Partielle differensialligninger

Partielle differensialligninger er en type differensialligning som inneholder en ukjent funksjon (eller funksjoner) av flere uavhengige variabler og funksjonens partiellderiverte med hensyn på disse variablene. Partielle differensialligninger anvendes til å formulere og bidra til løsningen av problemer som inneholder flere variabler; spredning av lyd eller varme, elektrostatikk, elektrodynamikk, fluidmekanikk, elastisitet med flere. Et interessant poeng er at tilsynelatende veldig forskjellige fysiske fenomener kan baseres på den samme matematiske formuleringen og dermed være styrt av akkurat samme dynamikk.

Introduksjon

En enkel differensialligning er

${\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0\,.$

Denne relasjonen impliserer at verdiene u(x,y) er uavhengige av x. Dette betyr at den generelle løsningen av ligningen er

$u(x,y)=f(y),\,$

hvor f er en vilkårlig funksjon av y. En analog ordinær differensialligning er

${\frac {du}{dx}}=0\,$

som har løsningen

$u(x)=C,\,$

hvor C er en vilkårlig konstant verdi (uavhengig av x). Disse to eksemplene viser at generelle løsninger av ordinære differensialligninger inneholder vilkårlige konstanter, mens løsninger av partielle differensialligninger inneholder vilkårlige funksjoner. En løsning av en partiell differensialligning er generelt ikke unik. Typisk må det spesifiseres randbetingelser på det topologiske området hvor løsningen er definert. Ta eksemplet ovenfor: her kan funksjonen $f(y)$ bestemmes fullstendig hvis $u$ spesifiseres på linjen $x=0$.

Eksistens og entydighet

Problemet rundt eksistens og entydighet av løsningen av ordinære differensialligninger gis et tilfredsstillende svar av Picard-Lindelöfs teorem; dette er langt fra sannheten når man studerer partielle differensialligninger. Cauchy-Kovalevskaya-teoremet sier at Cauchy-problemet for en partiell differensialligning som er analytisk i den ukjente funksjonen og dens deriverte, har en entydig analytisk løsning. Selv om dette tilsynelatende fastslår eksistens og entydighet av løsningene, så fins det eksempler på lineære partielle differensialligninger hvis koeffisienter har deriverte av alle ordener, men som ikke har noen løsning overhodet. Se Lewy (1957).

Selv om løsningen av en partiell differensialligning eksisterer og er unik, kan den ha uønskede egenskaper. Et eksempel på patologisk oppførsel er rekken av Cauchyproblemer (avhengig av n) til Laplace-ligningen

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,$

med initialbetingelser

$u(x,0)=0,\,$

${\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,$

hvor n er et heltall. Den deriverte av u med hensyn på y går mot 0 uniformt i x mens n øker, men løsningen er

$u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,$

Denne løsningen går mot uendelig hvis nx ikke er et heltallsmultiplum av π for enhver verdi av y forskjellig fra null. Cauchyproblemet for Laplaceligningen kalles dårlig formulert (eng: not well posed), siden løsningen ikke avhenger kontinuerlig av dataene til problemet. Slike dårlig formulerte problemer har vanligvis ikke en tilfredsstillende anvendelse til fysiske problemstillinger.

Notasjon

For PDLer er det vanlig å benytte senket skrift for å angi de partiellderiverte. Det vil si:

$u_{x}={\partial u \over \partial x}$

$u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right).$

Spesielt i matematisk fysikk foretrekkes ofte nabla-operator som i kartesiske koordinater skrives

$\nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})\,$ for romlig deriverte.

