Tekst źródłowy strony Funkcja mierzalna

{{spis treści}}
'''Funkcja mierzalna''' – funkcja zachowująca strukturę [[przestrzeń mierzalna|przestrzeni mierzalnych]]; stanowi ona naturalny kontekst dla [[Całka|teorii całkowania]] (w szczególności [[całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]]).

Funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest '''mierzalna''', jeżeli [[przeciwobraz]] dowolnego [[Przestrzeń mierzalna|zbioru mierzalnego]] jest mierzalny. Z punktu widzenia [[teoria kategorii|teorii kategorii]] funkcje mierzalne są [[kategoria (matematyka)|morfizmami]] przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] między [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]], czy [[homomorfizm]]ów [[algebra ogólna|struktur algebraicznych]].

Definicja ta wydaje się prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane <math>\sigma</math>-algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> mówi się, że jest [[miara Lebesgue’a|mierzalna w sensie Lebesgue’a]], to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja <math>f\colon (\mathbb R, \mathcal L) \to (\mathbb R, \mathcal B),</math> tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się <math>\sigma</math>-algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj <math>\mathcal L</math> oznacza [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrę]] zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś <math>\mathcal B</math> jest [[zbiór borelowski|σ-algebrą borelowską]] na prostej). W wyniku tego [[złożenie funkcji]] mierzalnych w sensie Lebesgue’a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że [[przestrzeń topologiczna]] wyposażona jest w [[zbiór borelowski|σ-algebrę borelowską]] generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]]. Np. '''funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych''' – to funkcja, której przeciwobraz dowolnego [[zbiór borelowski|zbioru borelowskiego]] jest mierzalny. Analogicznie definiuje się '''funkcję mierzalną o wartościach zespolonych'''. Niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej<ref name="strichartz">{{cytuj książkę|nazwisko=Strichartz|imię=Robert|tytuł= The Way of Analysis|wydawca=Jones and Bartlett|rok=2000|isbn=0-7637-1497-6}}</ref>.

Funkcje niemierzalne uważane są za ''patologiczne'', przynajmniej z punktu widzenia [[analiza matematyczna|analizy]]. W [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są '''[[zmienna losowa|zmiennymi losowymi]]'''; funkcje mierzalne o wartościach w [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] nazywane są często '''wektorami losowymi'''.

== Szczególne przypadki ==
* Jeżeli <math>(X, \mathcal F)</math> oraz <math>(Y, \mathcal N)</math> są [[Zbiór borelowski|przestrzeniami borelowskimi]], to funkcja mierzalna <math>f\colon (X, \mathcal F) \to (Y, \mathcal N)</math> bywa nazywana '''funkcją borelowską'''. [[Funkcja ciągła|Funkcje ciągłe]] są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest ''niemal'' funkcją ciągłą, o czym mówi [[twierdzenie Łuzina]]. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia <math>Y\stackrel{\pi}{\to} X,</math> to nazywa się je cięciem borelowskim.
* '''funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a''' to funkcja mierzalna <math>f\colon (\mathbb R, \mathcal L) \to (\mathbb C, \mathcal B_\mathbb C),</math> gdzie <math>\mathcal L</math> oznacza [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrę]] [[miara Lebesgue’a|zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a]], zaś <math>\mathcal B_\mathbb C</math> to [[zbiór borelowski|σ-algebra borelowska]] [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] <math>\mathbb C.</math> Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich [[całka Lebesgue’a|całkowalności]].
* [[Zmienna losowa|Zmienne losowe]] definiuje się jako funkcje mierzalne określone na [[przestrzeń zdarzeń elementarnych|przestrzeniach próbek]] (zdarzeń elementarnych).

== Własności ==
* Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich [[kombinacja liniowa|kombinacje liniowe]]) o wartościach zespolonych są mierzalne<ref name="folland">{{cytuj książkę|nazwisko=Folland|imię=Gerald B.|tytuł=Real Analysis: Modern Techniques and their Applications|rok=1999|wydawca=Wiley|isbn=0471317160}}</ref>. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero<ref name="strichartz" />.
* Jeżeli funkcja <math>f</math> jest <math>\mathcal M_1/\mathcal M_2</math>-mierzalna, a funkcja <math>g</math> jest <math>\mathcal M_2/\mathcal N</math>-mierzalna, to ich złożenie <math>g \circ f</math> jest <math>\mathcal M_1/\mathcal N</math>-mierzalne<ref name="strichartz" /><ref name="billingsley">{{cytuj książkę|nazwisko=Billingsley|imię=Patrick|tytuł=Probability and Measure|rok=1995|wydawca=Wiley|isbn=0-471-00710-2}}</ref>, gdzie sformułowanie „funkcja <math>\mathcal M_1/\mathcal M_2</math>-mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja <math>f\colon (X, \mathcal M_1) \to (Y, \mathcal M_2).</math> Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie <math>\sigma</math>-algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a we wstępie).
* (Punktowe) [[kresy dolny i górny]] (infimum i supremum) oraz [[granice dolna i górna]] (limes inferior i superior) [[Ciąg funkcyjny|ciągu funkcji]] mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi<ref name="strichartz" /><ref name="royden">{{cytuj książkę|nazwisko=Royden|imię=H.L. |tytuł=Real Analysis|rok=1988|wydawca=Prentice Hall|isbn = 0-02-404151-3}}</ref>. Mierzalne są także [[funkcje minimum i maksimum]].
* Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż [[zbieżność punktowa]], przykładowo [[Zbieżność jednostajna|zbieżności jednostajnej]]).

== Funkcje niemierzalne ==
Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.

* O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli <math>(X, \mathcal M)</math> jest pewną przestrzenią mierzalną, a <math>A \subset X</math> jest [[zbiór niemierzalny|zbiorem niemierzalnym]], tj. <math>A \notin \mathcal M,</math> to [[funkcja charakterystyczna zbioru]] <math>\mathbf 1_A\colon (X, \mathcal M) \to \mathbb R</math> jest niemierzalna (gdzie <math>\mathbb R</math> wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego <math>\{1\}</math> jest zbiór niemierzalny <math>A.</math>
* [[Funkcja stała]] jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie <math>\sigma</math>-algebry. Jeżeli <math>f\colon X \to \mathbb R</math> jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to <math>f</math> jest niemierzalna, jeśli wyposażyć <math>X</math> w algebrę antydyskretną <math>\mathcal M = \{0, X\},</math> gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, [[Zbiór pusty|niepusty]] podzbiór <math>X,</math> który nie należy do <math>\mathcal M.</math>

== Zobacz też ==
* [[funkcja całkowalna]]
* [[funkcja klasy Baire’a]]
* [[Przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]] funkcji mierzalnych: [[przestrzeń Lp|przestrzenie <math>L^p</math>]]
* [[układ dynamiczny zachowujący miarę]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę|nazwisko=Billingsley|imię=Patrick|tytuł=Probability and Measure, 2nd Edition|miejsce=Nowy Jork|wydawca=John Wiley & Sons Inc|rok=1986}}
* {{cytuj książkę|nazwisko=Kołodziej|imię=Witold|tytuł=Analiza matematyczna|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=1979}}
* {{cytuj książkę|nazwisko=Łojasiewicz|imię=Stanisław|autor link= Stanisław Łojasiewicz|tytuł=Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych|rok=1973|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]]|miejsce=Warszawa}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Measurable_mapping Measurable mapping]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Typy funkcji matematycznych|M]]