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{{Matemática}}
{{Ciências-vertical}}
'''Matemática''' é uma área do [[conhecimento]] que inclui os tópicos dos [[números]], [[Fórmula (lógica)|fórmulas]] e estruturas relacionadas, formas e os espaços em que estão contidos, e quantidades e suas mudanças. Esses tópicos são representados na matemática moderna com as principais subdisciplinas da [[teoria dos números]],<ref name="OED">{{Citar web|url=https://www.oed.com/dictionary/mathematics_n?tab=meaning_and_use&tl=true|titulo=Mathematics (noun)|acessodata=17 de janeiro de 2024|website=[[Oxford English Dictionary]]|publicado=[[Oxford University Press]]}}</ref> [[álgebra]],<ref name="Kneebone">{{Citar livro|título=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey|ultimo=Kneebone|primeiro=G. T.|editora=D. Van Nostard Company|ano=1963|capitulo=Traditional Logic|lccn=62019535|mr=0150021|oclc=792731}}</ref> [[geometria]]<ref name="OED" /> e [[Análise matemática|análise]],<ref name="LaTorre">{{Citar livro|título=Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change|ultimo=LaTorre|primeiro=Donald R.|ultimo2=Kenelly|primeiro2=John W.|ultimo3=Reed|primeiro3=Iris B.|ultimo4=Carpenter|primeiro4=Laurel R.|ultimo5=Harris|primeiro5=Cynthia R.|ultimo6=Biggers|editora=[[Houghton Mifflin Company]]|ano=2008|capitulo=Models and Functions|isbn=978-0-618-78983-2|lccn=2006935429|oclc=125397884|edição=4th}}</ref> respectivamente. No entanto, não há consenso entre os matemáticos sobre uma definição comum para a [[Disciplina (conhecimento)|disciplina acadêmica]] que estudam.

Grande parte da atividade matemática envolve a descoberta de propriedades de [[Objeto matemático|objetos abstratos]] e o uso da [[razão]] pura para [[Prova matemática|prová-las]]. Estes objetos consistem em [[Abstração (matemática)|abstrações]] da natureza ou {{Mdash}} segundo a [[matemática moderna]] {{Mdash}} entidades que são estipuladas por certas propriedades, chamadas [[axioma]]s. Uma ''[[prova matemática]]'' consiste em uma sucessão de aplicações de [[Regra de inferência|regras dedutivas]] a resultados já estabelecidos. Estes resultados incluem [[teorema]]s previamente provados, axiomas e {{Mdash}} no caso de abstração da natureza {{Mdash}} algumas propriedades básicas que são consideradas pontos de partida da teoria em consideração.<ref>{{Citar livro|url=https://www.alws.at/alws/wp-content/uploads/2018/06/papers-2015.pdf#page=133|título=Realismus – Relativismus – Konstruktivismus: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums|ultimo=Hipólito|primeiro=Inês Viegas|data=15 de agosto de 2015|editora=Austrian Ludwig Wittgenstein Society|editor-sobrenome=Kanzian|volume=23|localização=Kirchberg am Wechsel, Austria|páginas=132–134|língua=de, en|capitulo=Abstract Cognition and the Nature of Mathematical Proof|issn=1022-3398|oclc=236026294|acessodata=17 de janeiro de 2024|editor-sobrenome2=Mitterer|editor-link2=Josef Mitterer|editor-sobrenome3=Neges|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221107221937/https://www.alws.at/alws/wp-content/uploads/2018/06/papers-2015.pdf#page=133|arquivodata=7 de novembro de 2022}} ([https://www.researchgate.net/publication/280654540_Abstract_Cognition_and_the_Nature_of_Mathematical_Proof at ResearchGate] {{Acesso aberto}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221105145638/https://www.researchgate.net/publication/280654540_Abstract_Cognition_and_the_Nature_of_Mathematical_Proof|date=5 de novembro de 2022}})</ref>

A matemática é essencial nas [[ciências naturais]], [[engenharia]], [[medicina]], [[finanças]], [[Ciência da computação|ciências da computação]] e [[ciências sociais]]. Embora seja amplamente utilizada para modelar fenômenos, as verdades fundamentais da matemática são independentes de qualquer [[experimentação]] científica. Algumas [[áreas da matemática]], como [[estatística]] e [[teoria dos jogos]], são desenvolvidas em estreita correlação com suas aplicações e, portanto, são frequentemente agrupadas na [[matemática aplicada]]. Outros campos de estudo são desenvolvidos independentemente de qualquer aplicação (e por este motivo são chamados de [[matemática pura]]), mas muitas vezes encontram aplicações práticas posteriormente.{{Sfn|Peterson|1988|p=12}}<ref name="wigner1960">{{Citar periódico |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |título=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |periódico=Communications on Pure and Applied Mathematics |número=1 |ultimo=Wigner |primeiro=Eugene |autorlink=Eugene Wigner |ano=1960 |paginas=1–14 |bibcode=1960CPAM...13....1W |doi=10.1002/cpa.3160130102 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |arquivodata=28 de fevereiro de 2011 |volume=13}}</ref>

Historicamente, o conceito de [[Prova matemática|prova]] e o [[Rigor|rigor matemático]] associado apareceram pela primeira vez na [[Matemática da Grécia Antiga|matemática grega]], mais notavelmente na obra ''[[Os Elementos]]'' de [[Euclides]].<ref>{{Citar web|ultimo=Wise|primeiro=David|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|titulo=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|acessodata=18 de janeiro de 2024|website=[[Universidade da Geórgia]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|arquivodata=1 de junho de 2019|urlmorta=live}}</ref> Desde o seu início, a matemática foi dividida principalmente em [[geometria]] e [[aritmética]] (a manipulação de [[Número natural|números naturais]] e [[Fração|frações]]), até os séculos XVI e XVII, quando a [[álgebra]]{{Nre|Aqui, ''álgebra'' é tomada em seu sentido moderno, que é, grosso modo, a arte de manipular [[Fórmula (lógica)|fórmulas]].}} e o [[cálculo infinitesimal]] foram introduzidos como novos campos. Desde então, a interação entre inovações matemáticas e [[Cronologia das descobertas científicas|descobertas científicas]] levou a um aumento correlacionado no desenvolvimento de ambas.<ref>{{Citar periódico |título=The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of Mathematics? |data=setembro de 2011 |periódico=Isis |número=3 |ultimo=Alexander |primeiro=Amir |autorlink=Amir Alexander |paginas=475–480 |doi=10.1086/661620 |issn=0021-1753 |mr=2884913 |pmid=22073771 |volume=102}}</ref> No final do século XIX, a [[Fundamentos da matemática|crise fundamental da matemática]] levou à sistematização do [[Sistema axiomático|método axiomático]],<ref name="Kleiner_1991">{{Citar periódico |título=Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective |data=dezembro de 1991 |periódico=Mathematics Magazine |publicado=Taylor & Francis, Ltd. |número=5 |ultimo=Kleiner |primeiro=Israel |paginas=291–314 |doi=10.1080/0025570X.1991.11977625 |issn=0025-570X |jstor=2690647 |lccn=47003192 |mr=1141557 |oclc=1756877 |volume=64}}</ref> que anunciou um aumento dramático no número de áreas matemáticas e seus campos de aplicação.

== Etimologia ==
A palavra ''matemática'' vem do [[Língua grega antiga|grego antigo]] ''máthēma'' e significa "aquilo que se aprende",<ref name="EOD_n">{{Citar enciclopédia|ultimo=Harper|primeiro=Douglas|url=https://www.etymonline.com/word/mathematic|titulo=Mathematic (n.)|data=28 de março de 2019|acessodata=25 de janeiro de 2024|arquivourl=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0|arquivodata=7 de março de 2013|urlmorta=live}}</ref> "aquilo que se conhece", assim como "estudo" e "ciência". A palavra passou a ter o significado mais restrito e técnico de "estudo matemático" mesmo no [[Antiguidade Clássica|período clássico]].{{Nre|Este significado pode ser encontrado na obra ''República'' de Platão, Livro 6, Seção 510c.<ref>{{citar livro|autor =Plato |url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 |título=Republic, Book 6, Section 510c |urlmorta= não|arquivourl=https://web.archive.org/web/20210224152747/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 |arquivodata=24 de fevereiro de 2021 |acessodata=2 de fevereiro de 2024}}</ref> No entanto, Platão não usou uma palavra “matemática”; Aristóteles fez isto, comentando sobre isso.<ref>{{cite dictionary|last1=Liddell |first1=Henry George |author1-link=Henry Liddell |last2=Scott |first2=Robert |year=1940 |section=μαθηματική |title=A Greek–English Lexicon |publisher=[[Clarendon Press]] |access-date=2 de fevereiro de 2024}}</ref><ref>{{citar web|último =Harper |primeiro =Douglas |data=20 de abril de 2022 |website=[[Online Etymology Dictionary]] |título=Mathematics (n.) |url=https://www.etymonline.com/word/mathematics |acessodata=2 de fevereiro de 2024}}</ref>}} Seu [[adjetivo]] é ''mathēmatikós'' ({{Lang|grc|μαθηματικός}}), que significa "relacionado à aprendizagem" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático".<ref>{{Citar enciclopédia|ultimo=Harper|primeiro=Douglas|url=https://www.etymonline.com/word/mathematical|titulo=Mathematical (adj.)|data=22 de dezembro de 2018|acessodata=25 de janeiro de 2024|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221126170916/https://www.etymonline.com/word/mathematical|arquivodata=26 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref> Em particular, ''mathēmatikḗ tékhnē'' ({{Lang|grc|μαθηματικὴ τέχνη}}; {{Lang-la|ars mathematica}}) significava "a arte matemática".<ref name="EOD_n" />

Da mesma maneira, uma das duas principais [[escolas de pensamento]] do [[Escola pitagórica|pitagorismo]] era conhecida em grego antigo como ''mathēmatikoi'' (μαθηματικοί) {{Mdash}} que na época significava "alunos" ao invés do significado moderno dado ao termo "matemáticos". Os pitagóricos foram provavelmente os primeiros a restringir o uso da palavra apenas ao estudo da [[aritmética]] e da [[geometria]]. Na época de [[Aristóteles]] (384-322 a.C.) este significado foi totalmente estabelecido.<ref>{{Citar periódico |título=The Etymology of Mathematical Terms |data=1965 |periódico=[[Pi Mu Epsilon Journal]] |número=2 |ultimo=Perisho |primeiro=Margaret W. |paginas=62–66 |issn=0031-952X |jstor=24338341 |lccn=58015848 |oclc=1762376 |volume=4}}</ref>

Em [[latim]] até cerca de 1700, o termo ''matemática'' tinha como significado mais comum "[[astrologia]]" (ou às vezes "[[astronomia]]"); isto mudou gradualmente para o significado atual entre 1500 e 1800. Esta mudança resultou em vários erros de tradução: Por exemplo, a advertência de [[Agostinho de Hipona|Santo Agostinho]] de que os cristãos deveriam tomar cuidado com os ''mathematici'', que significa "astrólogos", às vezes é mal traduzida como uma condenação dos matemáticos.<ref name="Boas">{{Citar livro|título=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories|ultimo=Boas|primeiro=Ralph P.|editora=[[Mathematical Association of America]]|ano=1995|editor-sobrenome=Alexanderson|capitulo=What Augustine Didn't Say About Mathematicians|isbn=978-0-88385-323-8|lccn=94078313|oclc=633018890|autorlink=Ralph P. Boas Jr.|editor-sobrenome2=Mugler|editor-nome2=Dale H.}}</ref>

== Áreas da matemática ==
{{AP|Áreas da matemática}}
Antes do período do [[Renascimento]], a matemática era dividida em duas áreas principais: a [[aritmética]], a manipulação dos números, e a [[geometria]], o estudo das formas.<ref>{{Citar livro|título=The Development of Mathematics|ultimo=Bell|primeiro=E. T.|editora=Dover Publications|ano=1945|capitulo=General Prospectus|isbn=978-0-486-27239-9|lccn=45010599|oclc=523284|autorlink=Eric Temple Bell|edição=2nd}}</ref> Alguns tipos de [[pseudociência]], como a [[numerologia]] e a [[astrologia]], não eram então claramente distinguidas da matemática.<ref>{{Citar livro|título=Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science|ultimo=Tiwari|primeiro=Sarju|editora=Mittal Publications|ano=1992|capitulo=A Mirror of Civilization|isbn=978-81-7099-404-6|lccn=92909575|oclc=28115124|edição=1st|local-publicação=Nova Deli}}</ref>

