\}m\leqq \Delta V\leqq \pi \{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}\}M$

変形すると$\pi (2x+\Delta x)m\leqq {\frac {\Delta V}{\Delta x}}\leqq \pi (2x+\Delta x)M$

$\lim _{\Delta x\to +0}m=\lim _{\Delta x\to +0}M=f(x)$なのではさみうちの原理より$\lim _{\Delta x\to +0}{\frac {\Delta V}{\Delta x}}=2\pi xf(x)$

$\therefore {\frac {dV}{dx}}=2\pi xf(x)$

$\Delta x<0$でも同様。

この微分方程式を解く（詳細はこちら）と、

$dV=2\pi xf(x)dx$

$\int dV=\int 2\pi xf(x)dx$

$V=2\pi \int xf(x)dx+C$（Cは積分定数）

閉区間$[a,b]$で定積分を考えると、$V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx$となる。

記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。

補：パップス・ギュルダンの定理

図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。

この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。）

一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方

一般に空間中の直線Lの周りの回転体（斜軸回転体）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。

ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。

例題

xy平面において$L:y=x,C:y=x^{2}$で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。

解答）

曲線C上の点$P(x,x^{2})$から直線Lに下ろした垂線の足を$H(t,t)$とし、直線L上に点$Q(x,x)$をとる。

与えられた条件より$0\leqq x\leqq 1$である。

このとき${\overline {PH}}={\frac {|x-x^{2}|}{\sqrt {2}}}={\frac {x-x^{2}}{\sqrt {2}}}(\because 0\leqq x\leqq 1\implies x\leqq x^{2})$より、

$t={\overline {OH}}={\overline {OQ}}-{\overline {HQ}}={\overline {OQ}}-{\overline {PH}}={\sqrt {2}}x-{\frac {x-x^{2}}{\sqrt {2}}}={\frac {x+x^{2}}{\sqrt {2}}}$

$\therefore dt={\frac {1+2x}{\sqrt {2}}}dx$

tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。

故に、$V=\pi \int _{0}^{\sqrt {2}}{\overline {PH}}^{2}dt=\pi \int _{0}^{1}({\frac {x-x^{2}}{\sqrt {2}}})^{2}\cdot {\frac {1+2x}{\sqrt {2}}}dx$

$={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\int _{0}^{1}(2x^{5}-3x^{4}+x^{2})dx={\frac {{\sqrt {2}}\pi }{4}}[{\frac {1}{3}}x^{6}-{\frac {3}{5}}x^{5}+{\frac {1}{3}}x^{3}]_{0}^{1}={\frac {{\sqrt {2}}\pi }{60}}$

この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。

斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。

①傘型分割積分

上の例題で考えると、長さ${\overline {PQ}}$、微小幅$\Delta x$の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を傘型分割積分という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。

この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。

曲線$y=f(x)$と直線$mx+n,x=a,x=b$で囲まれた部分を直線$y=mx+n$の周りで一回転した体積は、

$V=\pi \cos \theta \int _{a}^{b}\{f(x)-(mx+n)\}^{2}dx$

ただし、$\tan \theta =m$（回転軸がx軸となす角がθである）

この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。

②回転移動の利用

図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。

回転移動には複素数平面の知識、行列の知識のどちらを用いても良い。

この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。

曲線の長さと運動の道のり

執筆中

区分求積法

これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。

面積計算

右図のようなある曲線$y=f(x)$がある。単純のため、ここではつねに$f(x)>0$であるものとして考える。この曲線と、x軸、および直線$x=a,x=b(a<b)$によって囲まれる領域の面積Sを求める。この面積は#面積の項で学んだように、

$S=\int _{a}^{b}f(x)dx$

と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。

曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積Sに近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[a,b]をn等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で$n\to \infty$の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、区分求積法と呼ぶ。

左側で近似

右側で近似

$y=f(x)$を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。

ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]をn等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、

$0,{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}},\cdots ,{\frac {n-1}{n}}$

となる。ここで、一般に第k番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第n-1番目とする。第k番目の長方形の左端のx座標は${\frac {k}{n}}$であるから、この長方形の高さは$f\left({\frac {k}{n}}\right)$となり、また長方形の幅は${\frac {1}{n}}$である。そのため、この長方形の面積$s_{k}$は、

$s_{k}={\frac {1}{n}}f\left({\frac {k}{n}}\right)$

となる。したがって、これらの長方形の面積の総和$S_{n}$は、

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left({\frac {k}{n}}\right)$

この$S_{n}$は、区間[0, 1]をn等分した時の長方形の面積の総和であるが、nを大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、$n\to \infty$の極限を考え、

$S=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left({\frac {k}{n}}\right)$

となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left({\frac {k}{n}}\right)=\int _{0}^{1}f(x)dx$

が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして

$S=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)=\int _{0}^{1}f(x)dx$

となる。

演習問題

• 不定積分44題
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