Reuleaux-driehoek: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
+#Munten, wf |
→Geschiedenis: Orbiforms, spheroforms |
||
| (45 tussenliggende versies door 5 gebruikers niet weergegeven) | |||
Regel 1:
{{wrapper}}
| [[Bestand:Construction of Reuleaux triangle
Deze bollende driehoek heeft een constante breedte: alle punten op een boog liggen op gelijke afstand van de tegenoverliggende hoek.|alt=Drie gelijke cirkels die deels overlappen. Elk heeft zijn middelpunt op een snijpunt van de twee andere cirkels. Waar ze alle drie overlappen ontstaat de reuleaux-driehoek.]]
[[Bestand:Flower of life 6-color triangles.png|miniatuur|Levensbloem. De ringen van drie zwarte segmenten hebben een reuleaux-driehoek als omtrek. De cirkels hebben een rand van zes, dus de driehoek heeft de halve omtrek van zijn constructiecirkel.]]▼
|-
Een '''reuleaux-driehoek''' [ʁœlo] is een figuur gevormd uit de doorsnijding van drie [[cirkel]]s, elk met zijn middelpunt op een [[snijpunt]] van de andere twee. De driehoek behoort tot de reuleaux-[[Veelhoek|polygonen]], oneven veelhoeken waarvan de zijden bestaan uit cirkelsegmenten met het middelpunt op een overstaand snijpunt.<ref name=":0" />▼
| [[Bestand:Reuleaux triangle roll.gif|miniatuur|Rollend|alt=Een rollende reuleaux-driehoek raakt steeds de rechte lijnen waartussen hij rolt]]
|-
| [[Bestand:Reuleaux triangle rotating.gif|miniatuur|Draaiend als een wiel|alt=Draaiend als een wiel in een animatie. Deze laat zien dat het wiel niet gelijkmatig draait.]]
|-
▲| [[Bestand:Flower of life 6-color triangles.png|miniatuur|Levensbloem.
|}
▲Een
De rand van deze driehoek is een curve met [[constante breedte]], de eenvoudigste en bekendste curve met deze eigenschap, behalve de cirkel zelf. 'Constante breedte' betekent dat de afstand van elk tweetal parallelle [[Steunlijn (meetkunde)|steunlijn]]en hetzelfde is.▼
▲De rand van deze driehoek is een curve met [[constante breedte]]
Deze driehoek is genoemd naar de 19e-eeuwse Duitse ingenieur [[Franz Reuleaux]] (uitspraak: [ʁœlo][[Internationaal Fonetisch Alfabet|<sup>(IPA)</sup>]]). De vorm komt echter al voor in een [[Feniciërs|Fenicische]] [[betegeling]] uit de negende eeuw. [[Leonardo da Vinci]] was ermee bekend, [[Leonhard Euler|Euler]] schreef er in 1774 over en in de twintigste eeuw vond de reuleaux-driehoek toepassing in de [[Werktuigbouwkunde|werktuigbouw]].
== Constructie en afmetingen ==
Bij het construeren van een [[gelijkzijdige driehoek]] ontstaat de reuleaux-driehoek al eerder dan de echte driehoek. Bij de constructie is [[Constructie met passer en liniaal|alleen een passer nodig]] om drie gelijke cirkels te tekenen: de eerste twee met de middelpunten op elkaars randen, de derde met een van de snijpunten als middelpunt. Het is niet nodig de cirkels volledig te tekenen, segmenten van 60 [[Booggraad|graden]] (een zesde deel van de cirkel) volstaan.
Uit de constructie zijn de afmetingen te berekenen. Uitgaande van een cirkel met straal ''r'' en een gelijkzijdige driehoek met zijden ''r'':
* De omtrek van de reuleaux-driehoek is de helft van de cirkel waarvan hij de bogen heeft: hij is immers opgebouwd uit drie cirkelbogen die elk een zesde van een cirkel zijn.
* Op dezelfde manier is te zien, dat een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte ''r'' een reuleaux-driehoek geeft met zijden van ''r''·[[Pi (wiskunde)|π]]r/3, ongeveer 1,047·''r''.
