Relação de recorrência

Relação de recorrência (ou passo recorrente) é uma técnica matemática que permite definir sequências, conjuntos, operações ou até mesmo algoritmos partindo de problemas particulares para problemas genéricos. Ou seja, por intermédio de uma regra pode-se calcular qualquer termo em função do(s) antecessor(es) imediato(s).

As relações de recorrência são compostas por duas partes importantes: a(s) condição(ões) inicial(is) — que deve(m) ser conhecida(s) —, e a “equação de recorrência” — que é a regra que permitirá calcular os próximos termos em função dos antecessores.

A equação de recorrência não pode definir sequências sem as condições iniciais, isto é, não é uma relação de recorrência.

Tipos de Equações de Recorrência

• Quanto ao modelo de equação:
• Equação de Recorrência Linear: Se, e somente se, a equação de recorrência for do mesmo modelo que as funções do primeiro grau.

Exemplos:

$x_{n}=nx_{n-1}-3n^{2}$

Ou

$x_{n}=5x_{n-2}+x_{n-3}$

• Equação de Recorrência Não Linear: Se a equação de recorrência não for do mesmo modelo que as funções do primeiro grau.

Exemplos:

$x_{n}=x_{n-3}^{2}$

Ou

$x_{n}=x_{n-1}!$

• Quanto à quantidade de termos envolvidos:

• Equação de Recorrência de Primeira Ordem: Quando aparece na equação de recorrência um termo em função de seu antecessor imediato.

Exemplos:

$x_{n}=nx_{n-1}$

Ou

$x_{n}=x_{n-1}-3n^{2}$

• Relação de Recorrência de Segunda Ordem: Quando aparece na equação de recorrência um termo em função de seus dois antecessores imediatos.

Exemplos:

$x_{n}=9x_{n-2}$

Ou

$x_{n}=x_{n-1}+3x_{n-2}-4$

• Relação de Recorrência de Ordem k: Quando aparece na equação de recorrência um termo em função de seus k antecessores imediatos.

Exemplos:

$x_{n}=x_{n-1}+3x_{n-2}-4x_{n-k}+\cos n$

Ou

$x_{n}=x_{n-k}^{k}+x_{n-k+1}^{k-1}+x_{n-k+2}^{k-2}+...+x_{n-3}^{3}+x_{n-2}^{2}+x_{n-1}$(Esse exemplo é não linear).

• Quanto à equação:

• Relação de Recorrência Homogênea: Quando, em um dos lados da igualdade estarão todos os termos da sequência presentes e no outro lado restará o $0.$

Exemplos:

$x_{n}=2x_{n-1}+x_{n-3}^{2}\Rightarrow x_{n}-2x_{n-1}-x_{n-3}^{2}=0$

• Relação de Recorrência Não – Homogênea: Quando, em um dos lados da igualdade estarão todos os termos da sequência presentes e no outro lado restará uma $g(n)\neq 0.$

Exemplos:

$x_{n}=2x_{n-1}+x_{n-3}^{2}+g(n)\Rightarrow x_{n}-2x_{n-1}-x_{n-3}^{2}=g(n)$

Ou

$x_{n}=2x_{n-1}+x_{n-3}^{2}+6\Rightarrow x_{n}-2x_{n-1}-x_{n-3}^{2}=6$

Equação de diferenças

Em diversos modelos matemáticos de fenômenos físicos, o tempo, que costuma ser a variável independente, varia continuamente. Assim, a variação é uma grandeza infinitesimal e as mudanças na variável dependente podem ser descritas por derivadas. Nesses casos, usamos as equações diferenciais para construir modelos matemáticos que descrevam melhor, em termos numéricos, um determinado fenômeno.

Mas há modelos onde o tempo varia discretamente, isto é, assume apenas valores inteiros. Deste modo, já não se justifica utilizar as equações diferenciais para modelar esses fenômenos, pois o conceito de derivada perde sua aplicabilidade. Nessas situações, usamos as equações de diferenças para a construção do modelo matemático.

Matematicamente,

• Equações diferenciais (envolvem derivadas, pois a distância entre os pontos está ficando cada vez menor, até ser nula. A variação é continua).

${\frac {df}{dt}}=\lim _{t\rightarrow t_{0}}{\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}$

• Equação de diferenças (a variação é discreta).