For tidsderiverte brukes gjerne en prikk ${\dot {u}}\,$, men senket skrift brukes også. Man skriver da bølgeligningen (se nedenfor) slik

${\ddot {u}}=c^{2}\triangle u.\,$ (matematisk notasjon)

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=u_{tt}=c^{2}\nabla ^{2}u.\,$ (fysisk notasjon)

Eksempler

Varmeligningen i én romlig dimensjon

Ligningen for spredning av varme i én dimensjon for et homogent legeme er gitt som

$u_{t}=\alpha u_{xx}\,$

hvor u(t,x) er temperatur, og α er en positiv konstant som beskriver raten til diffusjonen. Cauchy-problemet til denne ligningen består i å spesifisere $u(0,x)=f(x)$, hvor f(x) er en vilkårlig funksjon. Generelle løsninger av varmeligningen kan finnes ved hjelp av metoden separasjon av variabler. Ved å benytte Fouriertransformasjon finner man at løsningen av varmeligningen har formen

$u(t,x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\xi )e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{i\xi x}d\xi ,\,$

hvor F er en vilkårlig funksjon. For å oppfylle initialbetingelsene er F gitt ved Fouriertransformasjonen av f, dvs.

$F(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}\,dx.\,$

Hvis f er representert ved en veldig liten, men intens varmekilde, så kan det foregående integralet tilnærmes med deltafordelingen multiplisert med lengden av kilden. I tilfellet hvor kildens styrke er normalisert til 1, er resultatet

$F(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,$

og løsningen på varmeligningen blir da

$u(t,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{i\xi x}d\xi .\,$

Dette er et gaussisk integral som kan løses og gir

$u(t,x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right).\,$

Resultatet er det samme som normalfordelingen for x med forventning 0 og varians 2αt. Varmeligningen og tilsvarende diffusjonsligninger er nyttige verktøy i studiet av tilfeldige fenomener.

Bølgeligningen i én romlig dimensjon

I bølgeligningen skal den ukjente funksjonen u(t, x) tilfredsstille følgende ligning

$u_{tt}=c^{2}u_{xx}.\,$

Her angir u forflytningen av en strukket fjær fra likevekt, trykkforskjellen i et rør, eller størrelsen på et elektromagnetisk felt i et rør, og konstanten c er et tall som forteller noe om hastigheten til bølgen. Cauchy-problemet for denne ligningen består i å beskrive den opprinnelige forflytningen og hastigheten av en fjær eller et annet medium:

$u(0,x)=f(x),\,$

$u_{t}(0,x)=g(x).\,$

Her er f og g vilkårlige gitte funksjoner. Løsningen på problemet er gitt ved d’Alemberts formel

$u(t,x)={\frac {1}{2}}\left[f(x-ct)+f(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(y)\,dy.\,$

Formelen impliserer at løsningen i punktet (t,x) kun avhenger av dataene på segmentet av startlinjen som kuttes ut av de karakteristiske kurvene

$x-ct={\hbox{constant,}}\quad x+ct={\hbox{constant}},\,$

som trekkes bakover fra det punktet. Disse kurvene tilsvarer signaler som propagerer med en hastighet c forover og bakover.

Omvendt, innflytelsen av dataene i et vilkårlig punkt på startlinjen propagerer med den endelige hastigheten c: det er ingen effekt på utsiden av et triangel gjennom punktet hvis sider er karakteristiske kurver. Denne oppførselen er svært forskjellig fra løsningen av varmeligningen hvor effekten av en punktkilde forekommer øyeblikkelig i ethvert punkt i rommet. Løsningen gitt over gjelder også hvis t er negativ og den eksplisitte formelen viser at løsningen har en glatt avhengighet i forhold til dataene: Cauchy-problemet for bølgeligningen er velformulert både forover og bakover for bølgeligningen.

Sfæriske bølger

Dette er bølger hvor amplituden kun avhenger av den radielle distansen r fra en sentral punktkilde. For slike bølger ser den tredimensjonale bølgeligningen slik ut

$u_{tt}=c^{2}\left[u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right].\,$

Dette er ekvivalent til

$(ru)_{tt}=c^{2}\left[(ru)_{rr}\right],\,$

hvilket betyr at størrelsen ru oppfyller den 1-dimensjonale bølgeligningen. En generell løsning for sfæriske bølger har derfor formen

$u(t,r)={\frac {1}{r}}\left[F(r-ct)+G(r+ct)\right],\,$

hvor F og G er helt vilkårlige funksjoner. Stråling fra en antenne tilsvarer tilfellet med G identisk lik 0. Bølgefronten som sendes fra antennen har altså ingen forvrengning i tid: den eneste forvrengningsfaktoren er 1/r. Dette særpreget av uforstyrret propagering til bølger er ikke å finne igjen i to dimensjoner.

