Hyperbolische functie

De hyperbolische functies: sinh, cosh and tanh

Een rechte lijn dooe de oorsprong snijdt de hyperbool x² - y² = 1 in het punt ( cosh(a), sinh(a) ), waarbij de hyperboolhoek a het oppervlak is tussen de rechte lijn, het spiegelbeeld van de rechte lijn ten opzichte van de x-as, en de hyperbool (zie de animatie voor een vergelijking met de goniometrische functies).

In de wiskunde wordt gebruik gemaakt van een aantal hyperbolische functies, de drie meest voorkomende zijn :

• Cosinus hyperbolicus ("cosh")
• Sinus hyperbolicus ("sinh")
• Tangens hyperbolicus ("tanh")

Het lijstje wordt vervolledigd door:

• Secans hyperbolicus ("sech")
• Cosecans hyperbolicus ("csch")
• Cotangens hyperbolicus ("coth")

Er is een sterke analogie tussen de hyperbolische- en de goniometrische functies, wat de namen verklaart.

Verder hebben hyperbolische en goniometirsche functies vergelijkbare somformules. Net zoals bij de goniometrische functies bestaan er inverse hyperbolische functies. De inverse van de sinus hyperbolicus wordt genoteerd als arcsinh (lees: arcsinus hyperbolicus).

De hyperbolische functies houden verband met de hyperbool op een vergelijkbare manier als de goniometrische functies verband houden met de cirkel. Net zoals de punten A = (cos(a),sin(a)) de eenheidscirkel vormen, vormen de punten B = (cosh(t),sinh(t)) een hyperbool. De variabele t wordt de hyperboolhoek genoemd.

Definitie

De cosinus hyperbolicus ("cosh") en sinus hyperbolicus ("sinh") zijn gedefinieerd als:

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

In de goniometrie kunnen de tangens, secans, cosecans en cotangens worden berekend uit de cosinus en sinus. Dit gaat bij de hyperbolische functies op dezelfde manier:

${\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}&&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\\operatorname {sech} (x)&={\frac {1}{\cosh(x)}}&&={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}\\\operatorname {csch} (x)&={\frac {1}{\sinh(x)}}&&={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}\\\coth(x)&={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}&&={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\end{aligned}}$

Toepassingen

• Een touw dat opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook de kettinglijn genoemd.
• Differentiaalvergelijkingen, oplossingen van $y''=y\,$ zijn van de vorm $y(x)=C_{1}\cosh(x)+C_{2}\sinh(x){\frac {}{}}$
• Koeltorens hebben de vorm van een (kwartslag gedraaide) cosinus hyperbolicus.

Ontwikkeling in reeksen

${\begin{aligned}\sinh(x)&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cosh(x)&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\\tanh(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth(x)&={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots &&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,(x)&={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots &&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}$

met:

$B_{n}\,$ het n-de Bernoulligetal,

$E_{n}\,$ het n-de Eulergetal

Relatie tussen hyperbolische en goniometrische functies

Met behulp van complexe getallen vinden we:

${\begin{aligned}\sinh(x)&=&-i&\;\sin(ix)\\\cosh(x)&=&&\;\cos(ix)\\\tanh(x)&=&-i&\;\tan(ix)\\\coth(x)&=&i&\;\cot(ix)\\\operatorname {sech} (x)&=&&\;\operatorname {sec} (ix)\\\operatorname {csch} (x)&=&i&\;\operatorname {csc} (ix)\end{aligned}}$

waarbij we opmerken dat i ² = -1.

Eigenschappen

Identiteiten

$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\,$

Negatief argument

De cosinus hyperbolicus is een even functie, terwijl de sinus hyperbolicus een oneven functie is:

${\begin{aligned}\cosh(-x)&=&\cosh(x)\\\sinh(-x)&=-&\sinh(x)\end{aligned}}$

En voor de andere functies geldt:

${\begin{aligned}\tanh(-x)&=-&\tanh(x)\\\operatorname {sech} (-x)&=&\operatorname {sech} (x)\\\operatorname {csch} (-x)&=-&\operatorname {csch} (x)\end{aligned}}$

Somformules

$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cdot \cosh(y)+\cosh(x)\cdot \sinh(y)\,$

$\cosh(x+y)=\cosh(x)\cdot \cosh(y)+\sinh(x)\cdot \sinh(y)\,$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot \tanh(y)}}$

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cdot \cosh(x)\,$

$\cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)=2\cosh ^{2}(x)-1=2\sinh ^{2}(x)+1\,$

$\cosh(x)+\sinh(x)=e^{x}\,$

$\cosh(x)-\sinh(x)=e^{-x}\,$

Afgeleiden

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\cosh(x))=\sinh(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\sinh(x))=\cosh(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\tanh(x))=1-\tanh ^{2}(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}$

Omrekentabel

Functie	$\sinh$	$\cosh$	$\tanh$	$\coth$
$\sinh(x)=$		$\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}$	${\frac {\tanh(x)}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}$	${\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}$
$\cosh(x)=$	$\,{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}$		$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}$
$\tanh(x)=$	$\,{\frac {\sinh(x)}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}{\cosh(x)}}$		$\,{\frac {1}{\coth(x)}}$
$\coth(x)=$	$\,{\frac {\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}{\sinh(x)}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\cosh(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}$	$\,{\frac {1}{\tanh(x)}}$