Durante o período do [[Renascimento]], surgiram mais dois campos de estudo matemáticos. A [[Notação matemática|notação]] deu origem à [[álgebra]] que, a grosso modo, consiste no estudo e na manipulação de [[Fórmula (lógica)|fórmulas]]. O [[Cálculo infinitesimal|cálculo]], que consiste nos dois subcampos ''[[Cálculo diferencial|diferencial]]'' e ''[[integral]]'', é o estudo de [[Função contínua|funções contínuas]] que modelam as [[Sistema dinâmico não linear|relações tipicamente não lineares]] entre quantidades representadas por [[Variável (matemática)|variáveis]]. Esta divisão em quatro áreas principais {{Ndash}} aritmética, geometria, álgebra, cálculo<ref>{{Citar livro|título=Mathematics in Society and History|ultimo=Restivo|primeiro=Sal|editora=Kluwer Academic Publishers|ano=1992|editor-sobrenome=Bunge|editor-nome=Mario|editor-link=Mario Bunge|series=Episteme|volume=20|capitulo=Mathematics from the Ground Up|isbn=0-7923-1765-3|lccn=25709270|oclc=92013695}}</ref> {{Ndash}} perdurou até o final do século XIX. Áreas como [[mecânica celeste]] e [[mecânica dos sólidos]] eram então estudadas por matemáticos, mas agora são consideradas pertencentes à [[física]].<ref>{{Citar livro|título=Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics|ultimo=Musielak|primeiro=Dora|editora=Springer International Publishing|ano=2022|series=History of Physics|doi=10.1007/978-3-031-12322-1|isbn=978-3-031-12321-4|issn=2730-7549|oclc=1332780664|autorlink=Dora Musielak}}</ref> O tema da [[combinatória]] foi estudado durante grande parte da história registrada, mas não se tornou um ramo separado da matemática até o século XVII.<ref>{{Citar periódico |título=The roots of combinatorics |data=Maio de 1979 |periódico=Historia Mathematica |número=2 |ultimo=Biggs |primeiro=N. L. |paginas=109–136 |doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0 |issn=0315-0860 |lccn=75642280 |oclc=2240703 |volume=6 |doi-access=free}}</ref>

No final do século XIX, a [[Fundamentos da matemática|crise fundamental da matemática]] e a resultante sistematização do [[Sistema axiomático|método axiomático]] levaram a uma explosão de novas [[áreas da matemática]] nunca antes vista.<ref name="Warner_2013">{{Citar web|ultimo=Warner|primeiro=Evan|url=https://www.math.columbia.edu/~warner/notes/SplashTalk.pdf|titulo=Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics|acessodata=3 de fevereiro de 2024|publicado=[[Universidade Columbia]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230322165544/https://www.math.columbia.edu/~warner/notes/SplashTalk.pdf|arquivodata=22 de março de 2023|urlmorta=dead}}</ref><ref name="Kleiner_1991"/> A edição de 2020 da Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, contém nada menos que 63 áreas matemáticas consideradas de primeiro nível.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.ams.org/journals/notices/202003/rnoti-p410.pdf |título=Mathematics Subject Classification 2020 |data=Março de 2020 |acessodata=3 de fevereiro de 2024 |periódico=Notices of the American Mathematical Society |número=3 |ultimo=Dunne |primeiro=Edward |ultimo2=Hulek |primeiro2=Klaus |paginas=410–411 |doi=10.1090/noti2052 |issn=0002-9920 |lccn=sf77000404 |oclc=1480366 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20210803203928/https://www.ams.org/journals/notices/202003/rnoti-p410.pdf |arquivodata=3 de agosto de 2021 |volume=67 |doi-access=free}}</ref> Algumas delas correspondem à divisão mais antiga, como é o caso da [[teoria dos números]] e da geometria. Várias outras têm "geometria" em seus nomes ou são comumente consideradas parte da geometria. Álgebra e cálculo não aparecem como áreas de primeiro nível, mas são campos divididos em várias áreas. Outras áreas de primeiro nível surgiram durante o século XX ou não eram consideradas anteriormente como parte da matemática, como a [[Lógica matemática|lógica]] e os [[Fundamentos da matemática|fundamentos matemáticos]].<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

=== Teoria dos Números ===
{{AP|Teoria dos números}}
[[Ficheiro:Spirale_Ulam_150.jpg|miniaturadaimagem| Esta é a [[espiral de Ulam]], que ilustra a distribuição dos [[Número primo|números primos]]. As linhas diagonais escuras na espiral sugerem a hipótese de [[Independência (estatística)|independência]] aproximada entre ser primo e ser um valor de um [[polinômio]] quadrático, uma conjectura agora conhecida como [[Espiral de Ulam|Conjectura F de Hardy e Littlewood]].]]
A [[teoria dos números]] teve início com as primeiras manipulações dos [[Número natural|números naturais]] <math>(\mathbb{N})</math> e posteriormente expandiu-se para [[Número inteiro|números inteiros]] <math>(\Z)</math> e [[Número racional|números racionais]] <math>(\Q)</math>. Ela já foi chamada de aritmética, mas atualmente este termo é usado principalmente para se referir aos [[Análise numérica|cálculos numéricos]].<ref>{{Citar livro|título=Fundamentals of Number Theory|ultimo=LeVeque|primeiro=William J.|editora=Addison-Wesley Publishing Company|ano=1977|páginas=1–30|capitulo=Introduction|isbn=0-201-04287-8|lccn=76055645|oclc=3519779}}</ref> A teoria dos números remonta à antiga [[Matemática babilônica|Babilônia]] e provavelmente à [[História da China|China Antiga]]. Dois proeminentes teóricos deste campo de estudo matemático foram os gregos [[Euclides]] e [[Diofanto de Alexandria]].<ref>{{Citar livro|título=The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory|ultimo=Goldman|primeiro=Jay R.|editora=A K Peters|ano=1998|páginas=2–3|capitulo=The Founding Fathers|doi=10.1201/9781439864623|isbn=1-56881-006-7|lccn=94020017|oclc=30437959|local-publicação=Wellesley, MA}}</ref> O estudo moderno da teoria dos números na sua forma abstrata é amplamente atribuído a [[Pierre de Fermat]] e [[Leonhard Euler]], mas este campo se concretizou totalmente com as contribuições do francês [[Adrien-Marie Legendre]] e do alemão [[Carl Friedrich Gauss]].<ref>{{Citar livro|título=Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre|ultimo=Weil|primeiro=André|editora=Birkhäuser Boston|ano=1983|páginas=2–3|doi=10.1007/978-0-8176-4571-7|isbn=0-8176-3141-0|lccn=83011857|oclc=9576587|autorlink=André Weil}}</ref>

Muitos problemas numéricos têm soluções que requerem métodos sofisticados. Um exemplo proeminente é o [[Último Teorema de Fermat]], conjectura descrita no ano de 1637 por [[Pierre de Fermat]], mas que [[Resolução do último teorema de Fermat|foi provada]] apenas em 1994 por [[Andrew Wiles]], que usou ferramentas incluindo [[Esquema (matemática)|teoria de esquemas]] de [[geometria algébrica]], [[Teoria das categorias|teoria de categorias]] e [[álgebra homológica]].<ref>{{Citar periódico |título=From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem |data=março de 2000 |periódico=Elemente der Mathematik |número=1 |ultimo=Kleiner |primeiro=Israel |paginas=19–37 |doi=10.1007/PL00000079 |issn=0013-6018 |lccn=66083524 |oclc=1567783 |volume=55 |doi-access=free}}</ref> Outro exemplo é a [[Conjectura de Goldbach]], que afirma que todo número inteiro par maior que 2 é a soma de dois [[Número primo|números primos]]. Declarada em 1742 por [[Christian Goldbach]], permanece sem comprovação, apesar de esforços consideráveis.<ref>{{Citar livro|título=The Goldbach Conjecture|ultimo=Wang|primeiro=Yuan|editora=[[World Scientific]]|ano=2002|series=Series in Pure Mathematics|volume=4|páginas=1–18|doi=10.1142/5096|isbn=981-238-159-7|lccn=2003268597|oclc=51533750|edição=2nd}}</ref>

A teoria dos números abrange inúmeras subáreas, como [[teoria analítica dos números]], [[teoria algébrica dos números]], [[geometria dos números]] (orientada a métodos), [[Equação diofantina|equações diofantinas]] e [[teoria da transcendência]] (orientada a problemas).<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

=== Geometria ===
{{AP|Geometria}}
[[Ficheiro:Triangles_(spherical_geometry).jpg|miniaturadaimagem|Na superfície de uma esfera, a [[geometria euclidiana]] só se aplica como aproximação local. Para escalas maiores a soma dos ângulos de um triângulo não é igual a 180°.]]
A [[geometria]] é um dos ramos mais antigos da matemática e começou com receitas empíricas sobre formas, como [[Reta|linhas]], [[ângulo]]s e [[Circunferência|círculos]], que foram desenvolvidas principalmente para a [[Agrimensura|topografia]] e a [[arquitetura]], mas desde então floresceram em muitos outros subcampos.<ref name="Straume_2014">{{Citar arXiv|arxiv=1409.1140|classe=math.HO|nome=Eldar|sobrenome=Straume|titulo=A Survey of the Development of Geometry up to 1870|data=4 de setembro de 2014}}</ref>

Uma inovação fundamental foi a introdução, pelos antigos gregos, do conceito de [[Prova matemática|provas]], que exige que cada afirmação seja ''provada''. Por exemplo, não é suficiente verificar por [[medição]] que, digamos, dois comprimentos são iguais; sua igualdade deve ser provada através do raciocínio a partir de resultados previamente aceitos ([[teorema]]s) e de algumas afirmações básicas que não estão sujeitas a prova porque são evidentes ([[Axioma|postulados]]) ou que fazem parte da definição do objeto de estudo ([[axioma]]s). Este princípio, fundamental para toda a matemática, foi elaborado pela primeira vez para a geometria e foi sistematizado por [[Euclides]] por volta do ano 300 a.C. em sua obra ''[[Os Elementos]]''.<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=8ZBsAAAAMAAJ}}|título=The Foundations of Geometry|ultimo=Hilbert|primeiro=David|editora=Open Court Publishing Company|ano=1902|doi=10.1126/science.16.399.307|lccn=02019303|oclc=996838|autorlink=David Hilbert|acessodata=6 de fevereiro de 2024}} {{Acesso gratuito}}</ref><ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=EJCSL9S6la0C|p=9}}|título=Geometry: Euclid and Beyond|ultimo=Hartshorne|primeiro=Robin|editora=Springer New York|ano=2000|páginas=9–13|capitulo=Euclid's Geometry|isbn=0-387-98650-2|lccn=99044789|oclc=42290188|autorlink=Robin Hartshorne|acessodata=7 de fevereiro de 2024}}</ref>

A [[geometria euclidiana]] é o estudo das formas e seus arranjos [[Construções com régua e compasso|construídos]] a partir de retas, [[Plano (geometria)|planos]] e círculos no [[Plano (geometria)|plano]] e no [[espaço euclidiano]] tridimensional.{{Nre|Isso inclui [[Cónica|seções cônicas]]s, que são interseções de [[cilindro]]s circulares e planos.}}<ref name="Straume_2014">{{Citar arXiv|arxiv=1409.1140|classe=math.HO|nome=Eldar|sobrenome=Straume|titulo=A Survey of the Development of Geometry up to 1870|data=4 de setembro de 2014}}</ref> Foi desenvolvida sem mudança de métodos ou escopo até o século XVII, quando [[René Descartes]] introduziu o que hoje é chamado de [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]], o que constituiu uma grande [[mudança de paradigma]]: em vez de definir [[Número real|números reais]] como comprimentos de segmentos de reta (ver [[reta numérica]]), permitiu a representação de pontos usando suas ''coordenadas'', que são números. A álgebra (e mais tarde o cálculo) pode, portanto, ser usada para resolver problemas geométricos. A geometria foi dividida em dois novos subcampos: [[geometria sintética]], que utiliza métodos puramente geométricos, e [[geometria analítica]], que utiliza coordenadas sistemicamente.<ref>{{Citar livro|título=History of Analytic Geometry|ultimo=Boyer|primeiro=Carl B.|editora=[[Dover Publications]]|ano=2004|páginas=74–102|capitulo=Fermat and Descartes|isbn=0-486-43832-5|lccn=2004056235|oclc=56317813|autorlink=Carl B. Boyer}}</ref> A geometria analítica permite o estudo de [[curva]]s não relacionadas a círculos e linhas. Tais curvas podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou à [[geometria diferencial]]. Elas também podem ser definidas como [[Função implícita|equações implícitas]], muitas vezes [[Equação algébrica|equações polinomiais]] (que geraram a [[geometria algébrica]]). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.<ref name="Straume_2014" />

