Furjė analizė

Furjė analizė – matematikos metodas, kuris atsirado iš Furjė eilučių nagrinėjimo. Metodas leidžia įvairias funkcijas išreikšti per trigonometrinių funkcijų sumą. Furjė analizė yra pavadinta Joseph Fourier vardu. Šiandien Furjė analizė apima platų matematikos spektrą. Moksle ir inžinerijoje, procesas, kai funkcija yra skaldoma į paprastesnę dažnai vadinamas Furjė analize, kai operacija, kurios metu atstatoma funkcija yra žinoma kaip „Furjė sintezė“. Matematikoje terminas „Furjė analizė“ dažnai reiškia abiejų operacijų nagrinėjimą Skaidymo procesas dar yra vadinamas Furjė transformacija.

Pritaikymai

Furjė analizė gali būti pritaikyta fizikoje, skaičių teorijoje, kombinatorikoje, signalų apdorojime, vaizdo gavime, tikimybių teorijoje, statistikoje, kriptografijoje, skaičių analizėje, akustikoje, okeanografijoje, optikoje, geometrijoje ir kitur.

Furjė analizės variantai

(Tolydi) Furjė transformacija

Furjė transformacija vadinama funkcijos transformacija, kai gaunama jos dažnių funkcija. Viena funkcija yra paverčiama kita, ši operacija yra grįžtamoji. Kai įvesties funkcijos domenas yra laikas (t), o išvesties domenas yra dažnis, funkcijos transformacija s(t) dažniu ƒ yra apibrėžiama kompleksiniu skaičiumi:

$S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.$

Nustatant šį dydį visiems ƒ gaunama dažnio domeno funkcija. Tada s(t) gali būti vaizduojama kaip kompleksinių eksponenčių rekombinacija per visus galimus dažnius:

$s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}df,$

tai yra atvirkštinės transformacijos formulė. Kompleksinis skaičius S(ƒ) išreiškia abu, amplitudę ir dažnio fazę ƒ.

Furjė eilutės

Furjė transformacija periodinei funkcijai s_P(t), su periodu P, tampa Dirako šukų funkcija, moduliuojama kompleksinių koeficientų seka:

$S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt$     visiems sveikiesiems skaičiams k,

ir kur $\scriptstyle \int _{P}$  yra integralas per bet kokį P ilgio intervalą.

Atvirkštinė transformacija, žinoma kaip Furjė eilutės, yra s_P(t) atvaizdavimas sumuojant potencialiai baigtinį harmoningai susijusių sinusoidžių skaičių arba kompleksinių eksponenčių funkcijas, kuri kiekviena yra su amplitude ir faze, nurodoma koeficinentų:

$s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\ \delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right).$

Diskretaus laiko Furjė transformacija (DLFT)

DLFT yra laiko srities Furjė eilučių matematinis atitikmuo. Taigi konverguojanti periodinis sumavimas dažnių srityje gali būti vaizduojamas Furjė eilutėmis, kurių koeficientai yra susijusių tolydžių laiko funkcijų pavyzdžiai:

$S_{1/T}(f)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Furjė eilutė (DLFT)}}} _{\text{Puasono sumavimo formulė}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,$

kas yra žinoma kaip DLFT. Vadinasi, DLFT s[n] seka yra taip pat Furjė transformacija Dirako šukų funkcijai.

Furjė eilučių koeficientai apibrėžiami taip:

$s[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T\int _{1/T}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s(nT)}\,$

yra atvirkštinė transformacija. Su s[n] = T•s(nT), ši Furjė eilutė gali būti atpažinta kaip Puasono sumacijos formulė.