Lemat Barbălata

Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata, które mówi, że jeżeli funkcja

$f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$

jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa

$I=\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau$

istnieje i jest skończona, to

$\lim _{t\to \infty }f(t)=0$.

Dowód

Rozumując nie wprost: niech $f(t)$ nie zbiega do $0,$ gdy $t\to \infty .$ Oznacza to, że dla pewnego $\varepsilon _{0}>0$ oraz wszelkich $n>0$ istnieje takie $t_{n}>n,$ że

${\Big |}f(t_{n}){\Big |}\geqslant \varepsilon _{0}.$

Niech $\delta$ będzie liczbą odpowiadającą ${\frac {\varepsilon _{0}}{2}}$ w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia $f.$ Oznacza to, że

${\Big |}f(t)-f(t_{n}){\Big |}\leqslant {\frac {\varepsilon _{0}}{2}},$

o ile tylko

$|t-t_{n}|<\delta .$

Stąd dla wszelkich $t\in [t_{n},t_{n}+\delta ]$ zachodzi

${\begin{aligned}{\Big |}f(t){\Big |}&={\Big |}f(t_{n})-{\big (}f(t_{n})-f(t){\big )}{\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\Big |}f(t_{n})-f(t){\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\\&\geqslant \varepsilon _{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}},\end{aligned}}$

(1)

co wobec dodatniości $\varepsilon _{0}$ oznacza

${\Big |}f(t){\Big |}>0.$

(2)

Z jednej strony więc

${\begin{aligned}\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|&=\left|\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\&\ {\stackrel {(*)}{=}}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\Big |}f(\tau ){\Big |}\,\mathrm {d} \tau \\&\ {\stackrel {(**)}{\geqslant }}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,\mathrm {d} \tau \\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\cdot \delta >0,\end{aligned}}$

przy równość (*) wynika stąd, że funkcja $f(x)$ w przedziale $[t_{n},t_{n}+\delta ]$ nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności (2), osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z (1).

Z drugiej jednak strony,

${\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&|I-I|=0,\end{aligned}}$

co prowadzi do sprzeczności.

Uogólnienie

G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni $L_{2}([0,\infty )),$ których pochodna należy do $L_{\infty }([0,\infty ))$.

Bibliografia

• B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma, The American Mathematical Monthly 123(8) (2014) 825–830.
• H.K. Khalil, Nonlinear Systems, Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
• V.M. Popov, Hyperstability of Control Systems, Springer-Verlag, New York, 1973.
• J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.