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'''メルテンスの定理'''(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、[[1874年]]に{{ill2|フランツ・メルテンス|en|Franz Mertens}}により証明された、[[素数]]を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 |
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'''メルテンスの定理'''(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、[[1874年]]に[[ポーランド]]の[[数学者]]{{ill2|フランツ・メルテンス|en|Franz Mertens}}によって証明された、[[素数]]を含んだ[[和]]や[[積]]の評価に関する一連の[[定理]]である。 |
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[[素数定理]]より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。 |
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評価の厳しさは[[素数定理]]よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。 |
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== 定理 == |
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2024年9月9日 (月) 02:54時点における最新版
メルテンスの定理(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、1874年にポーランドの数学者フランツ・メルテンス(英語版)によって証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。
評価の厳しさは素数定理よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。
また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数(英語版)という。
素数 p が n の階乗 を割り切る回数を とおくと
ルジャンドルの公式 より
であるから
が成り立つ。よって
となるから
となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より
が成り立ち、階乗の増大度について、
がすぐわかる(スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる)から
となる定数 が存在する。一方
となる定数 が存在することは
が収束することからわかる。
とおく。第一定理より である。よって積分
はのとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より
となるので、第二定理は
について成り立つ。
収束性は
および
から、第二定理よりすぐに導かれる。
定数部分が であることの証明は概略のみ述べる。
とおく( g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる)。アーベルの総和公式を用いて
が得られる。ここで とおくとオイラーの定数の積分表示から
となる。これと第二定理を用いて
が示せる。 より
つまり
である。再び第二定理を用いて
が得られ、第三定理が示される。