* De reuleaux-driehoek is dus opgebouwd uit drie overlappende cirkelsegmenten; daaruit is de [[oppervlakte]] te berekenen. Bij een cirkelstraal ''r'' hebben de drie cirkelsegmenten het oppervlak van een halve cirkel, oftewel <math>\tfrac{1}{2}\pi r^2</math>, maar daarbij is het overlappende deel driemaal geteld. Die overlapping is de gelijkzijdige driehoek; die moet dus tweemaal in mindering gebracht worden. De oppervlakte wordt dan <math>\begin{align}\tfrac{1}{2}(\pi - \sqrt 3)r^2=0,705r^2 \\\end{align} \!\,</math>. Een gelijkzijdige driehoek met zijden van een meter levert een reuleaux-driehoek op met een oppervlak van nagenoeg een [[vierkante meter]]: 0,9934 m².
* Van alle curven met gelijke breedte heeft de cirkel het grootste oppervlak voor een gegeven breedte. Het [[Blaschke-Lebesgue-theorema]] uit het begin van de twintigste eeuw bewijst dat de reuleaux-driehoek het kleinste oppervlak heeft.<ref name=":2" />
== Eigenschappen en toepassingen ==
Met reuleaux-polygonen en alle andere curves van constante breedte zijn [[putdeksel
De [[Drager (wiskunde)|support function]] van deze polygonen is:
▲Met reuleaux-polygonen en alle andere curves van constante breedte zijn [[putdeksel|putdeksels]] te maken die niet in de put kunnen vallen: ze hebben immers overal dezelfde [[diameter]].
{{Math|''h''(''t'') {{=}} {{vbreuk|1|2}} + {{vbreuk|sin(''at'')|2 (''a''<sup>2</sup> − 1)}}|x}}
Hierbij is {{Math|a}} oneven en groter of gelijk aan drie.
Een ander gevolg van de constante breedte is, dat een vlakke plaat op [[Rollen (beweging)|rollende]] reuleaux-polygonen steeds in contact blijft met al de polygonen. Ook blijven ze afrollend binnen een vierkant steeds in contact met alle zijden.<ref>{{Citeer web |url=https://mathworld.wolfram.com/ |titel=Curve of Constant Width |achternaam=Weisstein |voornaam=Eric W. |bezochtdatum=2024-07-07 |werk=mathworld.wolfram.com |taal=en}}</ref> De afstand tussen twee van zulke platen wordt de breedte van de curve genoemd.
Een andere eigenschap is, dat een glasplaat op rollende reuleaux-polygonen steeds in contact blijft met al de polygonen. Bij een reuleaux-driehoek die op zijn punt staat, ligt het middelpunt echter hoger dan bij een driehoek die op een zij ligt, zodat de as van een 'reuleaux-fietswiel' steeds op en neer zou gaan, terwijl ook de voorwaartse beweging ongelijkmatig is.<ref>{{Cite web| people = Maker's Museundefined (Director)| title = Reuleaux Triangle Bearing - is it possible?| accessdate = 2020-11-24| date = 2017-07-14| url = https://www.youtube.com/watch?v=e1IZYyRoH6U&feature=youtu.be&t=212| language = en}} – Het betreffende fragment begint op 3<nowiki>'32''</nowiki></ref> Als een reuleaux-driehoek op de plaats ronddraait, maakt het [[zwaartepunt]] dus een cirkelbeweging, wat in mechanische constructies tot onbalans leidt. Die onbalans kan echter ook nuttig zijn: een potlood of munt met een reuleaux-driehoek als doorsnede rolt niet makkelijk weg, ondanks de constante breedte.▼
▲