${\frac {\Delta f(t)}{\Delta t}}={\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}.$ Com $(t-t_{0})\in \left\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,...,\pm n,...\right\}\subseteq \mathbb {Z} ^{*}$

Logo, uma equação de diferenças é qualquer problema onde deve-se determinar uma função (desconhecida) a partir de uma relação de recorrência envolvendo o operador diferença. O termo “equação de diferenças” refere-se a um tipo específico de relação de recorrência, embora, frequentemente, seja usado como sinônimo das equações de recorrência.

Demonstração da Resolução das Relações de Recorrência Lineares

Ver artigo principal: Resolução de relações de recorrência

Resolver uma relação de recorrência significa procurar uma forma de calcular qualquer termo dessa relação dependendo apenas do valor do $n$ e não precisando calcular todos os antecessores até o valor que se deseja descobrir.

Essa função dependendo de $n$ é chamada de forma fechada da equação de recorrência.

Equação característica

• Equação de Recorrência de segunda ordem homogênea

Acompanhe a demonstração de resolução da equação de recorrência de segunda ordem homogênea abaixo:

${\color {MidnightBlue}a\,x_{n}=-b\,x_{n-1}-c\,x_{n-2}\Rightarrow }a\,x_{n}+b\,x_{n-1}+c\,x_{n-2}=0$   ♠

Nesta equação, a soma de um termo com seu antecessor imediato e seu segundo antecessor imediato deve resultar em 0 (equação de recorrência de segunda ordem homogênea).

• Se $b=0,$  o termo será igual a seu segundo antecessor imediato vezes uma constante.

• Se $a=0,$  o primeiro antecessor será igual ao segundo antecessor vezes uma constante.

• Se $c=0,$  o termo será igual a seu antecessor vezes uma constante.

As funções lineares (e seus múltiplos), verificam qualquer uma dessas 3 condições. Assim, uma solução possível para esta equação de recorrência de segunda ordem homogênea seria 

${y_{\left\{n\right\}}}_{1}=r\,{y_{\left\{n-1\right\}}}\,_{1},$

${y_{\left\{0\right\}}}\,_{1}=1,$

${y_{\left\{n\right\}}}_{1}\neq 0,\forall n\in \mathbb {N} .$

Disso,

${y_{\left\{1\right\}}}_{1}=r\,{y_{\left\{0\right\}}}_{1}=r\cdot 1\Rightarrow {y_{\left\{1\right\}}}_{1}=r$

${y_{\left\{2\right\}}}_{1}=r\,{y_{\left\{1\right\}}}_{1}=r\cdot (r\,{y_{\left\{0\right\}}}_{1})=r^{2}{y_{\left\{0\right\}}}_{1}=r^{2}\cdot 1\Rightarrow {y_{\left\{2\right\}}}_{1}=r^{2}$

${y_{\left\{3\right\}}}_{1}=r\,{y_{\left\{2\right\}}}_{1}=r\cdot (r^{2}{y_{\left\{0\right\}}}_{1})=r^{3}{y_{\left\{0\right\}}}_{1}=r^{3}\cdot 1\,\Rightarrow {y_{\left\{3\right\}}}_{1}=r^{3}$

$...$

${y_{\left\{n\right\}}}_{1}=r^{n}$ Substituindo

$x_{n}$${y_{\left\{n\right\}}}_{1}$

na equação♠:

$a{y_{\left\{n\right\}}}_{1}+b{y_{\left\{n-1\right\}}}_{1}+c{y_{\left\{n-2\right\}}}_{1}=0{\color {Violet}=}$

$ar^{n}+br^{n-1}+cr^{n-2}=0$

${\frac {ar^{n}+br^{n-1}+cr^{n-2}}{r^{n-2}}}=0{\color {Violet}=}$

$ar^{n-(n-2)}+br^{(n-1)-(n-2)}+cr^{(n-2)-(n-2)}=0{\color {Violet}=}$

$ar^{2}+br^{1}+cr^{0}=0{\color {Violet}=}$

$ar^{2}+br+c=0$♣

Logo, calculando as raízes da equação quadrática♣

$\left(r'\right.$e&$\left.r'\right)$, também conhecida por equação característica da relação de recorrência, se encontrará uma solução da equação de recorrência.

