Hipoteza continuum

Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Mówi ona, że nie ma pomiędzy nimi żadnej wielkości pośredniej. Innymi słowy, continuum to najmniejsza liczba nieprzeliczalna, co można zapisać symbolicznie:

$\aleph _{1}={\mathfrak {c}}.$

Hipotezę tę sformułował w XIX wieku Georg Cantor; znalazła się ona wśród problemów Hilberta, jako pierwsza na liście. W XX wieku udowodniono, że problem ten jest nierozstrzygalny dla standardowej teorii mnogości, tj. niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

Historia problemu

Hipoteza ta została postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora. Posługując się rozumowaniem przekątniowym, Cantor wykazał, że moc zbioru liczb naturalnych jest mniejsza niż moc zbioru liczb rzeczywistych, czyli:

$\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.$

W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być dalece nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma. Nie potrafił jej jednak udowodnić, co sprawiło, że zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.

W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermela-Fraenkla. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność, można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

Uogólnienie

Uogólniona hipoteza continuum (GCH, ang. generalized continuum hypothesis) to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego $A$ nie istnieje zbiór $B,$ którego moc byłaby większa od mocy zbioru $A,$ ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego $A.$ Uogólniona hipoteza continuum pociąga aksjomat wyboru. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie Jesienina-Wolpina:

Przy założeniu GCH dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda$ istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa $K$ ciężaru $\lambda$ o tej własności, że każda przestrzeń Banacha ciężaru $\lambda$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią liniową przestrzeni $C(K),$ tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na $K$ z normą supremum.

Bibliografia

• Wojciech Guzicki: Teoria mnogości [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1993. ISBN 83-214-0783-8.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Continuum Hypothesis, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].
• Continuum hypothesis (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
• PeterP. Koellner PeterP., Continuum Hypothesis, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 22 maja 2013, ISSN 1095-5054 [dostęp 2017-12-30]  (ang.). (Hipoteza continuum)
• Continuum hypothesis (ang.), Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].