Een [[Boor (gereedschap)|boor]] die de buitenomtrek van een reuleaux-driehoek heeft, kan gebruikt worden om '[[Vierkant (meetkunde)|vierkante]]' gaten te boren. Hiervoor moet de boor op een [[Excentriek (mechaniek)|excentriek]]<nowiki/>constructie gemonteerd worden; de beweging van de boor is vergelijkbaar met een reuleaux-driehoek die afrolt langs de binnenzijde van een vierkant. Het middelpunt van de driehoek doorloopt een kromme die niet helemaal cirkelvormig is, maar bestaat uit vier gelijke [[Ellips (wiskunde)|ellips]]<nowiki/>segmenten. Een boor die zuiver als reuleaux-driehoek uitgevoerd is, snijdt 98,77% van het gat uit: de hoeken zijn iets afgerond.<ref name=":2">{{Citeer web|url=https://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html|titel=Reuleaux Triangle|bezochtdatum=2020-11-24|auteur=Eric W. Weisstein|werk=mathworld.wolfram.com|taal=en}}</ref><ref name=":0">{{Citeer web|url=https://www.deingenieur.nl/artikel/voor-de-vorm|titel=Voor de vorm|bezochtdatum=2020-11-24|auteur=|achternaam=|voornaam=|datum=2018-03-19|werk=[[De Ingenieur]]|uitgever=[[Koninklijk Instituut Van Ingenieurs|KIVI]]|taal=nl}}</ref>▼
=== Boor voor hoekige gaten ===
De Engelse Amerikaan<ref name=":1" /> [[Harry Watts]] ontwierp in 1914 een boor die op de reuleaux-driehoek gebaseerd is. In september 1917 kreeg hij [[octrooi]] op zijn mechanisme voor het boren van veelhoekige gaten.<ref name=":1">{{Cite web| title = Patent Images| accessdate = 2020-11-25| url = https://pdfpiw.uspto.gov/.piw?PageNum=0&docid=01241176&IDKey=549A5883355C%0D%0A&HomeUrl=https://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=%25252Fnetahtml%25252FPTO%25252Fsrchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=1241176.PN.&OS=PN%2F1241176&RS=PN%2F1241176| language = en}}</ref> De boren van de ''Watts Brothers Tool Works'' wijken iets af van de reuleaux-driehoek, waardoor ze de hoeken van het vierkant wat beter uitboren.<ref>{{Cite web|url=https://www.mikesenese.com/DOIT/2011/10/drilling-square-holes-with-a-reuleaux-triangle/|title=Drilling Square Holes with a Reuleaux Triangle|accessdate=2020-11-24|date=2011-10-04|work=DO IT: Projects, Plans, and How-tos| language = en}}</ref> Watts produceerde ook boren voor vijf-, zes- en achthoekige gaten.▼
{| class="wikitable" style="width:10em; padding:1em; margin-right: 25px; font-size: 90%;" align="left"; border="1";
! Reuleaux-boor
|-
| [[Bestand:Rotation of Reuleaux triangle.gif|kaderloos|alt=Reuleaux-driehoek rolt binnenlangs een vierkant met behulp van een excenter-constructie]]<br>Rollend binnenlangs een vierkant. De baan van het middelpunt is aangegeven.
<small> </small>
|-
|<small> </small>
De baan van het middelpunt. De blauwe [[ingeschreven cirkel]] is ter vergelijking.<br>[[Bestand:Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg|kaderloos|156x156px|alt=Om de reuleax-driehoek binnenlangs een vierkant te laten rollen, moet het middelpunt een net niet cirkelvormige baan beschrijven]]
|}
▲Een [[Boor (gereedschap)|boor]] die de buitenomtrek van een
▲De Engelse Amerikaan<ref name=":1" /> [[Harry Watts]] ontwierp in 1914 een boor die op de
Reuleaux-[[Slijpschijf|slijpschijven]] en [[Afbraamschijf|afbraamschijven]] komen beter in hoeken dan ronde, wat ze geschikt maakt voor het verwijderen van [[tegellijm]] en resten van verf of behang. De veranderende afstand tussen as en rand verhindert dat de hoeken helemaal bereikt worden, maar met een excenter-constructie kan dit nagenoeg, zoals te zien is bij de boren voor vierkante gaten.