• Equações de recorrência de primeira ordem homogênea

${\color {MidnightBlue}a\,x_{n}=-b\,x_{n-1}\Rightarrow }a\,x_{n}+b\,x_{n-1}=0$

A equação característica será  $ar+b=0$

• Equações de recorrência de ordem $k$ homogênea

${\color {MidnightBlue}a_{0}\,x_{n}=-a_{1}\,x_{n-1}-a_{2}\,x_{n-2}-...-a_{k-1}\,x_{n-k+1}-a_{k}\,x_{n-k}\Rightarrow }a_{0}\,x_{n}+a_{1}\,x_{n-1}+a_{2}\,x_{n-2}+...+a_{k-1}\,x_{n-k+1}+a_{k}\,x_{n-k}=0$

A equação característica será

$a_{0}\,r^{k}+a_{1}\,r^{k-1}+a_{2}\,r^{k-2}+...+a_{k-1}r+\,a_{k}=0$

Raízes Distintas da Equação Característica

Como a equação característica da equação de recorrência de segunda ordem pode ter duas raízes distintas, as soluções da equação de recorrência serão  ${y_{\left\{n\right\}}}_{1}={\left(r'\,\right)}^{n}$   e   ${y_{\left\{n\right\}}}_{1}={\left(r''\,\right)}^{n}.$

Assim, $y_{n}\,=\,C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n}+C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n}$também é solução da equação de recorrência ♠

• Demonstração:

Como $y_{n}$ é solução de ♠ então as contantes $C_{1}$ e $C_{2}$ serão solução do sistema

${\begin{cases}\ C_{1}\,{r'}+C_{2}\,{r''}=y_{2}\\C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{2}+C_{2}\,{\left(r'\,\right)}^{2}=y_{3}\end{cases}}$

Ou seja, $C_{1}={\frac {y_{3}-y_{2}\,{r''}}{{r'}({r'}-{r''})}}$

$C_{2}={\frac {y_{2}\,{r'}-y_{3}}{{r''}({r'}-{r''})}},$

${r'}\neq {r''},$

${r'}\neq 0$&

${r''}\neq 0.$

Logo,

$y_{n}=C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n}+C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n},\,\forall n\in \mathbb {N} .$

Com efeito, seja  $z_{n}=y_{n}-C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n}-C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n},\,\,\,z_{n}=0,\,\forall n\in \mathbb {N} .$

Assim,

$a\,z_{n}+b\,z_{n-1}+c\,z_{n-2}=a\,\left(\,y_{n}-C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n}-C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n}\,\right)+b\,\left(\,y_{n-1}-C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n-1}-C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n-1}\,\right)+c\,\left(\,y_{n-2}-C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n-2}-C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n-2}\,\right)$

$0=\left(\,a\,y_{n}+b\,y_{n-1}+c\,y_{n-2}\right)-\left(a\,C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n}+b\,C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n-1}+c\,C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n-2}\right)-\left(a\,C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n}+b\,C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n-1}+c\,C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n-2}\right)$

$0=\left(\,a\,y_{n}+b\,y_{n-1}+c\,y_{n-2}\right)-C_{1}\,\left(a\,{\left(r'\,\right)}^{n}+b\,{\left(r'\,\right)}^{n-1}+c\,{\left(r'\,\right)}^{n-2}\right)-C_{2}\,\left(a\,{\left(r''\,\right)}^{n}+b\,{\left(r''\,\right)}^{n-1}+c\,{\left(r''\,\right)}^{n-2}\right)$<

O primeiro parênteses é igual a zero porque supomos que $y_{n}$ é solução de& ♠; os dois últimos parênteses são iguais a zero porque ${r'}$ e ;${r''}$ ;são raízes de ♣.

Então $a\,z_{n}+b\,z_{n-1}+c\,z_{n-2}=0.$

Além disso, como $C_{1}\,{r'}+C_{2}\,{r''}=y_{2}$ e $C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{2}+C_{2}\,{\left(r'\,\right)}^{2}=y_{3},$ $z_{1}=z_{2}=0.$

Mas, se $a\,z_{n}+b\,z_{n-1}+c\,z_{n-2}=0$;e$z_{1}=z_{2}=0$ $z_{n}=0,\,\forall n\in \mathbb {N} ,$ CQD.

Portanto a forma fechada para a equação de recorrência $a\,x_{n}+b\,x_{n-1}+c\,x_{n-2}=0,$ onde a equação característica tem raízes distintas, é:

$y_{n}\,=\,C_{1}\,{\left(r'\,\right)}^{n}+C_{2}\,{\left(r''\,\right)}^{n}$

Raízes Iguais da Equação Característica

Para o caso das raízes serem iguais podemos nos basear na resolução das equações diferenciais. Observe que as equações de diferença também geram equações de recorrência.^{[carece de fontes]}

$a\,\Delta ^{2}\,(x_{n})+b\,\Delta (x_{n})+c\,x_{n}=a\,p_{n}+b\,p_{n-1}+c\,p_{n-2}=0$

Assim, considerando que a variação de  $n$  seja contínua, o método para resolver equações diferenciais de segunda ordem homogênea pode ser aplicado.