A [[geometria analítica]] permite o estudo das [[curva]]s não relacionadas a círculos e linhas que podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou ao surgimento da área da [[geometria diferencial]]. Tais curvas também podem ser definidas como [[Função implícita|equações implícitas]], muitas vezes [[Equação algébrica|equações polinomiais]] (que geraram a [[geometria algébrica]]). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.<ref name="Straume_2014">{{Citar arXiv|arxiv=1409.1140|classe=math.HO|nome=Eldar|sobrenome=Straume|titulo=A Survey of the Development of Geometry up to 1870|data=4 de setembro de 2014}}</ref>

No século XIX, os matemáticos descobriram [[Geometria não euclidiana|geometrias não euclidianas]], ou seja, que não seguem o [[postulado das paralelas]]. Ao questionar a verdade deste postulado, esta descoberta foi interpretada como uma adesão ao [[Paradoxo de Russell]] ao revelar a [[Fundamentos da matemática|crise fundamental da matemática]]. Este aspecto da crise foi resolvido por meio da sistematização do método axiomático e pela noção de que a verdade dos axiomas escolhidos, na verdade, não é um [[problema matemático]].<ref>{{Citar periódico |url=https://philpapers.org/archive/STURTU.pdf |título=Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900 |acessodata=8 de fevereiro de 2024 |periódico=Perspectives on Science |número=3 |ultimo=Stump |primeiro=David J. |ano=1997 |pagina=383&ndash;417 |doi=10.1162/posc_a_00532 |issn=1063-6145 |lccn=94657506 |oclc=26085129 |volume=5}}</ref><ref name="Kleiner_1991"/> Por sua vez, o método axiomático permite o estudo de diversas geometrias obtidas quer pela alteração dos axiomas, quer pela consideração de propriedades que [[Invariante|não mudam]] sob transformações específicas do [[Espaço matemático|espaço]].<ref>{{Citar web|ultimo=O'Connor|primeiro=J. J.|ultimo2=Robertson|primeiro2=E. F.|titulo=Non-Euclidean geometry|data=Fevereiro de 1996|acessodata=8 de fevereiro de 2024|publicação=Escócia|publicado=[[Universidade de St. Andrews]]|url=https://web.archive.org/web/20221106142807/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/|arquivodata=6 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref>

As subáreas atuais da geometria incluem:<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

* [[Geometria projetiva]], introduzida no século XVI por [[Girard Desargues]], estende a geometria euclidiana adicionando [[Ponto impróprio|pontos impróprios]] nos quais [[Paralelismo|linhas paralelas]] se cruzam. Isto simplifica muitos aspectos da geometria clássica, unificando os tratamentos para linhas paralelas e que se cruzam.
* [[Geometria afim]], o estudo das propriedades relativas ao [[paralelismo]] e independentes do conceito de comprimento.
* [[Geometria diferencial]], o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas por meio de [[Função diferenciável|funções diferenciáveis]].
* [[Variedade (matemática)|Teoria múltipla]], o estudo de formas que não estão necessariamente incorporadas em um espaço maior.
* [[Geometria de Riemann|Geometria riemanniana]], o estudo das propriedades de distância em espaços curvos.
* [[Geometria algébrica]], o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas por meio de [[Polinómio|polinômios]].
* [[Topologia (matemática)|Topologia]], estudo das propriedades que se mantêm sob [[Homotopia|deformações contínuas]].
** [[Topologia algébrica]], o uso em topologia de métodos algébricos, principalmente [[álgebra homológica]].
* [[Geometria discreta]], o estudo de configurações finitas em geometria.
* [[Geometria convexa]], estudo de [[Conjunto convexo|conjuntos convexos]].
* [[Geometria complexa]], a geometria obtida pela substituição de números reais por [[Número complexo|números complexos]].

=== Álgebra ===
{{AP|Álgebra}}
[[Ficheiro:Quadratic_formula.svg|miniaturadaimagem| A [[fórmula quadrática]], que expressa concisamente as soluções de todas as [[Equação quadrática|equações quadráticas]]]]
[[Ficheiro:Rubik's_cube.svg|miniaturadaimagem| O grupo [[Cubo de Rubik]] é uma aplicação concreta da [[teoria dos grupos]]<ref>{{Citar livro|título=Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys|ultimo=Joyner|primeiro=David|editora=[[Johns Hopkins University]]|ano=2008|páginas=219–232|capitulo=The (legal) Rubik's Cube group|isbn=978-0-8018-9012-3|lccn=2008011322|oclc=213765703|edição=2nd}}</ref>]]
A [[álgebra]] é a arte de manipular [[Equação|equações]] e fórmulas. [[Diofanto]] (século III) e [[Alcuarismi]] (século IX) foram os dois principais precursores deste campo de estudo matemático.<ref>{{Citar periódico |título=Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria |data=Maio de 2013 |periódico=Historia Mathematica |número=2 |ultimo=Christianidis |primeiro=Jean |ultimo2=Oaks |primeiro2=Jeffrey |paginas=127–163 |doi=10.1016/j.hm.2012.09.001 |issn=0315-0860 |lccn=75642280 |oclc=2240703 |volume=40 |doi-access=free}}</ref>{{Sfn|Kleiner|2007|loc="History of Classical Algebra" pp. 3–5}} O grego Diofanto resolveu algumas equações envolvendo números naturais desconhecidos ao deduzir novas relações até obter a solução. O persa Alcuarismi, por sua vez, introduziu métodos sistemáticos para transformar equações, como mover um termo de um lado de uma equação para o outro lado. O termo "''álgebra''" é derivado da palavra [[Língua árabe|árabe]] ''al-jabr'' que significa 'a reunião de partes quebradas' que ele usou para nomear um desses métodos no título de [[Livro da Restauração e do Balanceamento|seu tratado principal]].<ref>{{Citar web|ultimo=Lim|primeiro=Lisa|url=https://www.scmp.com/magazines/post-magazine/short-reads/article/2178856/where-x-we-use-algebra-came-and-x-xmas|titulo=Where the x we use in algebra came from, and the X in Xmas|data=21 de dezembro de 2018|acessodata=8 de fevereiro de 2024|website=[[South China Morning Post]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20181222003908/https://www.scmp.com/magazines/post-magazine/short-reads/article/2178856/where-x-we-use-algebra-came-and-x-xmas|arquivodata=22 de dezembro de 2018|urlmorta=live}}</ref>

A álgebra tornou-se uma área independente apenas com [[François Viète]] (1540-1603), que introduziu o uso de variáveis para representar números desconhecidos ou não especificados.<ref>{{Citar periódico |url=https://researchoutreach.org/wp-content/uploads/2019/02/Jeffrey-Oaks.pdf |título=François Viète's revolution in algebra |acessodata=8 de fevereiro de 2024 |periódico=Archive for History of Exact Sciences |número=3 |ultimo=Oaks |primeiro=Jeffery A. |ano=2018 |paginas=245–302 |doi=10.1007/s00407-018-0208-0 |issn=0003-9519 |lccn=63024699 |oclc=1482042 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221108162134/https://researchoutreach.org/wp-content/uploads/2019/02/Jeffrey-Oaks.pdf |arquivodata=8 de novembro de 2022 |volume=72}}</ref>

Até o século XIX, a álgebra consistia principalmente no estudo de [[Equação linear|equações lineares]] (atualmente [[álgebra linear]]) e de [[equações polinomiais]] em uma única [[Equação|incógnita]], que eram chamadas de ''[[equações algébricas]]'' (termo ainda em uso, embora possa ser ambíguo). Durante o século XIX, os matemáticos começaram a usar variáveis para representar outras coisas além dos números (como [[Matriz (matemática)|matrizes]], [[Aritmética modular|inteiros modulares]] e [[Transformação geométrica|transformações geométricas]]), nas quais generalizações de operações aritméticas são frequentemente válidas.{{Sfn|Kleiner|2007|loc="History of Linear Algebra" pp. 79–101}} O conceito de [[estrutura algébrica]] aborda isto, consistindo em um [[conjunto]] cujos elementos não são especificados, em operações que atuam sobre os elementos do conjunto e em regras que essas operações devem seguir. O escopo da álgebra cresceu assim para incluir o estudo de estruturas algébricas. Este objeto da álgebra foi denominado ''álgebra moderna'' ou [[álgebra abstrata]], conforme estabelecido pela influência e trabalhos da matemática alemã [[Emmy Noether]].<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=WdGbeyehoCoC|p=247}}|título=Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures|ultimo=Corry|primeiro=Leo|editora=Birkhäuser Basel|ano=2004|páginas=247–252|capitulo=Emmy Noether: Ideals and Structures|isbn=3-7643-7002-5|lccn=2004556211|oclc=51234417|autorlink=Leo Corry|acessodata=8 de fevereiro de 2024|edição=2ª revisada|local-publicação=Alemanha}}</ref>

Alguns tipos de estruturas algébricas têm propriedades úteis e muitas vezes fundamentais em muitas áreas da matemática. Seu estudo tornou-se parte autônoma da álgebra e inclui vários campos de estudos:<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

* [[Teoria dos grupos]];
* [[Corpo (matemática)|Teoria de campo]];
* [[Espaço vetorial|Espaços vetoriais]], cujo estudo é essencialmente igual ao da [[álgebra linear]];
* [[Teoria dos anéis]];
* [[Álgebra comutativa]], que é o estudo dos [[Anel comutativo|anéis comutativos]], inclui o estudo dos [[Polinómio|polinômios]] e é uma parte fundamental da [[geometria algébrica]];
* [[Álgebra homológica]];
* [[Álgebra de Lie]] e teoria dos [[Grupo de Lie|Grupos de Lie]];
* [[Álgebra booliana]], que é amplamente utilizada para o estudo da estrutura lógica de [[computador]]es.

