점근 국소 평탄 공간

미분기하학에서 점근 국소 평탄 공간(漸近局所平坦空間, 영어: asympotically locally flat [ALF] space)은 무한대에서 3차원 유클리드 공간의 오비폴드 위의 원군 주다발로 수렴하는 4차원 초켈러 다양체이다.

정의

4차원 초켈러 다양체 $(M,g)$가 완비 리만 다양체이며, 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.^{:Definition 3.1}

• 어떤 콤팩트 집합 $K\subsetneq M$ 및 $R>0$ 및 유한군 $\Gamma \leq \operatorname {O} (3)$ 및 원군 주다발 $\operatorname {U} (1)\hookrightarrow {\tilde {M}}\twoheadrightarrow (\mathbb {R} ^{3}\setminus \operatorname {ball} (R))/\Gamma$ 및 그 위의 주접속 $A\in \Omega ^{1}({\tilde {M}})$에 대하여, 미분 동형 $M\setminus K\cong {\tilde {M}}$이 존재하며, 이 미분 동형 아래 $M$의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다.

  $g=g_{\mathbb {R} ^{3}/\Gamma }+A^{2}+{\mathcal {O}}(r^{-t})\qquad (t>0)$

분류

점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군 $\Gamma \leq \operatorname {O} (3)$에 의하여 분류되며, $\Gamma =\{1\}$ 및 $\Gamma =\operatorname {Cyc} (2)$ (2차 순환군)이 가능하다. $\Gamma =\{1\}$인 경우는 순환군형(循環群型, 영어: cyclic type) 또는 A형이라고 하며, A₋₁, A₀, A₁, …가 있다. $\Gamma =\operatorname {Cyc} (2)$인 경우는 정이면체군형(正二面體群型, 영어: dihedral type0 또는 D형이라고 하며, D₀, D₁, …가 있다.

순환군형

순환군형은 기호로 A_n의 꼴이며, 여기서 n은 −1 이상의 정수이다. 일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 일반적으로, 3차원 유클리드 공간 속에 $n+1$개의 점 (너트의 위치)

${\vec {r}}_{0},\dotsc ,{\vec {r}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}$

을 골랐을 때, 퍼텐셜

$V({\vec {x}})=l+\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{2\|{\vec {x}}-{\vec {r}}_{i}\|}}$

을 사용하여 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 A_n형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 $l$은 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하며, 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다.

즉, 그 모듈라이 공간은

${\mathcal {M}}=\mathbb {R} ^{+}\times {\frac {\operatorname {Conf} (n+1,\mathbb {R} ^{3})}{\operatorname {ISO} (3;\mathbb {R} )}}$

$\dim {\mathcal {M}}_{n}={\begin{cases}1&n\in \{-1,0\}\\2&n=1\\3(n-1)+1&n\geq 2\end{cases}}$

이다. 이는 $n+1$개의 점 가운데, 유클리드 공간의 등거리 변환을 가한 것이다. 추가의 1차원은 $l$에 해당하며, 리만 계량의 스칼라배에 해당한다.

정이면체군형

정이면체군형은 기호로 D_n의 꼴이며, 여기서 n은 음이 아닌 정수이다. 이 경우 여러 가지 구성이 존재한다. 특히, 퍼텐셜

$V({\vec {x}})=l-{\frac {2}{\|{\vec {x}}\|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2\|{\vec {r}}_{i}-{\vec {x}}\|}}+{\frac {1}{2\|{\vec {r}}_{i}+{\vec {x}}\|}}\right)$

을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각하자. 이는 $\|{\vec {x}}\|\ll 1$인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는 ${\vec {x}}\mapsto -{\vec {x}}$에 대하여 대칭이므로 $(\mathbb {R} ^{3}\setminus \operatorname {ball} (R))/\operatorname {Cyc} (2)$ 위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약 $l$이 충분히 크다면, 가운데에 D₀ 공간을 이어붙이면 이는 D_n 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, D_n이 되도록 변형할 수 있다.^{:Remark 3.7}

즉, 이 경우 마찬가지로 모듈라이 공간은

$\dim {\mathcal {M}}_{n}={\begin{cases}1&n=0\\2&n=1\\3n-2&n\geq 2\\\end{cases}}$

여기서 한 차원은 $l$에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다.

성질

위상수학적 성질

점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.^{:§3.2.1, §3.2.2}

점근 국소 평탄 공간	기본군 $\pi _{1}$	베티 수 $(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})$
A−1	무한 순환군 Cyc(∞)	(1,1,0,0,0)
An (n≥0)	자명군 1	(1,0,n,0,0)
D0	2차 순환군 Cyc(2)	(1,0,0,0,0)
Dn (n≥1)	자명군 1	(1,0,n,0,0)

특히, A₋₁은 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}$이므로, 원 $\mathbb {S} ^{1}$과 호모토피 동치이다. 토브-너트 공간 A₀은 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{4}$과 미분 동형이다.

기하학적 성질

점근 국소 평탄 공간의 킬링 벡터장의 수는 다음과 같다.

점근 국소 평탄 공간	킬링 벡터장의 수
A−1	4
A0	4
A1	2
An (n≥2)	1
D0	3

이는 ISO(3)의 군의 작용의 안정자군의 차원 + 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개로 계산할 수 있다.

예

• A₋₁형 점근 국소 평탄 공간은 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}$이다.
• A₀형 점근 국소 평탄 공간은 토브-너트 공간이다.
• D₀형 점근 국소 평탄 공간은 아티야-히친 공간이다.
• D₁형 점근 국소 평탄 공간의 모듈라이 공간은 (리만 계량에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 아티야-히친 공간의 2겹 범피복 공간이다.

응용

점근 국소 평탄 공간은 일반 상대성 이론과 끈 이론에 자주 등장한다. 이는 이들이 초켈러 다양체이므로, 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다.