$ay^{''}+by^{'}+cy=0$ ♦ $y=f(t)$ e $n=t,$ tem como equação característica:

$az^{2}+bz+c=0$

Sendo  $z_{1}=z_{2}$  raízes da equação característica, uma das soluções da equação diferencial  ♦  será  $y_{1}=e^{\frac {-bt}{2a}}.$

Qualquer múltiplo dessa solução será solução da equação diferencial ♦. Então, vamos supor que $y_{1}=v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}$  também seja solução.

Assim,

$y^{'}=v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\,v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}$

$y^{''}=v^{''}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\,v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\,v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\,v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}=v^{''}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b}{a}}\,v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\,v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}$

Substituindo na equação ♦

$a\left(v^{''}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b}{a}}\,v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\,v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}\right)+b\left(v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\,v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}\right)+c\left(v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}\right)=0$

$av^{''}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-b\,v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a}}\,v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+b\,v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+cv(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}=0$

$av^{''}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+\left(-b+b\right)v^{'}(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\right)v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}=0$ ♥

A parcela envolvendo $v^{'}(t)$ é nula. O coeficiente de $v(t)$ $\left({\frac {-b^{2}}{4a}}\right)+c$ que também é nulo pois as raízes são iguais.

Logo, a equação ♥ será $av^{''}(t)=0$  com  $a\neq 0.$

Portanto

$v^{''}(t)=0$;

$v^{'}(t)=C_{1}$;

$v(t)=C_{1}\,t+\,C_{2}$

Então, a solução de ♦, será:

$y=v(t)\,e^{\frac {-bt}{2a}}=(C_{1}\,t+\,C_{2})\,e^{\frac {-bt}{2a}}$

$y=C_{1}\,t\,e^{\frac {-bt}{2a}}+\,C_{2}\,e^{\frac {-bt}{2a}}$

Traduzindo esse resultado para as relações de recorrência de segunda ordem homogêneas com raízes iguais, a forma fechada da solução será:

$y_{n}=C_{1}\,n\,(r)^{n}+C_{2}\,(r)^{n}$

• Para as equações de recorrência de ordem k podemos ter uma raiz de multiplicidade até k. Assim, a forma fechada da equação de recorrência será:

$y_{n}=C_{1}\,n^{k}\,(r)^{n}+C_{2}\,n^{k-1}\,(r)^{n}+...+C_{k-2}\,n^{2}\,(r)^{n}+C_{k-1}\,n\,(r)^{n}+C_{k}\,(r)^{n}$

Raízes Complexas da Equação Característica

Quando as raízes da equação característica são da forma $q\pm mi$, pode-se trocar o modo de representação do número complexo para a forma polar e evitar cálculos com complexos. Portanto, se a solução da equação de recorrência fosse

$y_{n}=c_{1}(q+mi)^{n}+c_{2}(q-mi)^{n}$ poderia ser trocada por

$y_{n}=c_{1}\left[\rho (cos\,{\theta }+i\,sen\,{\theta })^{n}\right]+c_{2}\left[\rho (cos{\theta }-isen{\theta })^{n}\right]$

$y_{n}=c_{1}\rho ^{n}\left[cos\,{n\theta }+i\,sen\,{n\theta }\right]+c_{2}\rho ^{n}\left[cos\,{n\theta }-i\,sen\,{n\theta }\right]$

$y_{n}=\rho ^{n}\left[c_{3}\cdot cos\,{(n\theta )}+c_{4}\cdot sen\,{(n\theta )}\right]$; onde $c_{3}=c_{1}+c_{2}$ e $c_{4}=i(c_{1}-c_{2})$ são novas constantes arbitrárias.

Resolução das Equações de Recorrência Não-Homogêneas

Seja  $ax_{n}+bx_{n-1}+cx_{n-2}=g(n)$  uma equação de recorrência de segunda ordem não-homogênea, sua solução é do tipo  $y_{n}=h_{n}+p_{n},$  onde  $h_{n}$  é a forma fechada da equação homogênea relacionada e  $p_{n}$  é uma solução particular da equação não homogênea.