O estudo de tipos de estruturas algébricas como [[Objeto matemático|objetos matemáticos]] é o propósito da [[álgebra universal]] e da [[teoria das categorias]].<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=ZoRN9T1GUVwC|p=3}}|título=Perspectives on Universal Logic|ultimo=Riche|primeiro=Jacques|editora=Polimetrica International Scientific Publisher|ano=2007|editor-sobrenome=Beziau|páginas=3–39|capitulo=From Universal Algebra to Universal Logic|isbn=978-88-7699-077-9|oclc=647049731|acessodata=8 de fevereiro de 2024|editor-sobrenome2=Costa-Leite|local-publicação=Milano, Italy}}</ref> Esta última se aplica a todas as estruturas matemáticas (não apenas às algébricas). Na sua origem foi introduzida juntamente com a [[álgebra homológica]] por permitir o estudo algébrico de objetos não algébricos como [[Espaço topológico|espaços topológicos]]; esta área específica de aplicação é chamada de [[topologia algébrica]].<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=41bHxtHxjUAC|pg=PR20}}|título=Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory|ultimo=Krömer|primeiro=Ralph|editora=Springer Science & Business Media|ano=2007|series=Science Networks - Historical Studies|volume=32|páginas=xxi–xxv, 1–91|isbn=978-3-7643-7523-2|lccn=2007920230|oclc=85242858|acessodata=8 de fevereiro de 2024|local-publicação=Alemanha}}</ref>

=== Cálculo e análise ===
{{AP|Cálculo infinitesimal|Análise matemática}}
[[Ficheiro:Cauchy_sequence_illustration.svg|miniaturadaimagem|Uma [[Sucessão de Cauchy|Sequência de Cauchy]] consiste em elementos tais que todos os termos subsequentes de um termo tornam-se arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que a sequência avança (da esquerda para a direita).]]
O [[cálculo]], anteriormente chamado de cálculo infinitesimal, foi introduzido de forma independente e simultânea por dois matemáticos do século XVII, [[Isaac Newton|Newton]] e [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]].<ref>{{Citar livro|título=The Oxford Handbook of Newton|ultimo=Guicciardini|primeiro=Niccolo|editora=[[Oxford University Press]]|ano=2017|editor-sobrenome=Schliesser|series=Oxford Handbooks|capitulo=The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730|doi=10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9|isbn=978-0-19-993041-8|oclc=975829354|autorlink=Niccolò Guicciardini|acessodata=9 de fevereiro de 2024|editor-sobrenome2=Smeenk|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221109163253/https://core.ac.uk/download/pdf/187993169.pdf|url=https://core.ac.uk/download/pdf/187993169.pdf|arquivodata=9 de novembro de 2022}}</ref> É fundamentalmente o estudo da relação de variáveis que dependem umas das outras. O cálculo foi expandido no século XVIII por [[Leonhard Euler|Euler]] com a introdução do conceito de [[Função (matemática)|função]] e muitos outros resultados.<ref>{{Citar web|ultimo=O'Connor|primeiro=J. J.|ultimo2=Robertson|primeiro2=E. F.|titulo=Leonhard Euler|data=Setembro de 1998|acessodata=9 de fevereiro de 2024|editor=MacTutor|publicação=Escócia|publicado=[[Universidade de St. Andrews]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221109164921/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/|arquivodata=9 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref>

Atualmente, “cálculo” refere-se principalmente à parte elementar desta teoria, e “análise” é comumente usada para partes avançadas. A análise é subdividida em [[análise real]], onde as variáveis representam [[Número real|números reais]], e [[análise complexa]], onde as variáveis representam [[Número complexo|números complexos]]. Ela inclui muitas subáreas compartilhadas por outras áreas da matemática como:<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

* [[Cálculo com múltiplas variáveis|Cálculo multivariável]];
* [[Análise funcional]], onde variáveis representam funções variáveis;
* [[Integral|Integração]], [[Medida (matemática)|teoria da medida]] e [[teoria do potencial]], todas fortemente relacionadas com a [[teoria das probabilidades]] num [[Número real|continuum]];
* [[Equação diferencial ordinária|Equações diferenciais ordinárias]];
* [[Equação diferencial parcial|Equações diferenciais parciais]];
* [[Análise numérica]], dedicada principalmente ao cálculo em computadores de soluções de equações diferenciais ordinárias e parciais que surgem em muitas aplicações.

=== Matemática discreta ===
{{AP|Matemática discreta}}
[[Ficheiro:Markovkate_01.svg|direita|miniaturadaimagem| Um diagrama representando uma [[Cadeias de Markov|cadeia de Markov]] de dois estados. Os estados são representados por 'A' e 'E'. Os números são a probabilidade de inverter o estado.]]
A [[matemática discreta]], em termos gerais, é o estudo de objetos matemáticos individuais e [[Conjunto contável|contáveis]].<ref>{{Citar periódico |url=https://scholarship.claremont.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1334&context=jhm |título=Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics |data=Julho de 2017 |acessodata=9 de fevereiro de 2024 |periódico=Journal of Humanistic Mathematics |número=2 |ultimo=Franklin |primeiro=James |autorlink=James Franklin (philosopher) |paginas=355–378 |doi=10.5642/jhummath.201702.18 |issn=2159-8118 |lccn=2011202231 |oclc=700943261 |volume=7 |doi-access=free}}</ref> Como os objetos de estudo aqui são discretos, os métodos de cálculo e análise matemática não se aplicam diretamente.{{Nre|No entanto, alguns métodos avançados de análise são por vezes utilizados; por exemplo, métodos de [[análise complexa]] aplicados à [[função geradora]].}} [[Algoritmo]]s {{Mdash}} especialmente sua [[Implementação de software|implementação]] e [[complexidade computacional]] {{Mdash}} desempenham um papel importante na matemática discreta.<ref>{{Citar livro|título=Discrete Mathematics in the Schools|ultimo=Maurer|primeiro=Stephen B.|editora=[[American Mathematical Society]]|ano=1997|editor-sobrenome=Rosenstein|series=DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science|volume=36|páginas=121–124|capitulo=What is Discrete Mathematics? The Many Answers|doi=10.1090/dimacs/036/13|isbn=0-8218-0448-0|issn=1052-1798|lccn=97023277|oclc=37141146|acessodata=9 de fevereiro de 2024|editor-sobrenome2=Franzblau|editor-sobrenome3=Roberts|editor-link3=Fred S. Roberts}}</ref>

O [[teorema das quatro cores]] e a [[conjectura de Kepler]] foram dois grandes problemas da matemática discreta resolvidos na segunda metade do século XX.<ref>{{Citar livro|título=Turing's Legacy|ultimo=Hales|primeiro=Thomas C.|editora=[[Cambridge University Press]]|ano=2014|editor-sobrenome=Downey|editor-nome=Rod|editor-link=Rod Downey|series=Lecture Notes in Logic|volume=42|páginas=260–261|capitulo=Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic|doi=10.1017/CBO9781107338579.001|isbn=978-1-107-04348-0|lccn=2014000240|oclc=867717052|autorlink=Thomas Callister Hales|acessodata=9 de fevereiro de 2024}}</ref> O [[P versus NP|problema P versus NP]], que permanece não solucionado até os dias atuais, também é importante para a matemática discreta, uma vez que sua solução impactaria potencialmente um grande número de problemas [[Análise de algoritmos|computacionalmente difíceis]].<ref>{{Citar conferência |ultimo=Sipser |primeiro=Michael |autorlink=Michael Sipser |titulo=The History and Status of the P versus NP Question |data=Julho de 1992 |paginas=603–618 |conferencia=STOC '92: Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Theory of Computing |doi=10.1145/129712.129771}}</ref>

A matemática discreta inclui:<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

* [[Combinatória]], a arte de enumerar objetos matemáticos que satisfazem algumas restrições. Originalmente, estes objetos eram elementos ou [[subconjunto]]s de um determinado [[conjunto]]; isto foi estendido a vários objetos, o que estabelece uma forte ligação entre a combinatória e outras partes da matemática discreta. Por exemplo, a [[geometria discreta]] inclui a contagem de configurações de [[Forma (figura)|formas geométricas]];
* [[Teoria dos grafos]] e [[hipergrafo]]s;
* [[Teoria de códigos|Teoria da codificação]], incluindo [[Código de correção de erro|códigos de correção de erros]] e uma parte da [[criptografia]];
* Teoria [[matróide]];
* [[Geometria discreta]];
* [[Distribuição de probabilidade|Distribuições de probabilidade discretas]];
* [[Teoria dos jogos]] (embora os jogos contínuos também sejam estudados, os jogos mais comuns, como [[xadrez]] e [[pôquer]], são discretos);
* Otimização discreta, incluindo [[otimização combinatória]], [[programação inteira]], [[Programação por restrições|programação com restrições]].

=== Lógica matemática e teoria dos conjuntos ===
{{AP|Lógica matemática|Teoria dos conjuntos}}
[[Ficheiro:Venn_A_intersect_B.svg|miniaturadaimagem|O [[diagrama de Venn]] é um método comumente usado para ilustrar as relações entre [[conjuntos]].]]
A disciplinas de [[lógica matemática]] e [[teoria dos conjuntos]] pertencem à matemática desde o final do século XIX.<ref name="Ewald_2018">{{Citar web|ultimo=Ewald|primeiro=William|url=https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/|titulo=The Emergence of First-Order Logic|data=17 de novembro de 2018|acessodata=2 de novembro de 2022|website=Stanford Encyclopedia of Philosophy|arquivourl=https://web.archive.org/web/20210512135148/https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/|arquivodata=12 de maio de 2021|urlmorta=live}}</ref><ref name="Ferreirós_2020">{{Citar web|ultimo=Ferreirós|primeiro=José|url=https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/|titulo=The Early Development of Set Theory|data=18 de junho de 2020|acessodata=2 de novembro de 2022|website=Stanford Encyclopedia of Philosophy|arquivourl=https://web.archive.org/web/20210512135148/https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/|arquivodata=12 de maio de 2021|urlmorta=live}}</ref> Antes deste período, os [[conjuntos]] não eram considerados objetos matemáticos, e a [[lógica]], embora usada em [[Prova matemática|provas matemáticas]], pertencia à [[filosofia]] e não era estudada especificamente pelos matemáticos.<ref>{{Citar periódico |url=https://idus.us.es/xmlui/bitstream/11441/38373/1/The%20road%20to%20modern%20logic.pdf |título=The Road to Modern Logic—An Interpretation |data=2001 |acessodata=11 de novembro de 2022 |periódico=Bulletin of Symbolic Logic |número=4 |ultimo=Ferreirós |primeiro=José |paginas=441–484 |doi=10.2307/2687794 |jstor=2687794 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20230202133703/https://idus.us.es/bitstream/handle/11441/38373/The%20road%20to%20modern%20logic.pdf?sequence=1 |arquivodata=2 de fevereiro de 2023 |volume=7}}</ref>

Antes do estudo de [[Georg Cantor|Cantor]] sobre [[Conjunto infinito|conjuntos infinitos]], os matemáticos relutavam em considerar coleções [[Infinito atual|realmente infinitas]] e consideravam o [[infinito]] o resultado de [[Enumeração|uma enumeração]] infinita. O trabalho de Cantor ofendeu muitos matemáticos não apenas por considerar conjuntos realmente infinitos,<ref>{{Citar web|ultimo=Wolchover|primeiro=Natalie|autorlink=Natalie Wolchover|url=https://www.scientificamerican.com/article/infinity-logic-law/|titulo=Dispute over Infinity Divides Mathematicians|data=3 de dezembro de 2013|acessodata=1 de novembro de 2022|website=[[Scientific American]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221102011848/https://www.scientificamerican.com/article/infinity-logic-law/|arquivodata=2 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref> mas por mostrar que isto implica em diferentes tamanhos de infinito, de acordo com o [[argumento de diagonalização de Cantor]].<ref>{{Citar web|ultimo=Zhuang|primeiro=C.|url=https://philarchive.org/archive/ZHUWAO|titulo=Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument|acessodata=18 de novembro de 2022|website=PhilArchive}}</ref> Esta se tornou a crise fundamental da matemática.<ref>{{Citar web|ultimo=Avigad|primeiro=Jeremy|autorlink=Jeremy Avigad|ultimo2=Reck|primeiro2=Erich H.|url=https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/infinite.pdf|titulo="Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory|data=11 de dezembro de 2001|acessodata=12 de novembro de 2022|website=Carnegie Mellon Technical Report CMU-PHIL-120|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221009074025/https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/infinite.pdf|arquivodata=9 de outubro de 2022|urlmorta=live}}</ref> Posteriormente, este problema foi resolvido na matemática convencional, ao sistematizar o método axiomático dentro de uma [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel|teoria de conjuntos formalizada]]. A grosso modo, cada objeto matemático é definido pelo conjunto de todos os objetos semelhantes e pelas propriedades que esses objetos devem ter.<ref name="Warner_2013"/> Por exemplo, na [[Axiomas de Peano|aritmética de Peano]], os [[números naturais]] são definidos por "zero é um número", "cada número tem um sucessor único", "cada número exceto zero tem um antecessor único" e algumas regras de [[raciocínio]].<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=OXfmTHXvRXMC|p=3}}|título=Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics|ultimo=Hamilton|primeiro=Alan G.|editora=Cambridge University Press|ano=1982|páginas=3–4|isbn=978-0-521-28761-6|acessodata=12 de novembro de 2022}}</ref> Esta [[Abstração (matemática)|abstração matemática]] da realidade está incorporada na filosofia moderna do [[Objeto formal|formalismo]], fundada por [[David Hilbert]] por volta de 1910.<ref name="Snapper">{{Citar periódico |título=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |data=Setembro de 1979 |periódico=Mathematics Magazine |número=4 |ultimo=Snapper |primeiro=Ernst |autorlink=Ernst Snapper |paginas=207–216 |doi=10.2307/2689412 |jstor=2689412 |volume=52}}</ref>