Laplaceligningen i to dimensjoner

Laplace-ligningen for en ukjent funksjon av to variabler har denne formen:

$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.$

Løsninger av denne ligningen kalles harmoniske funksjoner

Sammenheng med holomorfe funksjoner

Løsninger av Laplace-ligningen i to dimensjoner er nært knyttet til analytiske funksjoner med en kompleks variabel (kjent som holomorfe funksjoner). De reelle og imaginære delene av en analytisk funksjon er konjugert harmoniske funksjoner. De oppfyller begge Laplaceligningen og gradientene deres er ortogonale. Hvis f=u+iv, så sier Cauchy–Riemanns ligninger at

$u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y},\,$

og det følger at

$u_{xx}+u_{yy}=0,\quad v_{xx}+v_{yy}=0.\,$

Omvendt, for en vilkårlig harmonisk funksjon i to dimensjoner så er den realdelen til en analytisk funksjon, i det minste lokalt. Se Laplace-ligningen for detaljer.

Et typisk randverdiproblem

Man ønsker å finne en løsning som tilfredsstiller vilkårlige verdier på randen av et område. Det søkes for eksempel etter en harmonisk funksjon som har verdiene u(θ) på enhetssirkelen. Poisson fant følgende løsning

$\varphi (r,\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(\theta -\theta ')}}u(\theta ')d\theta '.\,$

Petrovsky (1967, p. 248) viser hvordan denne formelen oppnås ved å summere Fourierrekken til φ. Hvis r < 1, kan den deriverte av φ beregnes ved å derivere under integraltegnet. Det kan også verifiseres at φ er analytisk selv om u er kontinuerlig, men ikke nødvendigvis deriverbar. Dette er typisk for løsninger av elliptiske PDLer: løsningen er vesentlig glattere enn randdataene. Dette skiller seg fra løsningene av bølgeligningen, og mer generelle hyperbolske PDLer som typisk ikke har flere deriverte enn data.

Euler-Tricomi ligningen

Euler-Tricomi ligningen brukes til å studere strømninger i nærheten av lydhastigheten.

$u_{xx}\,=xu_{yy}.$

Adveksjonsligningen

Denne beskriver transport av en bevart skalar $\psi$ i et hastighetsfelt ${\mathbf {u} }=(u,v,w)$. Det vil si:

$\psi _{t}+(u\psi )_{x}+(v\psi )_{y}+(w\psi )_{z}\,=0.$

Hvis hastighetsfeltet har egenskapen, $\nabla \cdot {\mathbf {u} }=0$, kan ligningen forenkles til

$\psi _{t}+u\psi _{x}+v\psi _{y}+w\psi _{z}\,=0.$

Den endimensjonale adveksjonsligningen for stabil strømning $\psi _{t}+u.\psi _{x}=0$ ($u$ konstant) blir vanligvis referert til som grisebingeproblemet. Hvis $u$ ikke er konstant og lik $\psi$, blir ligningen referert til som Burgers’ ligning.

Ginzburg-Landau-ligningen

Ligningen brukes i modelleringen av superledning.

$iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u\,=i\gamma u$

Her er $p,q\in \mathbb {C}$ og $\gamma \in \mathbb {R}$ konstanter og $i$ er den immaginære enheten.

Dyms ligning

Oppkalt etter Harry Dym og forekommer i studiet av solitoner.

$u_{t}\,=u^{3}u_{xxx}.$

Initial- og randverdiproblemer

Mange problemer i matematisk fysikk er formulert som initial- og randverdiproblemer.