• Demonstração:

Substituindo $x_{n}$ por $y_{n}=h_{n}+p_{n}$:

$ax_{n}+bx_{n-1}+cx_{n-2}=g(n)$

$a(h_{n}+p_{n})+b(h_{n-1}+p_{n-1})+c(h_{n-2}+p_{n-2})=g(n)$

$ah_{n}+ap_{n}+bh_{n-1}+bp_{n-1}+ch_{n-2}+cp_{n-2}=g(n)$

$ap_{n}+bp_{n-1}+cp_{n-2}+ah_{n}+bh_{n-1}+ch_{n-2}=g(n)$

$ap_{n}+bp_{n-1}+cp_{n-2}=g(n)$  que é válida pois $p_{n}$ é solução da equação não-homogênea e $ah_{n}+bh_{n-1}+ch_{n-2}=0$ é válida pois $h_{n}$ é solução da equação homogênea associada.

Se $g(n)=d\cdot q^{n}:$ $p_{n}$, será da forma $A\cdot q^{n}$ e $A$ poderá ser determinado usando as condições iniciais da relação de recorrência. Se $q$ for raiz de multiplicidade $m$ da equação característica da equação homogênea associada, $p_{n}$ será da forma $A\,n^{m}\cdot q^{n}.$

Se $g(n)=d_{l}\,n^{l}+d_{l-1}\,n^{l-1}+d_{l-2}\,n^{l-2}+...+d_{2}\,n^{2}+d_{1}\,n+d_{0}:$  $p_{n}$;será da forma

$A_{l}\,n^{l}+A_{l-1}\,n^{l-1}+A_{l-2}\,n^{l-2}+...+A_{2}\,n^{2}+A_{1}\,n+A_{0}$ e cada $A_{j}\,\,(com\,j\in \left\{1,2,3,...,l\right\})$ pode ser determinado usando as condições iniciais da relação de recorrência.

Se 1 for raiz de multiplicidade  $m$ da equação característica da equação homogênea associada,$p_{n}$ será da forma $A_{l}\,n^{m+l}+A_{l-1}\,n^{m+l-1}+A_{l-2}\,n^{m+l-2}+...+A_{2}\,n^{m+2}+A_{1}\,n^{m+1}+A_{0}\,n^{m},$  pois quando 1 é raiz de multiplicidade; $m$ da equação característica ele gera um polinômio do tipo $h_{n}=(1)^{n}(C_{1}+C_{2}n+C_{3}n^{2}+...+C_{m+1}n^{m}).$

Se $g(n)$ for uma soma dos dois últimos casos:$p_{n}$ será, também, uma soma das formas dos dois casos acima e a resolução procederá como explicado em cada item.

Sequências definidas por recorrência

Ver artigo principal: Seqüência matemática

As sequências definidas recursivamente satisfazem uma determinada relação de recorrência e tem seu(s) primeiro(s) termo(s) dado(s).

Exemplos:

• A seqüência $S$ abaixo:

$S_{1}=2;$

$S_{n}=2\times S_{n-1},$  para  $n=2$  ou  $n>2$

De acordo com a definição da seqüência  $S,$  temos os seguintes termos:

$S_{1}=2;$

$S_{2}=2\cdot S_{2-1}=2\cdot S_{1}=2\times 2=4;$

$S_{3}=2\cdot S_{3-1}=2\cdot S_{2}=2\times 4=8;$

$S_{4}=2\cdot S_{4-1}=2\cdot S_{3}=2\times 8=16;$

e assim por diante.

• A sequência $(a_{n})$ dos números naturais ( $\mathbb {N}$ ) ímpares  $1,3,5,7,...$ pode ser definida por $a_{n}=a_{n-1}+2\,\,(n\geq 1),$  com  $a_{1}=1.$

Observe que essa sequência só esta definida como “a sequência dos números naturais ímpares” por causa da condição inicial  $a_{1}=1.$  Se esta condição não tivesse sido estabelecida, a relação de recorrência $a_{n}=a_{n-1}+2\,\,(n\geq 1)$ seria satisfeita por todas as progressões aritméticas de razão 2.