A "natureza" dos objetos definidos desta forma é um problema filosófico que os matemáticos deixam para os filósofos, mesmo que muitos matemáticos tenham opiniões{{Mdash}} por vezes chamada de "intuições" {{Mdash}} sobre isto e as usem para orientar o seu estudo e provas. A abordagem permite considerar "lógicas" (isto é, conjuntos de regras de dedução permitidas), teoremas, provas, etc, como objetos matemáticos e, assim, provar teoremas sobre eles. Por exemplo, os [[teoremas da incompletude de Gödel]] afirmam, a grosso modo, que, em todo [[sistema formal]] [[Consistência|consistente]] que contém os números naturais, existem teoremas que são verdadeiros (que são demonstráveis num sistema mais forte), mas não demonstráveis dentro do sistema.<ref name="Raatikainen_2005">{{Citar periódico |url=https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |título=On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems |data=Outubro de 2005 |acessodata=12 de novembro de 2022 |periódico=Revue Internationale de Philosophie |número=4 |ultimo=Raatikainen |primeiro=Panu |paginas=513–534 |doi=10.3917/rip.234.0513 |jstor=23955909 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221112212555/https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |arquivodata=12 de novembro de 2022 |volume=59}}</ref> Esta abordagem aos fundamentos da matemática foi desafiada durante a primeira metade do século XX por matemáticos liderados por [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]], que promoveram a [[lógica intuicionista]], que carece explicitamente da [[lei do terceiro excluído]].<ref>{{Citar web|ultimo=Moschovakis|primeiro=Joan|autorlink=Joan Moschovakis|url=https://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/|titulo=Intuitionistic Logic|data=4 de setembro de 2018|acessodata=12 de novembro de 2022|website=Stanford Encyclopedia of Philosophy|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221216154821/https://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/|arquivodata=16 de dezembro de 2022|urlmorta=live}}</ref><ref>{{Citar periódico |título=At the Heart of Analysis: Intuitionism and Philosophy |periódico=Philosophia Scientiæ, Cahier spécial 6 |ultimo=McCarty |primeiro=Charles |ano=2006 |paginas=81–94 |doi=10.4000/philosophiascientiae.411 |doi-access=free}}</ref> Estes problemas e debates acadêmicos levaram a uma ampla expansão da abrangência da lógica matemática, com o surgimento de subáreas como [[teoria dos modelos]] (modelagem de algumas teorias lógicas dentro de outras teorias), [[teoria da prova]], [[teoria dos tipos]], [[teoria da computabilidade]] e [[teoria da complexidade computacional]].<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref> Embora estes aspectos da lógica matemática tenham sido introduzidos antes do surgimento dos [[computador]]es, a sua utilização no design de [[compilador]]es, [[Programa de computador|certificação de programas]] e outros aspectos da [[ciência da computação]], contribuíram para a expansão destas teorias lógicas.<ref>{{Citar web|ultimo=Halpern|primeiro=Joseph|ultimo2=Harper|primeiro2=Robert|url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf|titulo=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science|data=2001|acessodata=15 de janeiro de 2021|arquivourl=https://web.archive.org/web/20210303115643/https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf|arquivodata=3 de março de 2021|urlmorta=live|ultimo3=Immerman|primeiro3=Neil|ultimo4=Kolaitis|primeiro4=Phokion|ultimo5=Vardi|primeiro5=Moshe|ultimo6=Vianu|primeiro6=Victor}}</ref>

=== Estatísticas e outras ciências de decisão ===
{{AP|Estatística}}
[[Ficheiro:IllustrationCentralTheorem.png|miniaturadaimagem|Qualquer que seja a forma de uma [[Distribuição de probabilidade|distribuição]] populacional aleatória (μ), a média amostral (x̄) tende para uma distribuição gaussiana e sua [[variância]] (σ) é dada pelo [[teorema central do limite]] da [[teoria das probabilidades]].<ref>{{Citar livro|url=http://www.incertitudes.fr/book.pdf|título=Probability, Statistics and Estimation|ultimo=Rouaud|primeiro=Mathieu|data=Abril de 2017|acessodata=13 de fevereiro de 2024|arquivourl=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.incertitudes.fr/book.pdf|arquivodata=9 de outubro de 2022}}</ref>]]

O campo de estudo da [[estatística]] é uma aplicação matemática empregada para a coleta e o processamento de amostras de dados, por meio do uso de procedimentos baseados em métodos matemáticos, especialmente a [[teoria das probabilidades]]. Os estatísticos geram dados com experimentos ou [[Amostragem (estatística)|amostragem aleatória]],<ref>{{Citar livro|título=Statistics and Truth: Putting Chance to Work|ultimo=Rao|primeiro=C. Radhakrishna|editora=World Scientific|ano=1997|páginas=3–17, 63–70|isbn=981-02-3111-3|lccn=97010349|mr=1474730|oclc=36597731|edição=2nd}}</ref> cujo desenho determina os métodos analíticos que serão utilizados. A análise dos dados de [[Ciência observacional|estudos observacionais]] é feita pela utilização de [[Modelo estatístico|modelos estatísticos]] e da teoria da [[Inferência estatística|inferência]], por meio de modelos de seleção e [[Teoria da estimativa|estimativa]]. Os modelos e as [[Método científico|previsões]] consequentes devem então ser [[Testes de hipóteses|testados]] em relação a [[Método científico|novos dados]].{{Nre|Como outras ciências matemáticas, como [[física]] e [[ciência da computação]], a estatística é uma disciplina autônoma e não um ramo da matemática aplicada. Assim como os físicos pesquisadores e os cientistas da computação, os estatísticos pesquisadores são cientistas matemáticos. Muitos estatísticos são formados em matemática e alguns estatísticos também são matemáticos.}}

A teoria estatística estuda [[Teoria da decisão|problemas de decisão]] como a minimização do [[Risco (administração)|risco]] de uma ação estatística ao usar um [[Estatística|procedimento]], por exemplo, [[Teoria da estimativa|estimativa de parâmetros]], [[Testes de hipóteses|teste de hipóteses]] e [[algoritmo de seleção|seleção de algoritimos]]. Nestas áreas tradicionais da [[estatística matemática]], um problema de decisão estatística é formulado minimizando uma [[função de perda]] sob restrições específicas. Por exemplo, conceber uma pesquisa estatística frequentemente envolve minimizar o custo de estimar a média da população com alguma confiança.<ref name="RaoOpt">{{Citar livro|título=Mathematical programming in statistics|ultimo=Rao|primeiro=C. Radhakrishna|editora=Wiley|ano=1981|editor-sobrenome=Arthanari|series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics|localização=New York|páginas=vii–viii|capitulo=Foreword|isbn=978-0-471-08073-2|lccn=80021637|mr=607328|oclc=6707805|editor-sobrenome2=Dodge|editor-link2=Yadolah Dodge}}</ref> Devido ao uso da [[otimização]], a teoria estatística se sobrepõe a outras [[Teoria da decisão|ciências da decisão]], como a [[Investigação operacional|pesquisa operacional]], a [[teoria do controle]] e a [[economia matemática]].{{Sfn|Whittle|1994|pp=10–11, 14–18}}

=== Matemática computacional ===
{{AP|Matemática computacional}}
A [[matemática computacional]] é o estudo de [[Problema matemático|problemas matemáticos]] que normalmente são grandes demais para a capacidade numérica dos seres humanos.<ref>{{Citar web|ultimo=Marchuk|primeiro=Gurii Ivanovich|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Computational_mathematics/|titulo=G I Marchuk's plenary: ICM 1970|data=abril de 2020|acessodata=13 de novembro de 2022|publicado=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221113155409/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Computational_mathematics/|arquivodata=13 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref><ref>{{citar conferência|título=Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science |último1 =Johnson |primeiro1 =Gary M. |último2 =Cavallini |primeiro2 =John S. |conferencia=Singapore Supercomputing Conference'90: Supercomputing For Strategic Advantage |data=Setembro de 1991 |página=28 |lccn=91018998 |publicado=World Scientific |editor-nome1 =Kang Hoh |editor-sobrenome1 =Phua |editor-nome2 =Kia Fock |editor-sobrenome2 =Loe | url={{GBurl|id=jYNIDwAAQBAJ|p=28}} |acessodata=13 de novembro de 2022 }}</ref> A [[análise numérica]] estuda métodos para problemas de [[Análise matemática|análise]] utilizando a [[análise funcional]] e a [[Teoria da aproximação|teoria de aproximação]]; a análise numérica inclui o estudo de [[aproximação]] e [[discretização]] com foco especial em [[Erro de arredondamento|erros de arredondamento]].<ref>{{citar livro|último =Trefethen |primeiro =Lloyd N. |editor-sobrenome1 =Gowers |editor-nome1 =Timothy |editor-sobrenome2 =Barrow-Green |editor-nome2 =June |editor2-link=June Barrow-Green |editor-sobrenome3 =Leader |editor-nome3 =Imre |ano=2008 |capítulo=Numerical Analysis |páginas=604–615 |título=The Princeton Companion to Mathematics |publicado=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-11880-2 |lccn=2008020450 |mr=2467561 |oclc=227205932 |url=http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf |urlmorta= não|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230307054158/http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf |arquivodata=7 de março de 2023 |acessodata=15 de fevereiro de 2024}}</ref>

== História ==
{{AP|História da matemática}}

=== Antiguidade ===
[[Imagem:Plimpton_322.jpg|miniaturadaimagem| A tabuleta matemática babilônica ''[[Plimpton 322]]'', datada de 1800 a.C.]]
[[Imagem:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|[[Papiro de Rhind]], um documento antigo contendo [[Problema matemático|problemas matemáticos]]]]

A [[história da matemática]] é uma série cada vez maior de [[Abstração (matemática)|abstrações]]. Evolutivamente falando, a primeira abstração a ser descoberta, compartilhada por muitos animais,<ref>{{Citar periódico |título=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |data=Agosto de 1998 |periódico=Trends in Neurosciences |número=8 |ultimo=Dehaene |primeiro=Stanislas |ultimo2=Dehaene-Lambertz |primeiro2=Ghislaine |paginas=355–361 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |ultimo3=Cohen |primeiro3=Laurent |volume=21}}</ref> foi provavelmente a dos [[números]]: a constatação de que, por exemplo, uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (digamos) têm algo em comum, nomeadamente que existem ''duas'' delas. Além de reconhecerem como [[Contagem (matemática)|contar]] objetos físicos, os povos [[Pré-história|pré-históricos]] também podem ter sabido contar quantidades abstratas, como o [[tempo]] {{Mdash}} [[dias]], [[Estação do ano|estações]] ou [[ano]]s.<ref>See, for example, {{Citar livro|título=Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study|ultimo=Wilder|primeiro=Raymond L.|autorlink=Raymond L. Wilder}}</ref><ref>{{Citar livro|título=Africa Counts: Number and Pattern in African Culture.|ultimo=Zaslavsky|primeiro=Claudia|data=1999|editora=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|autorlink=Claudia Zaslavsky}}</ref>

As primeiras evidências de matemática mais complexa só começam a aparecer por volta de 3.000 a.C., quando os povos [[Civilização babilônica|babilônios]] e [[Antigo Egito|egípcios]] iniciam o uso de [[aritmética]], [[álgebra]] e [[geometria]] para estimar seus impostos e fazer outros cálculos financeiros voltados para construção e astronomia.{{Sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} Os textos matemáticos mais antigos da [[Mesopotâmia]] e do [[Antigo Egito|Egito]] datam de 2000 a.C. a 1800 a.C.. Muitos textos antigos mencionam [[Terno pitagórico|triplos pitagóricos]] e assim, por inferência, o [[teorema de Pitágoras]] parece ser o conceito matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e geometria básicas. É na [[matemática babilônica]] que a [[aritmética elementar]] ([[adição]], [[subtração]], [[multiplicação]] e [[divisão]]) aparece pela primeira vez no [[registro arqueológico]]. Os babilônios também possuíam um sistema de valor posicional e usavam um [[sistema de numeração]] [[Sistema de numeração sexagesimal|sexagesimal]] que ainda é usado atualmente para medir [[ângulo]]s e o tempo.{{Sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" pp. 24–27}}