=== Munten ===
Diverse munten hebben een reuleaux-vorm, waaronder de [[Zevenhoek|zevenhoekige]] Britse [[Twenty pence|twenty pences]] en [[Fifty pence|fifty pences]]. Door de constante breedte kunnen [[Verkoopautomaat|verkoopautomaten]] er goed mee overweg.<ref>{{Citeer web|url=https://www.royalmint.com/discover/uk-coins/coin-design-and-specifications/twenty-pence-coin/|titel=Twenty Pence Coin Designs and Specifications {{!}} The Royal Mint|bezochtdatum=2020-11-29|auteur=|achternaam=|voornaam=|datum=|werk=www.royalmint.com|uitgever=[[Royal Mint]]|taal=en|archiefdatum=2020-12-09|archiefurl=https://web.archive.org/web/20201209090701/https://www.royalmint.com/discover/uk-coins/coin-design-and-specifications/twenty-pence-coin/|dodeurl=no}}</ref> Er bestaan echter ook hoekige munten die geen
[[Bermuda]] heeft vanaf de [[1990-1999|jaren negentig]] [[herdenkingsmunt]]en uitgegeven die de reuleaux-driehoek benaderen, zij het met afgeronde punten. Ze hebben [[nominale waarde]]n vanaf 1 [[Bermudaanse dollar]], maar
=== Submillimeter Array ===
[[Bestand:SMA Array Map.png|miniatuur|Het [[Mauna Kea-observatorium]]. De acht stipjes rond de bruine driehoek geven de Submillimeter Array aan.|alt=Kaart van het Mauna Kea-observatorium. De telescopen staan min of meer volgens een reuleaux-driehoek opgesteld.]]
De [[Submillimeter Array]], die deel uitmaakt van het [[Mauna Kea-observatorium]], bestaat uit acht [[Radiotelescoop|radiotelescopen]] voor [[apertuursynthese]]. Apertuursynthese houdt in, dat de telescopen door hun opstelling en uitvoering een gezamenlijk beeld produceren dat veel beter is dan de afzonderlijke beelden. Een opstelling in een smalle ring volgens een curve met constante breedte heeft hiervoor gunstige eigenschappen en uit een bouwstudie bleek, dat een reuleaux-driehoek een betere [[Beeldvorming (optica)|beeldvorming]] zou moeten opleveren dan de cirkel.<ref>{{Citeer web|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1086/303545/fulltext/|titel=The Shapes of Cross-Correlation Interferometers|bezochtdatum=2020-11-28|auteur=|achternaam=Keto|voornaam=Eric|datum=1997-02-01|werk=https://iopscience.iop.org/article/10.1086/303545/fulltext/|uitgever=''Lawrence Livermore National Laboratory'', ''University of California'' en ''Smithsonian Astrophysical Observatory''|taal=en|archiefdatum=2020-11-09|archiefurl=https://web.archive.org/web/20201109052156/https://iopscience.iop.org/article/10.1086/303545/fulltext/|dodeurl=no}}</ref> Volgens deze studie van [[Eric Keto]] zou een lichte verstoring van de vorm wenselijk zijn om de symmetrie te doorbreken en plaatselijke pieken in de beeldvorming te voorkomen. Het onregelmatige terrein op de [[Hawaï (hoofdbetekenis)|Hawaïaanse]] berg [[Mauna Kea]] dwong zulke aanpassingen ook af; wel staan de telescopen opgesteld in een opbollende driehoek.