• Todas as progressões aritméticas de razão $r$ podem ser definidas por $a_{n}=a_{n-1}+r\,\,(n\geq 1),$ com $a_{1}=b.$

• Todas as progressões geométricas de razão $q$ podem ser definidas por $a_{n}=q\cdot a_{n-1}\,\,(n\geq 1),$ com $a_{1}=c.$

• A sequência dos números de Lucas:

$L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}\,\,(n\geq 2),$ com $L_{0}=2$ e $L_{1}=1.$

• A sequência de Fibonacci $(F_{n})$

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\,\,(n\geq 2),$ com $F_{0}=0$ e $F_{1}=1.$

Números de Fibonacci

Ver artigo principal: Números de Fibonacci

Os números de Fibonacci são definidos usando-se a relação de recorrência linear $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$, para $n>1$, com os seguintes valores iniciais: $F_{0}=0$ e $F_{1}=1$

Explicitamente, a recorrência produz as equações:

$F_{2}=F_{1}+F_{0}$

$F_{3}=F_{2}+F_{1}$

$F_{4}=F_{3}+F_{2}$

etc.

Obtém-se a partir daí a sequência de número de Fibonnacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Conjuntos definidos por recorrência

Ver artigo principal: Conjunto

Conjuntos são coleções de objetos onde não existe uma ordem imposta. Porém, ainda assim é possível definir alguns conjuntos por recorrência.

• Exemplo:

• Na definição das regras sintáticas para as fórmulas bem formadas (FBFs) da lógica proposicional, utiliza-se a seguinte recorrência:

1. Condição básica: Toda proposição A é uma FBF, denominada de Fórmula Atômica;
2. Relação de recorrência: Se P e Q são FBFs, então ¬P (negação), P Λ Q (conjunção), P V Q (disjunção), P→Q (implicação ou condicional) e P↔Q (bicondicional) também são FBFs.

De acordo com esta definição:

• As proposições A, B e C são fórmulas, pela Condição Básica;
• Como A, B e C são fórmulas, então ¬A e (B Λ C) também são fórmulas, pela relação de recorrência;

Portanto, visto que ¬A e (B Λ C) são fórmulas, então (¬A →(B Λ C)) também é uma fórmula, pela relação de recorrência.

• Conjunto de A* (elementos concatenados de um alfabeto A, formando cadeias de comprimento finito). A definição recorrente de A* é:

1. Condição básica: ¢ Є A* — a cadeia vazia (de comprimento zero, representada por ¢) pertence a A*;
2. Relação de recorrência:

a) Se a Є A, então a Є A* — todos os elementos de A pertencem a A*;

b) Se a, b Є A*, então ab Є A* — a concatenação "a" com "b" pertence a A*.

De acordo com a definição, para A = {a, b}: A* = {¢, a, b, aa, ab, bb, aaa, ...}.

Operações definidas por recorrência

Algumas operações em objetos podem ser definidas de forma recorrente.

Exemplo:

• A operação de exponenciação  $a^{n}$  de um número real  $a$,  onde  $n$  é um número natural, é definida por:

1. Condição básica:  $a^{0}=1;$
2. Relação de recorrência:  $a^{n}=a\cdot a^{(n-1)},$ para  $n>1$  ou  $n=1.$

• A operação de multiplicação de dois números naturais,  $x$  e  $y$,   é definida por:

1. Condição básica:  $x\cdot 1=x;$
2. Relação de recorrência:  $x\cdot (y)=x\cdot (y-1)+x,$  para  $y>1.$

Algoritmos definidos por Recorrência

Ver artigo principal: Algoritmo

Na construção de um algoritmo recursivo é necessário estabelecer uma condição de parada, ou seja, uma condição na qual o algoritmo deve ser capaz resolver o problema de forma trivial. Veja alguns exemplos:

Fatorial

• Exemplo: O algoritmo para o cálculo do fatorial de modo recorrente.

função ${\it {Fat}}(n)$

se $n<2$ então

retorne $1$

caso contrário

retorne $n\times {\it {Fat}}(n-1)$

Matematicamente, escrevemos:

$Fat_{n}=n*Fat_{n-1}$

Sequência de Fibonacci

• Exemplo: O algoritmo para o cálculo do n-ésimo termo da Sequência de Fibonacci.

função ${\it {Fib}}(n)$

se $n<2$ então

retorne $1$

caso contrário

retorne ${\it {Fib}}(n-1)+{\it {Fib}}(n-2)$

Matematicamente, definimos de forma recursiva F_n como sendo:

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

Ver também

• Relação matemática
• Lógica
• Números naturais
• Conjuntos
• Seqüência matemática
• Algoritmo
• Recursão transfinita - extensão da relação de recorrência para números transfinitos