No [[século VI a.C.]], a [[matemática grega]] começou a emergir como uma disciplina distinta e alguns [[Grécia Antiga|gregos antigos]], como os [[Escola pitagórica|pitagóricos]], pareciam tê-la considerado um assunto por direito próprio.<ref>{{Citar livro|url=https://archive.org/details/historyofgreekma0002heat/page/n14|título=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid|ultimo=Heath|primeiro=Thomas Little|data=1981|editora=Dover Publications|localização=New York|isbn=978-0-486-24073-2}}</ref> Por volta do ano 300 a.C., [[Euclides]] organizou o conhecimento matemático por meio de postulados e primeiros princípios, que evoluíram para o método axiomático usado atualmente na matemática, que consiste em definição, axioma, teorema e prova matemáticas.<ref>{{Citar periódico |título=Euclid's Elements and the Axiomatic Method |data=1969 |periódico=The British Journal for the Philosophy of Science |número=4 |ultimo=Mueller |primeiro=I. |paginas=289–309 |doi=10.1093/bjps/20.4.289 |issn=0007-0882 |jstor=686258 |volume=20}}</ref> Sua obra, ''[[Os Elementos]]'', é amplamente considerada o [[livro didático]] de maior sucesso e influência de todos os tempos.{{Sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} O maior matemático da antiguidade é frequentemente considerado [[Arquimedes]] ({{Circa|287|212 BC}}) de [[Siracusa]].{{Sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 120}} Ele desenvolveu fórmulas para calcular a área superficial e o volume de [[Sólido de revolução|sólidos de revolução]] e usou o [[método da exaustão]] para calcular a [[área]] sob o arco de uma [[parábola]] com a [[Série (matemática)|soma de uma série infinita]], de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno.{{Sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 130}} Outras conquistas notáveis da matemática grega são [[Cónica|seções cônicas]] ([[Apolônio de Perga]], século III a.C.),{{Sfn|Boyer|1991|loc="Apollonius of Perga" p. 145}} [[trigonometria]] ([[Hiparco|Hiparco de Nicéia]], século II a.C.){{Sfn|Boyer|1991|loc="Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162}} e os primórdios da álgebra ([[Diofanto]], século III d.C.).{{Sfn|Boyer|1991|loc="Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180}}
[[Ficheiro:Bakhshali_numerals_2.jpg|direita|miniaturadaimagem| Os numerais usados no [[Manuscrito Bakhshali]], datados entre o século II a.C. e o século II d.C.]]

O [[Sistema numérico hindu-arábico|sistema de numeração hindu-arábico]] e as regras para o uso de suas operações, em uso atualmente em todo o planeta, evoluíram no decorrer do [[primeiro milênio]] na [[Matemática indiana|Índia]] e foram transmitidos ao [[mundo ocidental]] através da [[matemática islâmica]].<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=Sl_6BPp7S0AC|pg=IA19}}|título=Number Theory and Its History|ultimo=Ore|primeiro=Øystein|editora=Courier Corporation|ano=1988|páginas=19–24|isbn=978-0-486-65620-5|autorlink=Øystein Ore|acessodata=14 de novembro de 2022}}</ref> Outros desenvolvimentos notáveis da [[matemática indiana]] incluem a moderna definição e aproximação de [[seno]] e [[cosseno]], além de uma forma inicial de [[Série (matemática)|séries infinitas]].<ref>{{Citar periódico |título=On the Use of Series in Hindu Mathematics |data=Janeiro de 1936 |periódico=Osiris |ultimo=Singh |primeiro=A. N. |paginas=606–628 |doi=10.1086/368443 |jstor=301627 |volume=1}}</ref><ref>{{Citar livro|título=Studies in Indian Mathematics and Astronomy|ultimo=Kolachana|primeiro=A.|ultimo2=Mahesh|primeiro2=K.|ultimo3=Ramasubramanian|primeiro3=K.|editora=Springer|ano=2019|series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|páginas=438–461|capitulo=Use of series in India|doi=10.1007/978-981-13-7326-8_20|isbn=978-981-13-7325-1|local-publicação=Singapore}}</ref>

=== Medieval e posterior ===
[[Ficheiro:Image-Al-Kitāb_al-muḫtaṣar_fī_ḥisāb_al-ğabr_wa-l-muqābala.jpg|miniaturadaimagem| Uma página da obra ''Álgebra'' de [[Alcuarismi]]]]
Durante a [[Idade de ouro islâmica|Idade de Ouro Islâmica]], especialmente durante os séculos IX e X, a [[matemática islâmica]] desenvolveu várias inovações importantes baseadas na [[matemática grega]]. A conquista mais notável da matemática islâmica foi o desenvolvimento da [[álgebra]]. Outras conquistas do período islâmico incluem avanços na [[trigonometria esférica]] e a adição do [[Separador decimal|ponto decimal]] ao [[Algarismos arábicos|sistema de numeração arábico]].<ref>{{Citar livro|título=A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam|ultimo=Saliba|primeiro=George|data=1994|editora=New York University Press|isbn=978-0-8147-7962-0|oclc=28723059|autorlink=George Saliba}}</ref> Muitos matemáticos notáveis deste período eram persas, como [[Alcuarismi]], [[Omar Caiam]] e [[Xarafadim de Tus]].<ref>{{Citar periódico |url=https://eric.ed.gov/?id=EJ854295 |título=Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise |acessodata=14 de novembro de 2022 |periódico=International Education Journal |publicado=Shannon Research Press |número=4 |ultimo=Faruqi |primeiro=Yasmeen M. |ano=2006 |paginas=391–399 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221114165547/https://eric.ed.gov/?id=EJ854295 |arquivodata=14 de novembro de 2022 |volume=7}}</ref> Os textos matemáticos gregos e árabes foram, por sua vez, traduzidos para o [[latim]] durante a [[Idade Média]] e reintroduzidos na [[Europa]].<ref>{{Citar periódico |url=https://epub.ub.uni-muenchen.de/15929/1/greek-arabic-latin.pdf |título=Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages |data=Junho de 2001 |acessodata=5 de dezembro de 2022 |periódico=Science in Context |publicado=Cambridge University Press |número=1–2 |ultimo=Lorch |primeiro=Richard |paginas=313–331 |doi=10.1017/S0269889701000114 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221217160922/https://epub.ub.uni-muenchen.de/15929/1/greek-arabic-latin.pdf |arquivodata=17 de dezembro de 2022 |volume=14}}</ref>

No início da [[Idade Moderna]], a matemática começou a desenvolver-se em ritmo acelerado na [[Europa Ocidental]], com inovações revolucionárias, como a introdução de [[Variável (matemática)|variáveis]] e da [[Matemática|notação simbólica]] pelo francês [[François Viète]] (1540–1603), a introdução de [[logaritmos]] pelo escocês [[John Napier]] em 1614, que simplificou bastante os cálculos numéricos, especialmente para [[astronomia]] e [[navegação marítima]], a introdução de [[Sistema de coordenadas|coordenadas]] pelo francês [[René Descartes]] (1596-1650) para reduzir a geometria à álgebra, além do desenvolvimento do cálculo pelo inglês [[Isaac Newton]] (1642-1726/27) e pelo alemão [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646–1716). O suíço [[Leonhard Euler]] (1707-1783), o mais notável matemático do século XVIII, unificou todas estas inovações com uma terminologia padronizada e completou-as com a descoberta e a prova de vários teoremas.<ref name="volumes">{{citar periódico|sobrenome= Finkel|nome= B.F.|ano= 1897|título= Biography- Leonard Euler|periódico= The American Mathematical Monthly|volume= 4|número= 12|páginas= 300}}</ref>
[[Ficheiro:Carl_Friedrich_Gauss_1840_by_Jensen.jpg|miniaturadaimagem|[[Carl Friedrich Gauss|Carlos Friedrich Gauss]]]]

Talvez o principal matemático do século XIX tenha sido o alemão [[Carl Gauss]], conhecido por ter feito inúmeras contribuições nos mais variados campos, como [[álgebra]], [[análise]], [[geometria diferencial]], [[Matriz (matemática)|teoria das matrizes]], [[teoria dos números]] e [[estatística]].<ref>{{Citar periódico |título=History of Mathematics After the Sixteenth Century |data=Janeiro de 1949 |periódico=The American Mathematical Monthly |número=1 |ultimo=Archibald |primeiro=Raymond Clare |autorlink=Raymond Clare Archibald |series=Part 2: Outline of the History of Mathematics |paginas=35–56 |doi=10.2307/2304570 |jstor=2304570 |volume=56}}</ref> Já no início do século XX, o austríaco [[Kurt Gödel]] transformou a matemática ao publicar os seus [[Teoremas da incompletude de Gödel|teoremas da incompletude]], que mostram em parte que qualquer sistema axiomático consistente {{Mdash}} se for suficientemente poderoso para descrever a aritmética {{Mdash}} conterá proposições verdadeiras que não podem ser provadas.<ref name="Raatikainen_2005">{{Citar periódico |url=https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |título=On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems |data=Outubro de 2005 |acessodata=12 de novembro de 2022 |periódico=Revue Internationale de Philosophie |número=4 |ultimo=Raatikainen |primeiro=Panu |paginas=513–534 |doi=10.3917/rip.234.0513 |jstor=23955909 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221112212555/https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |arquivodata=12 de novembro de 2022 |volume=59}}</ref>

Desde então, a matemática foi bastante ampliada e tem havido uma interação frutífera com as [[ciência]]s, com benefícios para ambas. Descobertas matemáticas continuam a ser feitas até os dias atuais. Por exemplo, de acordo com a edição de janeiro de 2006 do ''Bulletin of the [[American Mathematical Society]]:'' "O número de artigos e livros incluídos no banco de dados da ''[[Mathematical Reviews]]'' desde 1940 (o primeiro ano de operação da ''MR'') é agora superior a 1,9 milhão e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados anualmente. A esmagadora maioria dos trabalhos neste oceano contém novos teoremas matemáticos e suas provas."{{Sfn|Sevryuk|2006|pp=101–109}}

== Notação simbólica e terminologia ==
{{AP|notação matemática}}
[[Ficheiro:Sigma_summation_notation.svg|miniaturadaimagem| Uma explicação da notação de [[Adição|soma]] sigma (Σ)]]
A [[notação matemática]] é amplamente utilizada na [[ciência]] e na [[engenharia]] para representar [[conceito]]s e [[Propriedade (filosofia)|propriedades]] complexas de forma concisa, inequívoca e precisa. Esta notação consiste em [[Lista de símbolos matemáticos|símbolos]] usados para representar [[Operação (matemática)|operações]], números não especificados, relações e quaisquer outros objetos matemáticos, e depois montá-los em [[Expressão matemática|expressões]] e [[Fórmula matemática|fórmulas]].<ref>{{Citar conferência |ultimo=Wolfram |primeiro=Stephan |autorlink=Stephen Wolfram |url=https://www.stephenwolfram.com/publications/mathematical-notation-past-future/ |titulo=Mathematical Notation: Past and Future |data=outubro de 2000 |acessodata=3 de fevereiro de 2024 |conferencia=MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221116150905/https://www.stephenwolfram.com/publications/mathematical-notation-past-future/ |arquivodata=16 de novembro de 2022}}</ref> Mais precisamente, os números e outros objetos matemáticos são representados por símbolos chamados [[Variável (matemática)|variáveis]], que geralmente são letras [[Latim|latinas]] ou [[Alfabeto grego|gregas]]. Operação e relações são geralmente representadas por [[Lista de símbolos matemáticos|símbolos]] ou [[glifo]]s específicos,<ref>{{Citar periódico |título=Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers |data=3 de dezembro de 2020 |periódico=Journal of Numerical Cognition |número=3 |ultimo=Douglas |primeiro=Heather |ultimo2=Headley |primeiro2=Marcia Gail |paginas=322–354 |doi=10.5964/jnc.v6i3.293 |ultimo3=Hadden |primeiro3=Stephanie |ultimo4=LeFevre |primeiro4=Jo-Anne |autorlink4=Jo-Anne LeFevre |volume=6 |doi-access=free}}</ref> como {{Math|+}} ([[Sinais de mais e menos|mais]]), {{Math|×}} ([[Sinal de multiplicação|multiplicação]]), <math display="inline">\int</math> ([[Símbolo integral|integral]]), {{Math|1==}} ([[Sinal de igual|igual]]) e {{Math|<}} ([[menor que]]).<ref name="AMS">{{Citar web|ultimo=Letourneau|primeiro=Mary|ultimo2=Wright Sharp|primeiro2=Jennifer|url=https://www.ams.org/publications/authors/AMS-StyleGuide-online.pdf|titulo=AMS Style Guide|data=outubro de 2017|acessodata=3 de fevereiro de 2024|publicado=[[American Mathematical Society]]|pagina=75|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221208063650/https://www.ams.org//publications/authors/AMS-StyleGuide-online.pdf|arquivodata=8 de dezembro de 2022|urlmorta=live}}</ref> Todos esses símbolos são geralmente agrupados de acordo com regras específicas.<ref>{{Citar periódico |url=https://escholarship.org/content/qt35r988q9/qt35r988q9.pdf |título=Constituent Structure in Mathematical Expressions |acessodata=3 de fevereiro de 2024 |periódico=Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society |publicado=Universidade da Califórnia em Merced|ultimo=Jansen |primeiro=Anthony R. |ultimo2=Marriott |primeiro2=Kim |ano=2000 |oclc=68713073 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221116152222/https://escholarship.org/content/qt35r988q9/qt35r988q9.pdf |arquivodata=16 de novembro de 2022 |ultimo3=Yelland |primeiro3=Greg W. |volume=22}}</ref>