Een theoretische studie uit 2004 trok de voordelen van de reuleaux-driehoek echter in twijfel. Een simulatie met zestig telescopen gaf aan dat cirkel en de reuleaux-driehoek vrijwel gelijkwaardig zijn bij een opstelling met grote aantallen telescopen. Variatie in de afstanden tussen de telescopen scheen belangrijker te zijn dan het verbreken van de symmetrie. De berekeningen leidden tot de hypothese dat de beeldvorming gelijkmatiger zou zijn als de telescopen opgesteld werden in een brede ring: niet strikt op een gladde curve dus, maar met verspringingen.<ref>{{Citeer journal| doi = 10.1111/j.1365-2966.2004.08158.x| issn = 0035-8711| volume = 353| issue = 4| pages = 1304–1310| last = Webster| first = Adrian| title = The electromagnetic properties of aperture‐synthesis telescopes shaped as Reuleaux triangles| journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society| accessdate = 2020-11-28| date = 2004-10-01| url = https://academic.oup.com/mnras/article/353/4/1304/977559| taal = en| archiefdatum = 2018-06-02| archiefurl = https://web.archive.org/web/20180602195257/https://academic.oup.com/mnras/article/353/4/1304/977559| dodeurl = no}}</ref>
== Verwante en gelijkende vormen ==
* Uit alle oneven convexe veelhoeken, ook de onregelmatige, is een curve met constante breedte te construeren met een reeks cirkelbogen. Deze constructie werkt alleen in het [[Vlak (meetkunde)|platte vlak]]; geen enkele [[intersectie]] van twee of meer [[Sfeer (wiskunde)|sferen]] in hogere dimensies heeft een constante breedte.<ref>{{Citeer tijdschrift |achternaam=Lachand‐Robert† |voornaam=Thomas |titel=Bodies of constant width in arbitrary dimension |url=https://hal.science/hal-00385113/file/spheroforms.pdf |jaargang=280 |tijdschrift=Mathematische Nachrichten |datum=2007-05 |taal=en |nummer=7 |doi=10.1002/mana.200510512 |issn=0025-584X |pagina's=740–750 |last2=Oudet |first2=Édouard}}</ref>
* Zoals uit cirkels een reuleaux-driehoek geconstrueerd kan worden, kan uit [[Bol (lichaam)|bollen]] een [[reuleaux-tetraëder]] gemaakt worden met bolsegmenten die hun middelpunt in de tegenoverliggende snijpunten hebben. Zoals uit het voorgaande punt blijkt, heeft deze vorm echter ''geen'' constante breedte, al is de afwijking slechts iets meer dan een procent.
*De [[levensbloem]] (flower of life) is een visueel patroon met zesassige symmetrie, dat opgebouwd wordt vanuit twee cirkels die door elkaars middelpunt lopen, zoals bij het construeren van een gelijkzijdige driehoek. Door elk van de snijpunten worden zes gelijke cirkels getrokken en het ontstane patroon kan naar believen uitgebreid worden. Elke ring van drie lensvormige delen is een reuleaux-driehoek.▼
*[[omwentelingslichaam|Omwentelingslichamen]] van de reuleaux-driehoek over een [[symmetrieas]] hebben wel een constante breedte.
*[[Ernst Meißner]] presenteerde in 1911 een viervlak dat gebaseerd is op de reuleaux-tetraëder. Daarvan verving hij drie ribben door omwentelingslichamen van de cirkel; het resultaat heeft een constante breedte, maar is geen omwentelingslichaam. Er zijn twee varianten: de te vervangen bogen kunnen een zijde omvatten of van een hoekpunt uitgaan. De twee varianten staan bekend als de [[Meissner-tetrahedron|meissner-tetrahedrons]]<ref>{{Citeer web|url=http://demonstrations.wolfram.com/CurvesAndSurfacesOfConstantWidth/|titel=Curves and Surfaces of Constant Width - Wolfram Demonstrations Project|bezochtdatum=2020-11-24|auteur=|achternaam=|voornaam=|datum=|werk=demonstrations.wolfram.com|uitgever=|taal=en|archiefdatum=2020-10-22|archiefurl=https://web.archive.org/web/20201022071847/https://demonstrations.wolfram.com/CurvesAndSurfacesOfConstantWidth/|dodeurl=no}}</ref><ref>{{Citeer web|url=http://www.xtalgrafix.com/Spheroform.htm|titel=Reuleaux - Meissner|bezochtdatum=2020-11-27|auteur=|achternaam=Roberts|voornaam=Patrick|datum=2011-09-21|werk=www.xtalgrafix.com|uitgever=|taal=en|archiefdatum=2020-11-11|archiefurl=https://web.archive.org/web/20201111225840/http://www.xtalgrafix.com/Spheroform.htm|dodeurl=no}}</ref><ref>{{Citeer web |url=https://mathworld.wolfram.com/ |titel=Meissner Tetrahedra |achternaam=Weisstein |voornaam=Eric W. |bezochtdatum=2024-07-07 |werk=mathworld.wolfram.com |taal=en}}</ref> of meissner-lichamen.
