함수

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함수(函數, function)는 어떤 집합(정의역)의 모든 원소에 대해 또 다른 집합(공역)의 단 하나의 원소가 짝지어져 있는 관계(binomial relation)를 가리킨다. 함수는 집합과 함께 현대수학의 조직원리이며 거의 모든 자연과학에서 기초적인 개념으로 사용된다. 함수는 함수식에 따라 다항함수, 지수함수 등으로 나누거나 변수에 따라 실함수, 복소함수 등으로 나눈다.

집합 $X$에서 입력값을 받고 집합 $Y$의 원소를 출력으로 내놓는 함수 $f$는

$f:\,X\to Y$

와 같이 표시한다.

함수 $f$는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계(relation)이다.

1. $X$의 모든 원소 $x$에 대해 $x\,f\,y$($x$와 $y$는 $f$ 관계를 갖는다.)인 원소 $y$가 $Y$에 반드시 존재한다.
2. $f(x)=y$이고 $f(x)=z$이면, $y=z$이다.

더 간추린 정의는 다음과 같다. $X$에서 $Y$로 가는 함수 $f$는 $X$의 모든 원소 $x$에 대해 $Y$의 원소 $y$가 유일하게 존재하는 카테시안 곱 $X\times Y$의 부분집합이다.

정의역, 공역, 치역

입력값의 집합 $X$를 함수 $f$의 정의역이라 하고, 가능한 출력값의 집합 $Y$는 함수 $f$의 공역이라 한다. 함수 $f$의 치역은 $f$의 출력값들의 집합이다.

{$f(x)$ : $x$는 정의역의 모든 원소}

공역과 치역의 차이는 가능한 결과값과 실제로 만들어지는 결과값의 차이이다.

함수의 종류

함수는 정의역의 형태, 정의역과 치역 사이의 대응관계, 구조 등의 수학적 특성에 따라 여러 가지로 분류된다.

다항함수

• 다항식에 의해 정의된 함수

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,$를 다항함수라고 한다. 다항식의 각 항의 차수가 0 또는 양의 정수인 다항함수에서 최고차항의 차수가 $n\,$일 경우 이를 $n\,$차 함수라고 부른다.

• 다항함수 중 상수항뿐인 함수 $f(x)=a_{0}\,$을 상수함수라고 한다.
• 다항함수 중 $f(x)=x\,$를 항등함수라고 하고$I\,$로 표기하기도 한다.
• 항등함수는 함수의 합성에서의 항등원으로 $f\circ I=I\circ f=f(x)\,$가 성립한다

합성함수

• 함수 $f:A\rightarrow B\,$, $g:C\rightarrow D\,$ 에서 $f(A)\subset C\,$ 일 때 아래와 같이 정의 된 함수 h를 함수 f와 g의 합성함수(composite function)라고 하고 $g\circ f\,$로 나타낸다.

(합성함수는 교환법칙이 성립하지 않는다)

$h:A\rightarrow D\,$, $h(x)=(g\circ f)(x):=g(f(x))\,$

역함수

• 함수 $f:X\rightarrow Y\,$가 전단사함수일 때 아래와 같이 정의된 함수 g를 f의 역함수(inverse function)라 하고 $f^{-1}\,$로 나타낸다. (참조역함수)

$g:Y\rightarrow X\,$, $f(x)=y\,$일 때 $g(y)=f^{-1}(y)=x\,$

• 함수$(f^{-1}(x))^{-1}=f(x)\,$가 성립한다