A matemática desenvolveu uma terminologia rica que cobre uma ampla variedade de campos que estudam as propriedades de vários objetos e suas interações, sendo que fornecem uma base padrão para a comunicação. Um [[axioma]] ou [[Axioma|postulado]], por exemplo, é uma afirmação matemática considerada verdadeira sem necessidade de prova. Se uma afirmação matemática ainda não foi provada (ou refutada), ela é chamada de [[conjectura]]. Através de uma série de argumentos rigorosos empregando [[Método dedutivo|raciocínio dedutivo]], uma afirmação que é [[Derivação formal|comprovadamente]] verdadeira torna-se um teorema. Um teorema especializado usado principalmente para provar outro teorema é chamado de [[Lema (matemática)|lema]]. Um exemplo comprovado que faz parte de uma conclusão mais geral é denominado [[corolário]].<ref>{{Citar livro|título=Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof|ultimo=Rossi|primeiro=Richard J.|editora=[[John Wiley & Sons]]|ano=2006|series=Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts|páginas=1–14, 47–48|isbn=978-0-470-04295-3|lccn=2006041609|oclc=64085024}}</ref>

Vários termos técnicos usados em matemática são [[neologismo]]s, como ''[[Polinómio|polinômio]]'' e ''[[homeomorfismo]]''.<ref>{{Citar web|titulo=Earliest Uses of Some Words of Mathematics|acessodata=3 de fevereiro de 2024|publicação=Escócia|publicado=[[Universidade de St. Andrews]]|url=https://web.archive.org/web/20220929032236/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/|arquivodata=29 de setembro de 2022|urlmorta=live}}</ref> Outros termos técnicos são palavras da linguagem comum usadas com um significado preciso que pode diferir ligeiramente do seu significado comum. Por exemplo, em matemática, "[[Disjunção lógica|ou]]" significa "um, o outro ou ambos", enquanto, na linguagem comum, é ambíguo ou significa "um ou outro, mas não ambos" (em matemática, o último é chamado de "[[ou exclusivo]]"). Muitos termos matemáticos são palavras comuns usadas com um significado completamente diferente.<ref>{{Citar periódico |título=The New Language of Mathematics |data=dezembro de 2017 |periódico=The American Scientist |publicado=[[Sigma Xi]] |número=6 |ultimo=Silver |primeiro=Daniel S. |paginas=364–371 |doi=10.1511/2017.105.6.364 |issn=0003-0996 |lccn=43020253 |oclc=1480717 |volume=105 |doi-access=free}}</ref>

== Relação com as ciências ==
A matemática é usada na maioria das [[ciências]] para [[Modelo (matemática)|modelar]] fenômenos, o que permite que previsões sejam feitas a partir de leis experimentais.<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=pJAvWaRYo3UC}}|título=Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation|ultimo=Bellomo|primeiro=Nicola|ultimo2=Preziosi|primeiro2=Luigi|data=22 de dezembro de 1994|editora=CRC Press|series=Mathematical Modeling|volume=1|isbn=978-0-8493-8331-1|acessodata=16 de novembro de 2022}}</ref> A independência da matemática de qualquer experimentação implica que a precisão de tais previsões depende apenas da adequação do modelo.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.researchgate.net/publication/225691477 |título=Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective |acessodata=17 de novembro de 2022 |periódico=Foundations of Science |ultimo=Hennig |primeiro=Christian |ano=2010 |paginas=29–48 |doi=10.1007/s10699-009-9167-x |volume=15}}</ref> No caso de previsões imprecisas, ao invés delas serem causadas por conceitos matemáticos inválidos, na verdade implicam na necessidade de alteração do modelo utilizado.<ref>{{Citar periódico |url=https://seop.illc.uva.nl/entries/models-science/ |título=Models in Science |data=4 de fevereiro de 2020 |acessodata=17 de novembro de 2022 |periódico=Stanford Encyclopedia of Philosophy |ultimo=Frigg |primeiro=Roman |autorlink=Roman Frigg |ultimo2=Hartmann |primeiro2=Stephan |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221117162412/https://seop.illc.uva.nl/entries/models-science/ |arquivodata=17 de novembro de 2022}}</ref> Por exemplo, a [[precessão]] do [[periélio]] do planeta [[Mercúrio (planeta)|Mercúrio]] só pôde ser explicada após o desenvolvimento da [[relatividade geral]] do alemão [[Albert Einstein]], que substituiu a [[lei da gravitação universal]] do inglês [[Isaac Newton]] como um modelo matemático melhor.<ref>{{Citar livro|título=The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality|ultimo=Stewart|primeiro=Ian|editora=Springer|ano=2018|editor-sobrenome=Wuppuluri|series=The Frontiers Collection|páginas=345–356|capitulo=Mathematics, Maps, and Models|doi=10.1007/978-3-319-72478-2_18|isbn=978-3-319-72478-2|autorlink=Ian Stewart (mathematician)|acessodata=17 de novembro de 2022|editor-sobrenome2=Doria}}</ref>

Atualmente, ainda há um debate [[Filosofia da matemática|filosófico]] sobre se a matemática pode ser classificada como uma ciência. No entanto, na prática, os matemáticos são normalmente considerados cientistas e a matemática tem muito em comum com as [[ciências físicas]], já que é [[Falseabilidade|falsificável]] como elas, o que significa em que, se um resultado ou uma teoria estiverem errados, isto pode ser provado por meio da apresentação de um [[contraexemplo]]. Da mesma forma que na ciência, as [[teoria]]s e os resultados matemáticos (teoremas) são frequentemente obtidos a partir da [[experimentação]],<ref>{{Citar web|url=https://undsci.berkeley.edu/article/mathematics|titulo=The science checklist applied: Mathematics|acessodata=27 de outubro de 2019|website=Understanding Science|publicado=[[Universidade da Califórnia em Berkeley]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20191027021023/https://undsci.berkeley.edu/article/mathematics|arquivodata=27 de outubro de 2019|urlmorta=live}}</ref> que pode consistir na computação de exemplos selecionados ou no estudo de figuras ou de outras representações de objetos matemáticos (muitas vezes representações mentais sem suporte físico). Por exemplo, quando questionado sobre como conseguiu seus teoremas, [[Gauss]] certa vez respondeu "durch planmässiges Tattonieren" ("através de experimentação sistemática").<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=KwESE88CGa8C|q=durch planmässiges Tattonieren}}|título=Dictionary of Scientific Quotations|ultimo=Mackay|primeiro=A. L.|editora=Taylor & Francis|ano=1991|localização=Londres|isbn=978-0-7503-0106-0|acessodata=19 de março de 2023}}</ref> Contudo, alguns autores enfatizam que a matemática difere da noção moderna de ciência por não se basear em evidências [[Empirismo|empíricas]].<ref name="Bishop1991">{{Citar livro|título=Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education|ultimo=Bishop|primeiro=Alan|editora=Kluwer Academic Publishers|ano=1991|localização=Norwell, Massachusetts|páginas=20–59|capitulo=Environmental activities and mathematical culture|isbn=978-0-7923-1270-3|acessodata=5 de abril de 2020}}</ref><ref>{{Citar livro|título=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists|ultimo=Shasha|primeiro=Dennis Elliot|ultimo2=Lazere|primeiro2=Cathy A.|editora=Springer|ano=1998|isbn=978-0-387-98269-4}}</ref><ref name="Nickles2013">{{Citar livro|título=Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem|ultimo=Nickles|primeiro=Thomas|editora=The University of Chicago Press|ano=2013|localização=Chicago|capitulo=The Problem of Demarcation|isbn=978-0-226-05182-6}}</ref><ref name="Pigliucci2014">{{Citar revista|sobrenome=Pigliucci|primeiro=Massimo|autorlink=Massimo Pigliucci|ano=2014|título=Are There 'Other' Ways of Knowing?|url=https://philosophynow.org/issues/102/Are_There_Other_Ways_of_Knowing|urlmorta=live|revista=Philosophy Now|arquivourl=https://web.archive.org/web/20200513190522/https://philosophynow.org/issues/102/Are_There_Other_Ways_of_Knowing|arquivodata=13 de maio de 2020|acessodata=6 de abril de 2020}}</ref>

=== Matemática pura e aplicada ===
{{AP|Matemática pura|Matemática aplicada}}
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}}
Até ao século XIX, o desenvolvimento da matemática no [[mundo ocidental]] era motivado principalmente pelas necessidades trazidas pela [[tecnologia]] e ciência, sendo que não havia uma distinção clara entre [[matemática pura]] e [[Matemática aplicada|aplicada]].<ref name="Ferreirós_2007">{{Citar livro|título=The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae|ultimo=Ferreirós|primeiro=J.|editora=Springer Science & Business Media|ano=2007|editor=Catherine Goldstein|páginas=235–268|capitulo=Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss|isbn=978-3-540-34720-0}}</ref> Por exemplo, os [[números naturais]] e a aritmética foram introduzidos pela necessidade de [[Contagem (matemática)|contagem]], enquanto a geometria foi motivada pela [[topografia]], [[arquitetura]] e [[astronomia]]. Mais tarde, Isaac Newton introduziu o conceito do [[cálculo infinitesimal]] para explicar o movimento dos [[planeta]]s com sua [[lei da gravitação universal]]. Além disso, a maioria dos matemáticos eram cientistas e muitos cientistas também eram matemáticos.<ref>{{Citar periódico |título=Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science |periódico=The Journal of Interdisciplinary History |publicado=The MIT Press |número=1 |ultimo=Kuhn |primeiro=Thomas S. |autorlink=Thomas Kuhn |ano=1976 |paginas=1–31 |doi=10.2307/202372 |jstor=202372 |volume=7}}</ref> Contudo, uma exceção notável ocorreu com a tradição da matemática pura na [[Grécia Antiga]].<ref>{{Citar livro|título=The Oxford Handbook of the History of Mathematics|ultimo=Asper|primeiro=Markus|editora=OUP Oxford|ano=2009|editor-sobrenome=Robson|series=Oxford Handbooks in Mathematics|páginas=107–132|capitulo=The two cultures of mathematics in ancient Greece|isbn=978-0-19-921312-2|acessodata=18 de novembro de 2022|editor-sobrenome2=Stedall}}</ref> O problema da [[fatoração de inteiros]], por exemplo, que remonta a [[Euclides]] em 300 a.C., não tinha aplicação prática antes de seu uso no [[RSA (sistema criptográfico)|criptossistema RSA]], que atualmente é amplamente utilizado para a segurança de [[Rede de computadores|redes de computadores]].<ref>{{Citar livro|título=Emerging Security Algorithms and Techniques|ultimo=Gozwami|primeiro=Pinkimani|ultimo2=Singh|primeiro2=Madan Mohan|editora=CRC Press|ano=2019|editor-sobrenome=Ahmad|páginas=59–60|capitulo=Integer Factorization Problem|isbn=978-0-8153-6145-9|lccn=2019010556|oclc=1082226900|editor-sobrenome2=Doja|editor-nome2=M. N.|editor-sobrenome3=Udzir|editor-nome3=Nur Izura|editor-sobrenome4=Singh|editor-nome4=Manu Pratap}}</ref> No século XIX, matemáticos como os alemães [[Karl Weierstrass]] e [[Richard Dedekind]] concentraram cada vez mais as suas pesquisas em problemas internos, ou seja, na chamada ''matemática pura''.<ref name="Ferreirós_2007" /><ref>{{Citar periódico |url=http://pgrim.org/philosophersannual/pa28articles/maddyhowapplied.pdf |título=How applied mathematics became pure |acessodata=19 de novembro de 2022 |periódico=The Review of Symbolic Logic |número=1 |ultimo=Maddy |primeiro=P. |autorlink=Penelope Maddy |ano=2008 |paginas=16–41 |doi=10.1017/S1755020308080027 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20170812012210/http://pgrim.org/philosophersannual/pa28articles/maddyhowapplied.pdf |arquivodata=12 de agosto de 2017 |volume=1}}</ref> Isto levou à divisão da matemática em matemáticas ''pura'' e ''aplicada'', sendo a última geralmente considerada de menor valor entre os puristas matemáticos. No entanto, a linha que diferencia as duas é tênue.<ref>{{Citar livro|título=The Best Writing on Mathematics, 2016|ultimo=Silver|primeiro=Daniel S.|editora=Princeton University Press|ano=2017|editor-sobrenome=Pitici|páginas=17–26|capitulo=In Defense of Pure Mathematics|isbn=978-0-691-17529-4|acessodata=19 de novembro de 2022}}</ref>

