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보편 이차 형식

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이차 형식 이론에서, 보편 이차 형식(普遍二次形式, 영어: universal quadratic form)은 모든 스칼라 값을 치역으로 갖는 이차 형식이다.

정의

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가환환 위의 가군 위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여, 만약 이 존재한다면, 에 의한 표현(영어: representation of by )이라고 한다.

만약 의 모든 원소가 에 의하여 표현될 수 있다면, 보편 이차 형식이라고 한다.

분류

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복소수체

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이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 수가 제곱근을 갖는 )라고 하자. (예를 들어, 복소수체나 보다 일반적으로 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 또한, 크기 2의 유한체 역시 이차 폐체이다.) 이 경우, 위의 임의의 벡터 공간 위의 이차 형식은 상수 함수 0이거나 아니면 보편 이차 형식이다.

실수체

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에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 에서 인 경우이다. 만약 이지만 인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로 만약 이지만 인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다.

실수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이 보편 이차 형식일 필요충분조건은 부정부호 이차 형식인 것이다. 즉, 대각화하였을 때 하나 이상의 양의 고윳값과 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는 것이다. 예를 들어, 는 보편 이차 형식이지만 는 아니다.

유한체

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홀수 표수의 유한체에 대하여, 2차원 이상의 모든 비특이 이차 형식은 보편 이차 형식이다.[1]:36

p진수체

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p진수체 위의 4차원 이상의 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식은 항상 보편 이차 형식이다.[2]:37

유리수체

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하세-민코프스키 정리에 따르면, 유리수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 보편 이차 형식이다.
  • 모든 자리 에 대하여, 는 보편 이차 형식이다. (여기서 실수체이며, 소수 에 대하여 p진수체이다.)

정수환

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15 정리(十五定理, 영어: fifteen theorem)에 따르면, 유한 생성 자유 아벨 군 위의 이차 형식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]

  • 는 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15를 표현한다. (OEIS의 수열 A030050)
  • 는 보편 이차 형식이다.

또한, 각 정수 에 대하여, 을 표현하지만 을 표현하지 않는 이차 형식이 알려져 있다.

라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 정수 계수 이차 형식 는 보편 이차 형식이다.

페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 소수 가 이차 형식 에 의하여 표현될 필요충분조건은 인 것이다.

참고 문헌

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  1. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  2. Serre, Jean-Pierre (1973). 《A Course in Arithmetic》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001. 
  3. Conway, J. H. 〈Universal quadratic forms and the fifteen theorem〉 (PDF). Bayer-Fiuckiger, Eva; Lewis, David; Ranicki, Andrew. 《Quadratic forms and their applications. Proceedings of the conference on qadratic forms and their applications, July 5–9, 1999, University College Dublin》. Contemporary Mathematics (영어) 272. American Mathematical Society. 23–26쪽. doi:10.1090/conm/272/4394. MR 1803358. Zbl 0987.11026. 

외부 링크

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