Tensor metryczny

Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:

• za pomocą iloczynu skalarnego,
• za pomocą elementu liniowego.

W artykule opisano oba sposoby.

Wektory bazowe

Niech $x^{i},i=1,2,\dots ,n$ oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe), zdefiniowane na rozmaitości $M,$ przy czym $n$ jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

$e_{i}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n,$

gdzie ${\boldsymbol {x}}=(x^{1},\dots ,x^{n})$ jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określoną dla przestrzeni stycznej $TM_{x}$ w punkcie $x$ rozmaitości $M.$ (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt $x$” zamiast „punkt o wektorze wodzącym $x$”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metryczny

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa $M$ ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym $\varphi \colon M\times M\to K,$ gdzie $K=R$ lub $K=C$ (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:

$g_{ij}=e_{i}e_{j},\quad i,j=1,2,\dots ,n.$

Tensor ten ma więc $n\times n$ elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy $(g_{ij}),$ czyli:

$(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.$

Współrzędne $g_{ij}$ tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych $e_{i},e_{j}$ lokalnego układu współrzędnych.

Obniżanie/podnoszenie wskaźników

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny $g_{ij}$

$A_{i}=g_{ij}A^{j}$

– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie $j=1,\dots ,n.$

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor $g^{ij}{:}$

$A^{i}=g^{ij}A_{j}.$

Iloczyn skalarny dowolnych wektorów

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:

• $A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j},$
• $A\cdot B=A^{i}B_{i},$
• $A\cdot B=A_{i}B^{i},$

gdzie:

$g_{ij}$ – tensor metryczny,

$A^{i},B^{i}$ – współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów $A,B,$

$A_{i},B_{i}$ – współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów $A,B.$

Dla przestrzeni euklidesowej mamy: $g_{ii}=1,$ $g_{ij}=0.$ Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz

$A\cdot B=A^{i}B^{i}=A^{i}B_{i}=A_{i}B^{i}.$

Dowód:

• $e_{i}e_{j}=g_{ij}$ – wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy $e_{i},e_{j},$
• $A=\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i},$ $B=\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}$ – zapis wektorów $A,B$ w bazie $\{e_{i}\}.$

Stąd otrzymamy:

$A\cdot B=\left(\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\ e_{i}e_{j}A^{i}B^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}A^{i}B^{j}.$

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy:

$A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j}=A_{j}B^{j}=A^{i}B_{i},$ c.n.d.

Definicja tensora metrycznego przez element liniowy

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:

• kartezjański $\{x^{i}\}_{i=1}^{n},$
• krzywoliniowy $\{q^{i}\}_{i=1}^{n}.$

(2) Definiujmy element liniowy jako 

$ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}.$

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:

$x^{i}=x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n}),\ i=1,2,\dots ,n,$

gdzie $x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})$ – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja $x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})$ ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy

$dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}.$

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy

$ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{k}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}.$

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości 

$g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}$

(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)

$ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}.$

(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis

$ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}.$

(9) Uwaga:

Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny

$g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}$

jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy

$g_{jk}=e_{j}e_{k},\quad j,k=1,2,\dots ,n.$

Dowód:

Korzystając z definicji wektorów $e_{i},e_{j}$ i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy

$e_{j}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}$

$e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{l}^{n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}$

gdzie ${\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{l}$ – wersory układu kartezjańskiego, takie że ${\hat {x}}_{i}{\hat {x}}_{l}=\delta _{i,l}.$ Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się

$e_{j}e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}$

przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.

Iloczyn skalarny wektora $dx$

Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

• $e_{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial x^{i}}},\,\,i=1,\dots ,n$ – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej $x_{i}$,
• $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.

Ponieważ $(dx^{1},\dots ,dx^{n})=\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i},$ to kwadrat długości wektora $d\mathbf {x}$ wynosi:

$ds^{2}\equiv d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {x} \ d\mathbf {x} =,$

$=\left(\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}dx^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}e_{i}e_{j}\ dx^{i}dx^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}.$

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}.$

Własności tensora metrycznego

Symetryczność

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

$g_{ij}=g_{ji}.$

Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu $ds^{2}=\sum _{i=1}\sum _{j=1}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ dla każdej pary wskaźników $i,j$ mamy sumę dwóch wyrazów:

$g_{ij}dx^{i}dx^{j}+g_{ji}dx^{j}dx^{i}$ = $(g_{ji}+g_{ji})dx^{i}dx^{j}.$

Gdyby $g_{ij}\neq g_{ji},$ to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości $g_{ij}^{nowe}=g_{ji}^{nowe}={\frac {g_{ij}+g_{ji}}{2}}.$

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy $(g_{ij}),$ to implikuje to natychmiast, że tensor $g^{ij}$ jest symetryczny, tj.

$g^{ij}=g^{ji}.$

Symetria góra-dół

Z tensora $g_{ij}$ można otrzymać tensory $g_{\ j}^{i}$ oraz $g_{j}^{\ i}$ odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

$g_{\ j}^{i}=g^{ik}g_{kj},$

$g_{j}^{\ i}=g^{ki}g_{jk}.$

Ponieważ tensory $g_{ij}$ oraz $g^{ij}$ są symetryczne, to $g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}$ i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

$g_{\ j}^{i}=g_{j}^{\ i},$

co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

„Diagonalność” i współczynniki Lamego

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

$h_{i}^{2}=g_{ii}$ (nie ma sumowania).

Przykłady tensorów metrycznych

Układ kartezjański 3D

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów $P_{1}$ i $P_{2}$ obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

oraz

$ds^{'2}=dx^{'2}+dy^{'2}+dz^{'2}.$

będą identyczne. Z tego względu $ds^{2}$ stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

$g_{ij}=g^{ji}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Układ kartezjański n-wymiarowy

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

$ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}.$

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

$g_{ij}=\delta _{ij}=g^{ij},$

gdzie:

$\delta _{ij}$ – delta Kroneckera.

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

Czasoprzestrzeń płaska (4D)

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},$

$ds^{'2}=c^{2}dt^{'2}-dx^{'2}-dy^{'2}-dz^{'2},$

to wyniki te będą identyczne, tj.

$ds^{2}=ds^{'2}.$

mimo że wielkości $dt,dx,dy,dz$ oraz $dt',dx',dy',dz'$ w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość $ds=ds'$ stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np. $\mu ,\nu .$

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych: $x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z.$ Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

$ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.$

Z postaci niezmiennika $ds^{2}$ natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

$g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.

Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D)

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych $(ct,r,\theta ,\phi )$ tensor ten ma postać:

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Współrzędne sferyczne (3D)

Współrzędne sferyczne $(r,\phi ,\theta )$ są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

${\begin{cases}x=r\cos \phi \sin \theta ,\\y=r\sin \phi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych $e_{r},e_{\theta },e_{\phi }$ do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór $g_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}},$ przyjmując

$x_{1}=x,\,\,x_{2}=y,\,\,x_{3}=z$

oraz

$q_{1}=r,\,\,q_{2}=\phi ,\,\,q_{3}=\theta$

Z obliczeń otrzyma się:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy $g_{ij}$ (co jest trywialne, gdyż $g_{ij}$ jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

$g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}$

Element liniowy w tych współrzędnych ma postać

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\theta ^{2}$

Zobacz też

• sygnatura metryki
• symbole Christoffela
• teoria Kaluzy-Kleina

Bibliografia

• James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: PWN, 1964.
• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 14–26.