Vibrerende streng

Hvis en svingende streng er strukket mellom to punkter x=0 og x=L, og u angir amplituden til forflytningen av strengen, så tilfredsstiller u den endimensjonale bølgeligningen i regionen 0<x<L og t er ubegrenset. Siden strengen er låst fast i endene, er også følgende randverdier oppfylt

$u(t,0)=0,\quad u(t,L)=0,\,$

i likhet med startverdiene

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x).\,$

Metoden for separasjon av variabler for bølgeligningen

$u_{tt}=c^{2}u_{xx},\,$

leder til løsningene

$u(t,x)=T(t)X(x),\,$

hvor

$T''+k^{2}c^{2}T=0,\quad X''+k^{2}X=0,\,$

og konstanten k må bestemmes. Randverdiene gir da at X er et multiplum av sin kx, og k må være på formen

$k={\frac {n\pi }{L}}.\,$

Her er n et heltall. Hert ledd i summen korresponderer til en bestemt vibrasjonsmodus av strengen. Modusen n=1 kalles den fundamentale, og frekvensen til de andre modiene er alle multiplum av denne. De danner overtonene til strengen, og de er grunnlaget for all musikalsk akustikk. Initialbetingelsene kan nå tilfredsstilles ved å representere f og g som uendelige summer av disse modiene. Blåseinstrumenter korresponderer til vibrasjoner av luftsøyler med en åpen og en lukket ende. Dette gir randbetingelsene

$X(0)=0,\quad X'(L)=0.\,$

Metoden med separasjon av variabler leder i dette tilfellet til en løsning som består av en rekke med odde overtoner.

Det generelle problemet av denne typen løses med Sturm-Liouville-teori.

Vibrerende membran

Hvis en membran strekkes over en kurve C som utgjør randen av et område D i planet, så styres vibrasjonene til denne av bølgeligningen

${\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},\,$

gitt at t>0 og (x,y) ligger inni området D. Randbetingelsene er $u(t,x,y)=0$ hvis $(x,y)$ ligger på kurven $C$. Metoden med separasjon av variabler leder til

$u(t,x,y)=T(t)v(x,y),\,$

som må tilfredsstille

${\frac {1}{c^{2}}}T''+k^{2}T=0,\,$

$v_{xx}+v_{yy}+k^{2}v=0.\,$

Den siste ligningen kalles Helmholtz’ ligning. Konstanten k må bestemmes for å kunne tillate en ikke-triviell v som kan oppfylle randbetingelsene på C. Disse verdiene av k² kalles egenverdiene til Laplaceoperatoren i D, og de assosierte løsningene er egenfunksjonene. Sturm-Liouville-teorien kan utvides til dette elliptiske egenverdiproblemet (Jost, 2002).

Det er ingen generelle metoder som kan anvendes for å løse ikkelineære PDLer. Likevel, eksistens og entydighetsresultater er ofte mulige, likeså bevis på viktige kvalitative og kvantitative egenskaper av løsningene. Enkelte ligninger har også beregnbare løsninger f.eks. den ikke-lineære Schrødingerligningen.

På tross av dette kan noen teknikker brukes på flere typer ligninger. h-prinsippet er den kraftigste metoden for å løse underbestemte ligninger. Riquier-Janet-teori er en effektiv metode for å finne informasjon om mange analytisk overbestemte systemer.

Karakteristikkmetoden, også kjent som similærtransformasjonsmetoden, kan brukes på noen svært spesielle tilfeller for å løse partielle differensialligninger.

I noen tilfeller kan en PDL bli løst via perturbasjonsanalyse hvor løsningen antas å være en korreksjon til en ligning med en kjent løsning. Alternativt kan en bruke teknikker fra numerisk analyse, fra enkle endelig-differanse-skjema til mer modne multigrid- og elementmetoder. Mange interessante problemer innen forskning og ingeniørvitenskap løses på denne måten med bruk av datamaskiner, gjerne superdatamaskiner.

Andre eksempler

Schrødingerligningen er en PDL i hjertet av ikke-relativistisk kvantemekanikk. I forbindelse med WKB-tilnærmingen gjenkjennes den som Hamilton-Jacobi-ligningen.