*Sinds 2024 is er een formule bekend voor gegeneraliseerde reuleaux-driehoeken in hogere dimensies. Ten opzichte van de triviale [[Sfeer (wiskunde)|n-sferen]] van dezelfde breedte is het volume hoogstens 0,9n, zodat de volumefactor exponentieel kleiner wordt bij een toenemend aantal dimensies.<ref>{{Citeer web |url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-shapes-to-solve-decades-old-geometry-problem-20240920/ |titel=Mathematicians Discover New Shapes to Solve Decades-Old Geometry Problem |achternaam=Barber |voornaam=Gregory |datum=2024-09-20 |bezochtdatum=2024-09-22 |werk=Quanta Magazine |taal=en}}</ref><ref>{{Citeer web |url=https://interestingengineering.com/science/constant-width-shape-any-dimensions |titel=Unique shape maintains constant width irrespective of dimensions |achternaam=Mishra |voornaam=Prabhat Ranjan |datum=2024-06-21 |bezochtdatum=2024-09-22 |werk=Interesting Engineering |taal=en}}</ref><ref>{{Citeer web |url=https://arxiv.org/pdf/2405.18501 |titel=Small volume bodies of constant width |achternaam=Arman |voornaam=Andrii |medeauteurs=Bondarenko, Andriy; Prymak, Andriy;. Radchenko, D. |datum=2024-05-28 |bezochtdatum=2024-09-22 |werk=[[arXiv]] |uitgever=[[Cornell-universiteit]] |taal=en}}</ref> De factor 0,9 is geen ondergrens; meissner-lichamen zijn een fractie kleiner.
▲*De [[levensbloem]] (flower of life) is een visueel patroon met zesassige symmetrie, dat opgebouwd wordt vanuit twee cirkels die door elkaars middelpunt lopen, zoals bij het construeren van een gelijkzijdige driehoek. Door elk van de snijpunten worden zes gelijke cirkels getrokken en het ontstane patroon kan naar believen uitgebreid worden. Elke ring van drie lensvormige delen is een
* Ten onrechte wordt wel gesteld dat de rotor van een [[wankelmotor]] een reuleaux-driehoek zou zijn. De rotor heeft iets vlakkere zijden die niet per se cirkelsegmenten zijn.<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal |last1=Pisnoy |first1=Shimon |title=Numerical Investigation of the Combined Influence of Three-Plug Arrangement and Slot Positioning on Wankel Engine Performance |journal=Energies |date=2021-02-20 |volume=14 |pages=1130 |doi=10.3390/en14041130 |last2=Tartakovsky |first2=Leonid}}</ref>
== Geschiedenis==
[[Bestand:Leonardo da Vinci’s Mappamundi.jpg|
[[Bestand:Reuleaux triangle shaped windows of Groot Vleeshuis, Ghent.jpg |miniatuur |[[Maria met de inktpot]], boven de ingang van het Gentse [[Groot Vleeshuis]] aan de kant van de Vleeshuisbrug en de Kleine Groentenmarkt|alt=Nis met Maria met de inktpot, een Mariabeeld boven de ingang van het Groot Vleeshuis in Gent. Aan weerszijden vensters in de vorm van reuleaux-driehoeken.]]
=== Studie ===
Hoewel de polygonen genoemd zijn naar de Duitse ingenieur [[Franz Reuleaux]] (1829 – 1905), was hij niet de eerste die ze behandelde: [[Leonhard Euler|Euler]] schreef in 1774<ref>Gepubliceerd in 1781. Verzameld werk, E513: {{Citeer tijdschrift|achternaam=Euler|voornaam=Leonhard|url=https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1512&context=euler-works|titel=De curvis triangularibus|tijdschrift=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|datum=1781-01-01|pagina's=3–30|uitgever=Euler Archive|taal=la|access-date=2020-12-01|archiefdatum=2020-08-18|archiefurl=https://web.archive.org/web/20200818212811/https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1512&context=euler-works|dodeurl=no}}</ref> al een [[Wiskunde|wiskundige]] verhandeling over vormen met constante breedte, die hij ''orbiformes'' noemde, een naam die als ''orbiforms'' nog steeds in gebruik is. Versies in hogere dimensies worden ''spheroforms'' genoemd.
