Dziedzina całkowitości

Dziedzina całkowitości, pierścień całkowity^[1] – pierścień spełniający cztery warunki – jest:

niezerowy,
przemienny,
z jedynką,
pozbawiony (właściwych) dzielników zera.

Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa^{[potrzebny przypis]}, jest pierścień całkowity.

Własności

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli $a,b,c\in R,$ przy czym $c\neq 0,$ to zachodzi własność skracania:

jeśli

ac=bc,

to

a=b.

Dowód: Niech

c\neq 0.

Jeśli

ac=bc,

to

ac-bc=0,

czyli

(a-b)c=0.

Ale w pierścieniu

R

nie ma dzielników zera, więc

a-b=0.

Stąd

a=b.

Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu $a\neq 0$ jego iloczyny ze wszystkimi $n$ elementami pierścienia: $aa_{1},aa_{2},\dots ,aa_{n}.$ Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. $aa_{i}=aa_{j}$ dla pewnych $i\neq j.$ Ale z własności skracania wynika $a_{i}=a_{j}$ wbrew temu, że $a_{i},\ a_{j}$ są różnymi elementami.