Suma alikwotowa

W teorii liczb suma alikwotowa $s(n)$ dodatniej liczby całkowitej $n$ jest sumą wszystkich dzielników właściwych liczby $n$ (czyli wszystkich dzielników $n$ różnych od $n$). Zatem $$s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,.$$

Przykład

Dzielnikami właściwymi liczby 12 są liczby 1, 2, 3, 4 oraz 6, zatem suma alikwotowa liczby 12 wynosi 16

$$s(12)=1+2+3+4+6=16.$$

Wartości $s(n)$ dla $n$ = 1, 2, 3, ... wynoszą odpowiednio:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ...

Charakterystyka klas liczbowych

Funkcja sumy alikwotowej może posłużyć do scharakteryzowania pewnych klas liczbowych:

• 1 jest jedyną liczbą, której suma alikwotowa wynosi 0.
• Liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma alikwotowa wynosi 1.
• Sumy alikwotowe liczby doskonałej, liczby deficytowej oraz liczby nadmiarowej są odpowiednio równe, mniejsze i większe od tych liczb.
• Liczba niedotykalna jest liczbą, która nie stanowi sumy alikwotowej żadnej innej liczby.

Uwagi

Funkcja sumy alikwotowej występuje częściej w literaturze obcojęzycznej. W literaturze polskojęzycznej dominuje tradycja stosowania funkcji sigma, którą z funkcją sumy alikwotowej związana jest następująco:

$$\sigma (n)=s(n)+n.$$

Bibliografia

• Alexander A. Stepanov, Daniel E. Rose: Od matematyki do programowania uogólnionego. Z języka angielskiego przełożył Zdzisław Płoski. Wyd. 1. Gliwice: Helion, 2006. ISBN 978-83-283-1028-5.