De [[Werktuigbouwkunde|werktuigbouwkundige]] Reuleaux legde andere accenten: hij bestudeerde mechanieken voor het omzetten van bewegingen en wordt beschouwd als de grondlegger van de moderne [[kinematica]]. In zijn boek ''Theoretische Kinematik, Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens''<ref>{{Citeer boek|titel=Theoretische kinematik: Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens|auteurlink=Franz Reuleaux|auteur=|medeauteurs=|voornaam=Franz|achternaam=Reuleaux|taal=de|url=https://books.google.nl/books?id=L2USAAAAIAAJ&hl=nl&pg=PA130#v=onepage&q&f=true|uitgever=F. Vieweg und Sohn|datum=1875|pagina's=p. 130 en verder|ISBN=|bezochtdatum=2020-12-01}}</ref> legde hij de nadruk op toepasbaarheid en beschreef hij enkele eigenschappen van de uit cirkelsegmenten opgebouwde driehoek, in het bijzonder de consequenties van de constante breedte.
In de twintigste eeuw heeft [[Hermann Minkowski]] over de lichamen met constante breedte belangrijke bijdragen geleverd in zijn verhandeling ''Über die Körper konstanter Breite''.<ref>{{Citeer boek|titel=Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski, unter mitwirkung von Andreas Speiser und Hermann Weyl hrsg. von David Hilbert.|auteurlink=|auteur=H. (Hermann) Minkowski|medeauteurs=|taal=de|url=https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAT3434.0002.001?rgn=main;view=fulltext|uitgever=[https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath?page=home University of Michigan Historical Math Collection]|datum=2005|pagina's=p. 277|ISBN=|hoofdstuk=Über die Körper konstanter Breite. (Hoofdstuk XXVII)|hoofdstukurl=https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAT3434.0002.001/284}}</ref><ref>{{Citeer journal|last=Goldberg|first=Michael|date=1960|title=Rotors in Polygons and Polyhedra|journal=Mathematics of Computation|volume=14|issue=71|pages=229–239|issn=0025-5718|doi=10.2307/2003162|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1960-14-071/S0025-5718-1960-0115132-8/S0025-5718-1960-0115132-8.pdf|accessdate=2020-12-01|jstor=2003162|taal=en|archiefdatum=2018-07-26|archiefurl=https://web.archive.org/web/20180726005856/https://www.ams.org/journals/mcom/1960-14-071/S0025-5718-1960-0115132-8/S0025-5718-1960-0115132-8.pdf|dodeurl=no}}</ref>
=== Kunst, cultuur en vormgeving ===
Bij visuele uitingen met opbollende driehoeken is niet altijd duidelijk of het reuleaux-driehoeken zijn; een aantal van de volgende voorbeelden is op het oog als reuleaux aangeduid.
In [[ornament]]en en [[vlakverdeling]]en komt de later naar Reuleaux genoemde driehoek al meer dan duizend jaar voor, zoals in een [[Feniciërs|Fenicisch]] [[mozaïek]] uit de 9e eeuw.<ref>{{Citeer web|url=https://www.wolframscience.com/nks/p43--why-these-discoveries-were-not-made-before/|titel=Why These Discoveries Were Not Made Before: A New Kind of Science {{!}} Online by Stephen Wolfram [Page 43]|bezochtdatum=2020-11-27|werk=www.wolframscience.com|taal=en|archiefdatum=2020-12-04|archiefurl=https://web.archive.org/web/20201204175631/https://www.wolframscience.com/nks/p43--why-these-discoveries-were-not-made-before/|dodeurl=no}}</ref> De reuleaux-driehoek is vaak onderdeel van een groter geheel, doordat hij vanzelf opduikt bij de overlappende cirkels zoals gebruikt worden bij het construeren van een gelijkzijdige driehoek. Daardoor is de reuleaux-driehoek een van de vormen in de [[levensbloem]], vaak aangeduid met de Engelse benaming ''flower of life''. Deze figuur is opgebouwd uit cirkels die overlappen in een patroon met zestallige symmetrieën.
Levensbloemen zijn als inscriptie aangetroffen in [[Qurna]], op pilaren van het ''Osireion'', dat deel uitmaakt van de [[Tempel van Seti I (Koerna)|dodentempel van farao Seti I]], maar het is onaannemelijk dat de inscripties gemaakt zijn bij de bouw van het complex. In de [[oud-Egyptische kunst]] kwamen geometrische motieven nauwelijks zelfstandig voor en bovendien zijn er Griekse letters aangetroffen bij de inscriptie. De ouderdom is onduidelijk, mogelijk van na het begin van de christelijke jaartelling.
