Reuleaux-driehoek
Een Reuleaux-driehoek [ʁœlo] is een figuur gevormd uit de doorsnijding van drie cirkels, elk met zijn middelpunt op een snijpunt van de andere twee. De driehoek behoort tot de Reuleaux-polygonen, oneven veelhoeken waarvan de zijden bestaan uit cirkelsegmenten met het middelpunt op een overstaand snijpunt.[1]
De rand van deze driehoek is een curve met constante breedte, de eenvoudigste en bekendste curve met deze eigenschap, behalve de cirkel zelf. 'Constante breedte' betekent dat de afstand van elk tweetal parallelle steunlijnen hetzelfde is.
Eigenschappen en toepassingen
De Reuleaux-driehoek is te construeren met alleen een passer, zie bij gelijkzijdige driehoek. Omdat de diameters van Reuleaux-polygonen overal even groot zijn, beantwoorden ze de vraag: in welke vorm, behalve een cirkel, kan een putdeksel worden gemaakt, zodat deze niet in het gat kan vallen?
Een andere eigenschap is, dat een glasplaat op rollende Reuleaux-polygonen steeds in contact blijft met al de polygonen.
Bij een Reuleaux-driehoek die op zijn punt staat, ligt het middelpunt echter hoger dan bij een driehoek die op een zij ligt, zodat de as van een 'Reuleaux-fietswiel' steeds op en neer zou gaan, terwijl ook de voorwaartse beweging ongelijkmatig is.[2] Als een Reuleaux-driehoek op de plaats ronddraait, maakt het zwaartepunt dus een cirkelbeweging, wat in mechanische constructies tot onbalans kan leiden.
Hoekige gaten boren
Een boor die de buitenomtrek van een Reuleaux-driehoek heeft, kan gebruikt worden om 'vierkante' gaten te boren. Hiervoor moet de boor op een excentriekconstructie gemonteerd worden; de beweging van de boor is vergelijkbaar met een Reuleaux-driehoek die afrolt langs de binnenzijde van een vierkant. Het middelpunt van de driehoek doorloopt een kromme die niet helemaal cirkelvormig is, maar bestaat uit vier gelijke ellipssegmenten. Een boor die zuiver als Reuleaux-driehoek uitgevoerd is, snijdt 98,77% van het gat uit: de hoeken zijn iets afgerond.[3][1]
De Engelse Amerikaan[4] Harry Watts ontwierp in 1914 een boor die op de Reuleaux-driehoek gebaseerd is. In september 1917 kreeg Watts octrooi op zijn mechanisme voor het boren voor veelhoekige gaten.[4] Hij produceerde ook boren voor vijf-, zes- en achthoekige gaten. De boren van de Watts Brothers Tool Works wijken iets af van de Reuleaux-driehoek, waardoor ze de hoeken van het vierkant wat beter uitboren.[5]
Verwante en gelijkende vormen
- Van het viervlak kan een driedimensionale Reuleaux-variant gemaakt worden door bolsegmenten te gebruiken in plaats van cirkelsegmenten. Deze heeft geen constante breedte, maar er bestaan wel viervlakken met constante breedte: de twee Meissner-tetrahedrons , in 1911 gepresenteerd door Ernst Meißner.[6][7][8][9]
- De levensbloem (flower of life) is een visueel patroon met zesassige symmetrie, dat opgebouwd wordt vanuit twee cirkels die door elkaars middelpunt lopen, zoals bij het construeren van een gelijkzijdige driehoek. Door de snijpunten trekt men in totaal zes gelijke cirkels en breidt het patroon naar believen uit. Elke ring van drie lensvormige delen is een Reuleaux-driehoek.
- De rotor van een wankelmotor lijkt op een Reuleaux-driehoek, maar heeft iets vlakkere zijden.[1]
Geschiedenis
De driehoek is genoemd naar Franz Reuleaux (1829 – 1905), een Duits ingenieur die beschouwd wordt als de grondlegger van de moderne kinematica, die mechanieken voor het omzetten van bewegingen bestudeerde. In zijn boek Theoretische Kinematik, Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens beschreef hij enkele eigenschappen van de uit cirkelsegmenten opgebouwde driehoek, in het bijzonder de consequenties van de constante breedte.
In ornamenten komt de naar Reuleaux genoemde driehoek echter al vele eeuwen voor. Dat is vaak als onderdeel van een groter geheel, doordat hij vanzelf opduikt bij de overlappende cirkels die men gebruikt bij het construeren van een gelijkzijdige driehoek. Daardoor komt hij voor in de levensbloem, (flower of life), een figuur die opgebouwd is uit cirkels die overlappen in een zeshoekig patroon. Levensbloemen zijn als inscriptie aangetroffen in Qurna, op pilaren van het Osireion, dat deel uitmaakt van de dodentempel van farao Seti I, maar het is onaannemelijk dat de inscripties gemaakt zijn bij de bouw van het complex. In de oud-Egyptische kunst kwamen geometrische motieven nauwelijks zelfstandig voor en bovendien zijn er Griekse letters aangetroffen bij de inscriptie. De ouderdom is onduidelijk, mogelijk pas van na het begin van de christelijke jaartelling. In Fenicische kunst uit de 9e eeuw komt de levensbloem ook voor.[10]
De driehoek was bekend bij Leonardo da Vinci, die hem gebruikte om de aardbol op het platte vlak te tekenen. In gebouwen komt hij voor in mozaïeken en als onderdeel van vensterverdelingen. Een voorbeeld van zelfstandig gebruik zijn vensters in de Onze-Lieve-Vrouwekerk van Brugge die uit drie boogsegmenten opgebouwd zijn.
Externe link
- Eric W. Weisstein: Reuleaux Triangle. Op: MathWorld -- A Wolfram Web Resource
- Dit artikel, of een eerdere versie ervan, is een vertaling van Reuleaux triangle op DBpedia, dat valt onder CC BY-SA 3.0.
- ↑ a b c Voor de vorm. De Ingenieur. KIVI (19 maart 2018). Geraadpleegd op 24 november 2020.
- ↑ (en) Reuleaux Triangle Bearing - is it possible? (14 juli 2017). Geraadpleegd op 24 november 2020. – Het betreffende fragment begint op 3'32''
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, Reuleaux Triangle. mathworld.wolfram.com. Geraadpleegd op 24 november 2020.
- ↑ a b (en) Patent Images. Geraadpleegd op 25 november 2020.
- ↑ (en) Drilling Square Holes with a Reuleaux Triangle. DO IT: Projects, Plans, and How-tos (4 oktober 2011). Geraadpleegd op 24 november 2020.
- ↑ (en) Reuleaux Triangle Bearing - is it possible? (14 juli 2017). Geraadpleegd op 24 november 2020.
- ↑ (en) Curves and Surfaces of Constant Width - Wolfram Demonstrations Project. demonstrations.wolfram.com. Geraadpleegd op 24 november 2020.
- ↑ (en) Roberts, Patrick, Reuleaux - Meissner. www.xtalgrafix.com (21 september 2011). Geraadpleegd op 27 november 2020.
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, Meissner Tetrahedron. mathworld.wolfram.com. Geraadpleegd op 26 november 2020.
- ↑ (en) Why These Discoveries Were Not Made Before: A New Kind of Science | Online by Stephen Wolfram [Page 43]. www.wolframscience.com. Geraadpleegd op 27 november 2020.