Med unntak av Dyms ligning og Ginzburg-Landau-ligningen er ligningene ovenfor lineære i den forstand at de kan skrives på formen Au = f for en gitt lineær operator A og en gitt funksjon f. Andre viktige ikke-lineære ligninger er Navier-Stokes-ligningene som beskriver væskebevegelse og Einsteins feltligninger knyttet til generell relativitet.

Klassifisering

Noen lineære andreordens partielle differensialligninger kan klassifiseres som parabolske, hyperbolske, ultrahyperbolske eller elliptiske. Euler-Tricomi-ligningen faller innenfor ulike klassifiseringer, avhengig av hvilket område man studerer/løser ligningen i. Klassifiseringen hjelper på å bestemme passende initial- og randbetingelser, og glattheten av løsningene.

Ligninger av annen orden

Under antakelsen $u_{xy}=u_{yx}$, har en generell andre-ordens PDL følgende form

$Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots =0,$

hvor koeffisientene A, B, C osv. kan være avhengige av x og y. Denne formen er analog til ligningen for et kjeglesnitt:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$

På samme måte som kjeglesnitt klassifiseres som parabolske, hyperbolske eller elliptiske avhengig av diskriminanten $B^{2}-4AC$, kan man også klassifisere en andre-ordens PDL i et gitt punkt.

1. $B^{2}-4AC\,<0$ : løsninger av elliptiske differensialligninger er så glatte som koeffisientene tillater i det indre av området hvor ligningen og løsningene er definert. For eksempel er løsningene av Laplaces ligning, analytisk i området hvor de er definert, men løsninger kan anta randverdier som ikke er glatte. Væskebevegelse under lydens hastighet kan tilnærmes med elliptiske PDLer, og Euler-Triconi ligningen er elliptisk hvor x<0.

1. $B^{2}-4AC=0\,$ : Ligninger som er parabolske i ethvert punkt kan transformeres til en form som er analog til varmeligningen ved hjelp av en transformasjon av uavhengige variabler. Løsningene glattes ut under propageringen av den transformerte tidsvariabelen. Euler-Triconi-ligningen er parabolsk for x=0.

1. $B^{2}-4AC\,>0$ : Hyperbolske ligninger tar vare på enhver diskontinuitet til funksjonene eller de deriverte til initialdataene. Bølgeligningen er et eksempel. Supersoniske væskebevegelser kan tilnærmes med hyperbolske PDLer, og Euler-Tricomi-ligningen er hyperbolsk for x>0.

Gitt n uavhengige variable x₁, x₂, ..., x_n, da har en generell lineær andreordens PDL formen:

$Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\hbox{ + lavere ordens ledd}}=0.\,$

Klassifikasjonen avhenger av fortegnene til egenverdiene til koeffisientmatrisen:

1. Elliptisk: Egenverdiene har alle samme fortegn, enten positivt eller negativt.
2. Parabolsk : Egenverdiene er alle positive eller alle negative, med unntak av én som er lik null.
3. Hyperbolsk: Det er kun én egenverdi som er negativ og resten er positive, eller omvendt.
4. Ultrahyperbolsk: Flere positive og negative egenverdier. Spesielt er ingen av egenverdiene null. Det er begrenset med teori på området (Courant og Hilbert, 1962).

Systemer av førsteordens ligninger og karakteristiske overflater

Klassifikasjonen av partielle differensialligninger kan utvides til systemer av førsteordens ligninger hvor den ukjente u blir en vektor med m elementer, og koeffisientmatrisene $A_{\nu }$ er mxm matriser for $\nu =1,\dots ,n$. Den partielle diffligningen blir da seende slik ut

$Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,\,$

hvor koeffesientmatrisene A_ν og vektoren B kan avhenge av x og u. Hvis en hyperoverflate S er gitt på den implisitte formen

$\varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\,$

hvor φ har en gradient forskjellig fra null, da er S en karakteristisk overflate for operatoren L i et gitt punkt hvis den karakteristiske formen forsvinner:

$Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.\,$

Den geometriske tolkningen av denne betingelsen er som følger: hvis data for u er gitt på overflaten S, så kan det være mulig å bestemme den normalderiverte av u på S fra differensialligningen. Hvis dataene på S og differensialligningen bestemmer den normalderiverte av u på S, så er S ikke-karakteristisk. Hvis dataene på S og differensialligningen IKKE bestemmer den normalderiverte av u på S, så er overflaten karakteristisk, og differensialligningen begrenser dataene på S: vi sier at den er intern til S.