▲=== Kinematica ===
De reuleaux-driehoek was bekend bij [[Leonardo da Vinci]], die hem onder andere gebruikte voor een schetsmatige [[wereldkaart]] in [[octantprojectie]] uit 1514 in de [[Codex Atlanticus]]; de acht stukken kunnen naar elkaar gebogen worden voor een ruwe benadering van de [[Aarde (planeet)|aardbol]]. Mogelijk is deze kaart echter niet van de meester zelf, maar afkomstig uit zijn atelier; wel is een voorloper van deze projectie te zien in een ruwe schets uit circa 1508, waarin da Vinci's hand duidelijk is.<ref name="Tyler">{{Citeer journal| last=Tyler| first=C.W.| title=Leonardo da Vinci's World Map| journal=Journal of the International Map Collector's Society| date=2017| accessdate=2020-12-01| issue=149 Summer| pages=21–31| authorlink=Christopher Tyler| url=http://christophertyler.org/CWTyler/Art%20Investigations/ART%20PDFs/LeonardoWorldMap2014.pdf| taal=en| archiefdatum=2017-03-01| archiefurl=https://web.archive.org/web/20170301042907/http://christophertyler.org/CWTyler/Art%20Investigations/ART%20PDFs/LeonardoWorldMap2014.pdf| dodeurl=no}}</ref> Een eeuw later, omstreeks 1616, gebruikte [[Nicolaes van Geelkercken]] een vergelijkbare projectie. In gebouwen komt hij voor in [[Mozaïek|mozaïeken]] en als onderdeel van vensterverdelingen. Voorbeelden van zelfstandig gebruik zijn vensters in de [[Onze-Lieve-Vrouwekerk (Brugge)|Onze-Lieve-Vrouwekerk]] van Brugge en het [[Groot Vleeshuis]] in [[Gent]].
==== Logo's ====
* Een vorm van gelijke breedte wordt in het Duits wel aangeduid als een ''Gleichdick''. Een webshop biedt onder die [[merknaam]] rokersbenodigdheden aan in de vorm van reuleaux-driehoeken, waaronder [[Asbak (hoofdbetekenis)|asbakken]] en kruidensnijders voor [[Cannabis (drug)|cannabis]]. Ook het logo heeft deze vorm.<ref>{{Citeer web|url=https://gleichdick.at/|titel=gleichdick. Grinder und Raucherzubehör|bezochtdatum=2020-12-01|werk=gleichdick. Grinder und Raucherzubehör|taal=de|archiefdatum=2020-12-01|archiefurl=https://web.archive.org/web/20201201105530/https://gleichdick.at/|dodeurl=no}}</ref>
* Het automerk [[Lancia]] heeft op de auto's merk-emblemen gebruikt in de vorm van een reuleaux-driehoek.
== Externe
* {{aut|Eric W. Weisstein}} :
* {{Citeer web |url=https://demonstrations.wolfram.com/ArbitraryCurvesOfConstantWidth/ |titel=Arbitrary Curves of Constant Width - Wolfram Demonstrations Project |werk=demonstrations.wolfram.com}} Curven van constante breedte, interactief geconstrueerd met driehoeken.
* {{Citeer web| url = https://old.etudes.ru/data/flv/EtudesRu_wheel-inventing.mp4| titel = Animatie van een kar op reuleaux-wielen}} met compensatiemechanisme voor de baan die het middelpunt van een reuleaux-wiel doorloopt<ref>Te vinden op {{Citeer web|url=http://old.etudes.ru/en/etudes/wheel-inventing/|titel=Inventing the wheel|bezochtdatum=2020-12-01|auteur=JJam|werk=Mathematical Etudes|taal=en|archiefdatum=2021-08-29|archiefurl=https://web.archive.org/web/20210829191351/https://old.etudes.ru/en/etudes/wheel-inventing/|dodeurl=no}} Ook in {{ru}}, {{fr}} en {{it}}.</ref>
{{Appendix|2=
| |||