Homologia singularna

Homologia singularna - w topologii algebraiczne pojęcie odnoszące się do badania pewnego rodzaju algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zwanych grupami homologii singularnej. Homologia singularna jest szczególnym przykładem teorii homologii, których liczba w ciągu ostatniego półwiecza znacząco wzrosła. Ponieważ jest budowana na dość konkretnych fundamentach, jest jedną z mniej abstrakcyjnych i prostszych do zrozumienia teorii homologii.

W skrócie, konstrukcja homologii singularnych polega na rozpatrywaniu przekształceń ze standardowego n-sympleksu w daną przestrzeń topologiczną $X$. Przekształcenia te łączymy w formalne sumy, otrzymując dla każdego $n\geq 0$ wolną grupę abelową. Grupy te są połączone operatorami brzegu, a całość tworzy kompleks łańcuchowy. Grupy homologii singularnych to po prostu grupy homologii tego kompleksu łańcuchowego. Dla homotopijnie równoważnych przestrzeni otrzymujemy izomorficzne grupy, co pozwala patrzeć na nie jak na pewnego rodzaju algebraiczne niezmienniki, przyporządkowane klasom homotopijnej równoważności przestrzeni. Ponieważ konstrukcję tę można przeprowadzić dla dowolnych przestrzeni topologicznych, a ciągłe przekształcenia między przestrzeniami indukują morfizmy grup homologii tych przestrzeni, homologie singularne można wyrazić w terminach teorii kategorii jako funktor z kategorii przestrzeni topologicznych do kategorii grup abelowych z gradacją.

Kompleks łańcuchów singularnych

Ustalmy przestrzeń topologiczną $X$. Singularnym n-sympleksem w przestrzeni $X$ nazywamy dowolne ciągłe przekształcenie $\sigma \colon \Delta ^{n}\to X$ ze standardowego n-sympleksu w przestrzeń $X$. Przekształcenie nie musi być różnowartościowe i jego obraz nie musi wcale wyglądać jak sympleks - może mieć różnorakie "osobliwości" (ang. singularities), skąd nazwa.

Niech dla każdego $n\geq 0$, $C_{n}(X)$ będzie wolną grupą abelową generowaną przez zbiór $S_{n}(X)$ wszystkich singularnych n-sympleksów w przestrzeni $X$, tj. grupą wszystkich skończonych formalnych sum postaci

$\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}$

dla $n_{i}\in \mathbb {Z} ,\sigma _{i}\in S_{n}(X)$. Nazywamy tę grupę grupą n-wymiarowych łańcuchów singularnych w przestrzeni X. Określmy dla $n>0$ operator brzegu $\partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}$, zadany na generatorach $C_{n}(X)$ wzorem:

$\partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n}]$

gdzie $[v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}]$ oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach $v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}$. Wzór ten oznacza, że obrazem singularnego n-sympleksu jest suma singularnych (n-1)-sympleksów będących obcięciami n-sympleksu do jego ścian, ze współczynnikami równymi naprzemiennie 1 i -1.

Proste przekształcenia algebraiczne pozwalają stwierdzić, że $\partial _{n-1}\partial _{n}=0$, zatem grupy łańcuchów wraz z operatorami brzegu tworzą [[kompleks łańcuchowy], zwany kompleksem singularnym.

Grupy homologii singularnych

Mając ustaloną przestrzeń $X$, możemy określić grupy homologii singularnych $H_{n}(X)$ jako grupy homologii stowarzyszone z kompleksem singularnym.

Dla przykładu, biorąc za $X$ przestrzeń jednopunktową $\{x_{0}\}$, zauważamy, że dla każdego $n\geq 0$ istnieje dokładnie jeden n-sympleks singularny w $X$. W związku z tym, grupy łańcuchów $C_{n}(X)$ są izomorficzne z $\mathbb {Z}$ i generowane przez ten jedyny sympleks. Operator brzegu $\partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ w zależności od parzystości $n$ przeprowadza generator na 0 lub na generator $C_{n-1}(X)$, gdyż w formalnej sumie będącej efektem zastosowania operatora brzegu wszystkie (n-1)-sympleksy są identyczne, a 1 i -1 się redukują, pozostawiając jeden wyraz albo nic.

Mamy zatem następujący kompleks łańcuchowy:

$\cdots \,{\xrightarrow {\simeq }}\,\mathbb {Z} \,{\xrightarrow {0}}\,\mathbb {Z} \,{\xrightarrow {\simeq }}\,\mathbb {Z} \,{\xrightarrow {0}}\,\mathbb {Z} \,{\xrightarrow {\simeq }}\,\mathbb {Z} \,{\xrightarrow {0}}\,\mathbb {Z} \,{\xrightarrow {0}}\,0$

Widać natychmiast, że homologie tego kompleksu są równe $H_{n}(X)=0$ dla $n>0$ i $H_{0}(X)=\mathbb {Z}$.

Indukowane morfizmy

Mając dane przekształcenie $f:X\to Y$ możemy określić przekształcenia $f_{\bullet }:C(X)\to C(Y)$ wzorem

$f_{n}(\sigma )=f\sigma$

Łatwo zauważyć, że $f_{\bullet }=(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest przekształceniem łańcuchowym, tzn. zachodzi równość:

$\partial _{n}f_{n}=f_{n-1}\partial _{n}$

Wynika z tego, że $f_{n}$ przeprowadza cykle na cykle i brzego na brzegi, zatem indukuje homomorfizm na poziomie grup homologii $f_{n}:H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$.

Morfizmy indukowane są użytecznym narzędziem w badaniu przestrzeni i przekształceń pomiędzy nimi. Umożliwia to podstawowa własność morfizmów indukowanych: homotopijne przekształcenia indukują ten sam morfizm na grupach homologii. Razem z innymi własnościami, takimi jak:

• $(fg)_{\bullet }=f_{\bullet }g_{\bullet }$
• $\mathrm {id} _{\bullet }=\mathrm {id}$

pozwala to na zauważenie, że homotopijnie równoważne przestrzenie muszą mieć izomorficzne grupy homologii. Istotnie, dla przestrzeni $X,Y$ i przekształceń $f:X\to Y,g:Y\to X$, takich że $fg\simeq \mathrm {id} _{X},gf\simeq \mathrm {id} _{Y}$, musimy mieć $(fg)_{\bullet }=f_{\bullet }g_{\bullet }=\mathrm {id} _{\bullet }=\mathrm {id}$, skąd $f_{n}:H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ dla każdego $n\geq 0$ jest izomorfizmem z odwrotnością $g:H_{n}(Y)\to H_{n}(X)$.

Na przykład, grupy homologii kuli w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie, przestrzeni ściągalnych) są zerowe we wszystkich wymiarach poza zerem, gdzie są równe $\mathbb {Z}$, bo mają typ homotopii punktu.

Bibliografia

• Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
• Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1