절댓값 (대수학)

대수학 및 대수적 수론에서 절댓값(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.

정의

정역 $D$ 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $|\cdot |\colon D\to \mathbb {R} _{\geq 0}$이다.^{:116, Definition 3.1}

• 임의의 $x\in D$에 대하여, $|x|=0\iff x=0$
• 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $|xy|=|x||y|$
• (삼각 부등식) 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $|x+y|\leq |x|+|y|$

정역 $D$ 위의 절댓값은 그 분수체 $K=\operatorname {Frac} D$ 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.

$|x/y|=|x|/|y|\qquad \forall x,y\in D$

절댓값을 갖춘 정역 $(D,|\cdot |)$ 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.

$d(x,y)=|x-y|$

절댓값의 공리에 따라, $|1|=|-1|=1$이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

$|n|\leq n\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

비아르키메데스 절댓값

정역 $D$ 위의 절댓값 $|\cdot |$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다.

• (초거리 부등식) 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $|x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}$
• $\{|\overbrace {1+1+\cdots +1} ^{n}|\colon n\in \mathbb {N} \}$이 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, $a\mapsto -\log |a|$는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 $v$가 주어졌다면, 그 지수 함수 $a\mapsto \exp(-v(a))$는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 $|\cdot |$을 갖춘 체 $K$에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 $K$의 $|\cdot |$에 대한 정수환(영어: ring of integers)이라고 한다.

자리

같은 정역 $D$ 위의 두 절댓값 $|\cdot |$, $|\cdot |'$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 동치라고 한다.

• 임의의 $x\in D$에 대하여, 만약 $|x|<1$이면 $|x|'<1$이다.
• 임의의 $x\in D$에 대하여, $|x|<1$과 $|x|'<1$이 동치이다.
• $|\cdot |$과 $|\cdot |'$은 $D$ 위에 같은 위상을 정의한다.
• $|\cdot |=|\cdot |^{s}$인 양의 실수 $s\in \mathbb {R} ^{+}$가 존재한다.

절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 자리(영어: place)라고 한다.

완비화

절댓값을 갖춘 정역 $D$는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset D$들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 $D$의 절댓값 $|\cdot |$에 대한 완비화(영어: completion)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.

예

임의의 정역 $D$ 위의 자명 절댓값(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다.

$|x|_{0}={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}$

유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.

$|\cdot |_{\mathbb {R} }\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}$

$|\cdot |_{\mathbb {C} }\colon x+iy\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

𝔭진 절댓값

데데킨트 정역 $D$가 주어졌을 때, $D$의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여 ${\mathfrak {p}}$진 절댓값(영어: ${\mathfrak {p}}$-adic absolute value) $|\cdot |_{\mathfrak {p}}$은 $D$ 위의 절댓값이며, 다음과 같다.

$|x|_{\mathfrak {p}}={\begin{cases}0&x=0\\\exp(-n)&(x)={\mathfrak {p}}^{n}{\mathfrak {q}},\qquad {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {q}},\qquad n\in \mathbb {N} \end{cases}}$

이는 물론 $\operatorname {Frac} D$ 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

대수적 수체

오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 $K$ 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.

• 자명 절댓값 $|\cdot |_{0}$과 동치인 자리. 이를 자명 자리(영어: trivial place)라고 한다.
• 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, ${\mathfrak {p}}$진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(영어: finite place)라고 한다.
• 실수로의 매장 $\iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$에 대하여, $|\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota$. 여기서 $|\cdot |_{\mathbb {R} }$는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(영어: real infinite place)라고 한다.
• 복소수로의 매장 $\iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {C}$에 대하여 ($\iota (K)\not \subset \mathbb {R}$), $|\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota$. 여기서 $|\cdot |_{\mathbb {C} }$는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, $\iota$와 ${\bar {\iota }}$는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(영어: complex infinite place)라고 한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

• 자명 자리 $|\cdot |_{0}$
• 소수 $p$에 대하여, $p$진 자리 $|\cdot |_{p}$
• 하나의 실 무한 자리 $|\cdot |_{\infty }$

겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

대수적 수체 $K$의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.^:192

역사

퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.

외부 링크

• “Norm on a field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Valuation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Valuation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.