1. Et førsteordens system Lu=0 er elliptisk hvis ingen overflate er karakteristisk for L: verdiene av u på S og differensialligningen bestemmer alltid den normalderiverte av u på S.
2. Et førsteordens system er hyperbolsk i et punkt hvis det fins en romlignende overflate S med normal ξ i punktet. Dette betyr at gitt en vilkårlig ikke-triviell vektor η ortogonal til ξ, og en skalar multiplikator λ, har ligningen

$Q(\lambda \xi +\eta )=0,\,$

m reelle røtter λ₁, λ₂, ..., λ_m. Systemet er strengt hyperbolsk hvis disse røttene alltid er forskjellige. Den geometriske tolkningen av denne betingelsen er: karakteristiske formen Q(ζ)=0 definerer en kjegle med homogene koordinater ζ. I det hyperbolske tilfellet har kjeglen m flater og aksen ζ = λ ξ går inni disse. (Den skjærer ingen av dem.) Men en forflytning η fra origo, medfører at den skjærer alle sammen. I det elliptiske tilfellet har ikke kjeglen noen reelle flater.

Blandede ligninger

Hvis en PDL har koeffisienter som ikke er konstanter, vil den sannsynligvis ikke kunne karakteriseres som en av typene ovenfor, men heller være av en blandet type. Et enkelt eksempel er den viktige Euler-Tricomi-ligningen

$u_{xx}\,=xu_{yy}$

som kalles elliptisk-hyperbolsk. Dette fordi den er elliptisk for x < 0, hyperbolsk for x > 0 og degenerert parabolsk på linjen x = 0;

Metoder for å løse PDLer

Separasjon av variabler

Metoden med separasjon av variabler gir spesielle løsninger av en lineær PDL på veldig enkle domener f.eks. rektangler som tilfredsstiller initial- eller randbetingelsene.

Bytte av variabler

En PDL kan ofte reduseres til en enklere form med en kjent løsning med et passende bytte av variabler. For eksempel er Black–Scholes-ligningen

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

mulig å redusere til varmeledningsligningen

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

med følgende variabelbytte (for komplette detaljer se løsning av Black Scholes ligningen):

$V(S,t)=Kv(x,\tau )\,$

$x=\ln(S/K)\,$

$\tau ={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)$

$v(x,\tau )=exp(-\alpha x-\beta \tau )u(x,\tau ).\,$

Superposisjonsprinsippet

Siden enhver superposisjon av løsninger av en lineær PDE igjen er en løsning, kan spesielle løsninger kombineres til å gi en mer generell løsning.

Fourierrekker

Hvis domenet er endelig eller periodisk, er det passende med en uendelig sum av løsninger slik som Fourierrekker. På uendelige domener må man generelt sett ty til Fourierintegral. Løsningen for en punktkilde for varmeligningen gitt ovenfor er et eksempel på bruk av et Fourierintegral.

Litteratur

• R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Wiley-Interscience, New York, 1962.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982.
• J. Jost, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2002.
• Hans Lewy (1957) An example of a smooth linear partial differential equation without solution. Annals of Mathematics, 2nd Series, 66(1),155-158.
• I.G. Petrovskii, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
• Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. ISBN 978-0-521-84886-2

Eksterne lenker

• (en) Partial differential equations – kategori av bilder, video eller lyd på Commons

Wikibøker: Partial Differential Equations – bøker

• Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example problems with solutions at exampleproblems.com
• Partial Differential Equations at mathworld.wolfram.com
• Dispersive PDE Wiki