As consequências da [[Segunda Guerra Mundial]] levou a um aumento no desenvolvimento da matemática aplicada nos Estados Unidos e em outros lugares.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-03/S0273-0979-2022-01754-5/home.html |título=The American Mathematical Society and Applied Mathematics from the 1920s to the 1950s: A Revisionist Account |acessodata=20 de novembro de 2022 |periódico=Bulletin of the American Mathematical Society |número=3 |ultimo=Parshall |primeiro=Karen Hunger |autorlink=Karen Hunger Parshall |ano=2022 |paginas=405–427 |doi=10.1090/bull/1754 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221120151259/https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-03/S0273-0979-2022-01754-5/home.html |arquivodata=20 de novembro de 2022 |volume=59 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Citar periódico |url=https://www.researchgate.net/publication/226795930 |título=The History Of Applied Mathematics And The History Of Society |acessodata=20 de novembro de 2022 |periódico=Synthese |ultimo=Stolz |primeiro=Michael |ano=2002 |paginas=43–57 |doi=10.1023/A:1020823608217 |volume=133}}</ref> Muitas das teorias desenvolvidas para aplicações foram consideradas interessantes do ponto de vista da matemática pura e muitos resultados da matemática pura demonstraram ter aplicações fora da matemática; por sua vez, o estudo destas aplicações poderá fornecer novos desenvolvimentos sobre a “teoria pura”.<ref>{{Citar periódico |título=On the role of applied mathematics |data=Março de 1976 |periódico=[[Advances in Mathematics]] |número=3 |ultimo=Lin |primeiro=C. C . |paginas=267–288 |doi=10.1016/0001-8708(76)90024-4 |volume=19 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Citar conferência |ultimo=Peressini |primeiro=Anthony |url=https://www.academia.edu/download/32799272/ApplyingMathPSA.pdf |titulo=Applying Pure Mathematics |data=Setembro de 1999 |acessodata=30 de novembro de 2022 |paginas=S1–S13 |conferencia=Philosophy of Science. Proceedings of the 1998 Biennial Meetings of the Philosophy of Science Association. Part I: Contributed Papers |jstor=188757 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102210931/https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/32799272/ApplyingMathPSA-libre.pdf?1391205742=&response-content-disposition=inline%3B+filename%3DApplying_Pure_Mathematics.pdf&Expires=1704233371&Signature=BvNJyYufdj9BiKFe94w6gdXLpAfr7T5JIv~RU74R2uT0O9Ngj6i4cdBtYYOSB6D4V-MgButb6lKNhIGGQogw0e0sHVFkJUy5TRsoCiQ-MLabpZOf74E5SGLMFIExhGVAw7SKrSFaQsFGhfbaRMxbMP~u-wRdJAz6ve6kbWr6oq-doQeEOlRfO4EByNCUYx-KAk3~cBsH1Q2WNZ5QiVObMI1ufQ7zkQM1bqzOumLu6g07F~pt~Cds~lftuQufHomoTH-V9H9iKQgUyc3-4bEB1y1Jdngs7WWg76LcSGn65bPK8dxvsZzKaLDGfoK5jamZkA8z3-xxiMIPL8c6YETjZA__&Key-Pair-Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA |arquivodata=2 de janeiro de 2024 |volume=66}}</ref> Um exemplo do primeiro caso é a [[teoria das distribuições]], introduzida por [[Laurent Schwartz]] para validar cálculos feitos em [[mecânica quântica]], que se tornou imediatamente uma importante ferramenta de análise matemática (pura).<ref>{{Citar conferência |ultimo=Lützen |primeiro=J. |titulo=Mathematics meets physics: A contribution to their interaction in the 19th and the first half of the 20th century |acessodata=19 de novembro de 2022 |publicado=Verlag Harri Deutsch |ano=2011 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20230323164143/https://slub.qucosa.de/api/qucosa%3A16267/zip/|url=https://slub.qucosa.de/api/qucosa%3A16267/zip/ |arquivodata=23 de março de 2023}}</ref> Um exemplo do segundo caso é a decidibilidade da teoria de primeira ordem dos números reais, um problema de matemática pura que foi provado verdadeiro por [[Alfred Tarski]], com um algoritmo impossível de [[Implementação de software|implementar]] devido a uma complexidade computacional bastante elevada.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.ams.org/notices/199607/ |título=Model theory and exponentiation |data=Julho de 1996 |acessodata=19 de novembro de 2022 |periódico=Notices of the American Mathematical Society |número=7 |ultimo=Marker |primeiro=Dave |paginas=753–759 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20140313004011/http://www.ams.org/notices/199607/ |arquivodata=13 de março de 2014 |volume=43}}</ref> Para obter um algoritmo que possa ser implementado e possa resolver sistemas de equações e desigualdades polinomiais, o matemática estadunidense George Collins introduziu a decomposição algébrica cilíndrica que se tornou uma ferramenta fundamental na geometria algébrica real.<ref>{{Citar conferência |ultimo=Chen |primeiro=Changbo |ultimo2=Maza |primeiro2=Marc Moreno |url=https://www.researchgate.net/publication/268067322 |titulo=Cylindrical Algebraic Decomposition in the RegularChains Library |data=agosto de 2014 |acessodata=19 de novembro de 2022 |publicado=Springer |series=Lecture Notes in Computer Science |conferencia=International Congress on Mathematical Software 2014 |doi=10.1007/978-3-662-44199-2_65 |volume=8592}}</ref> Nos dias atuais, a distinção entre matemática pura e aplicada é mais uma questão de objetivo de pesquisa do que uma divisão da matemática em áreas amplas.<ref>{{Citar periódico |título=Purifying applied mathematics and applying pure mathematics: how a late Wittgensteinian perspective sheds light onto the dichotomy |periódico=European Journal for Philosophy of Science |número=1 |ultimo=Pérez-Escobar |primeiro=José Antonio |ultimo2=Sarikaya |primeiro2=Deniz |ano=2021 |paginas=1–22 |doi=10.1007/s13194-021-00435-9 |volume=12 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Citar livro|título=A Mathematical Approach to Research Problems of Science and Technology|ultimo=Takase|primeiro=M.|editora=Springer|ano=2014|series=Mathematics for Industry|volume=5|páginas=393–399|capitulo=Pure Mathematics and Applied Mathematics are Inseparably Intertwined: Observation of the Early Analysis of the Infinity|doi=10.1007/978-4-431-55060-0_29|isbn=978-4-431-55059-4|acessodata=20 de novembro de 2022|local-publicação=Tokyo}}</ref> A Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, tem uma seção para "matemática geral aplicada", mas não menciona "matemática pura".<ref name="MSC">{{Citar web|url=https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|titulo=MSC2020-Mathematics Subject Classification System|acessodata=3 de fevereiro de 2024|website=zbMath|publicado=Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH|arquivourl=https://web.archive.org/web/20240102023805/https://zbmath.org/static/msc2020.pdf|arquivodata=2 de janeiro de 2024|urlmorta=live}}</ref>

=== Eficácia irracional ===
A eficácia irracional da matemática é um fenômeno que foi nomeado e explicitado pela primeira vez pelo físico [[Eugene Wigner]]<ref name="wigner1960"/> e descreve o fato de que muitas teorias matemáticas (mesmo as mais “puras”) têm aplicações fora do seu objeto inicial. Estas aplicações podem estar completamente fora da sua área inicial e podem dizer respeito a fenômenos físicos que eram completamente desconhecidos quando a teoria matemática foi introduzida.<ref>{{Citar periódico |título=Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics |data=10 de fevereiro de 2005 |periódico=Current Science |número=3 |ultimo=Sarukkai |primeiro=Sundar |paginas=415–423 |jstor=24110208 |volume=88}}</ref> Um exemplo notável é a [[Fatoração de inteiros|fatoração primária]] de números naturais que foi descoberta mais de 2 mil anos antes de seu uso comum para comunicações seguras na [[Internet]] através do [[RSA (sistema criptográfico)|sistema criptográfico RSA]].<ref>{{Citar livro|título=Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL|ultimo=Wagstaff, Jr.|primeiro=Samuel S.|editora=Cambridge University Press|ano=2021|editor-sobrenome=Bos|series=London Mathematical Society Lecture Notes Series 469|páginas=41–77|capitulo=History of Integer Factoring|acessodata=20 de novembro de 2022|editor-sobrenome2=Stam|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221120155733/https://www.cs.purdue.edu/homes/ssw/chapter3.pdf|url=https://www.cs.purdue.edu/homes/ssw/chapter3.pdf|arquivodata=20 de novembro de 2022}}</ref> Um segundo exemplo histórico é a teoria das [[elipse]]s. Elas foram estudadas pelos [[Matemática da Grécia Antiga|antigos matemáticos gregos]] como [[Cónica|seções cônicas]] (isto é, interseções de [[cone]]s com planos). Quase 2 mil anos depois, [[Johannes Kepler]] descobriu que as [[trajetória]]s dos planetas são elipses.<ref>{{Citar web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Ellipse/|titulo=Curves: Ellipse|acessodata=20 de novembro de 2022|publicado=[[Universidade de St Andrews]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221014051943/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Ellipse/|arquivodata=14 de outubro de 2022|urlmorta=live}}</ref>

Durante o século XIX, o desenvolvimento interno da geometria (ou [[matemática pura]]) levou à definição e ao estudo de [[Geometria não euclidiana|geometrias não euclidianas]], espaços de dimensão superior a três e [[Variedade (matemática)|variedades]]. Neste período, estes conceitos pareciam totalmente desligados da realidade física. No início do século XX, no entanto, o alemão [[Albert Einstein]] desenvolveu a [[teoria da relatividade]] que utiliza fundamentalmente estes conceitos, principalmente o [[espaço-tempo]] da [[relatividade restrita]] é um espaço não euclidiano de dimensão quatro, enquanto o espaço-tempo da [[relatividade geral]] é uma variedade (curva) de dimensão quatro.<ref>{{Citar web|ultimo=Mukunth|primeiro=Vasudevan|url=https://thewire.in/science/beyond-the-surface-of-einsteins-relativity-lay-a-chimerical-geometry|titulo=Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry|data=10 de setembro de 2015|acessodata=20 de novembro de 2022|website=The Wire|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221120191206/https://thewire.in/science/beyond-the-surface-of-einsteins-relativity-lay-a-chimerical-geometry|arquivodata=20 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref><ref>{{Citar periódico |título=The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics |data=Novembro de 1912 |periódico=Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences |número=11 |ultimo=Wilson |primeiro=Edwin B. |ultimo2=Lewis |primeiro2=Gilbert N. |paginas=389–507 |doi=10.2307/20022840 |jstor=20022840 |volume=48}}</ref>

Um aspecto marcante da interação entre matemática e física é quando a matemática impulsiona a pesquisa em física, o que é exemplificado pelas descobertas do [[pósitron]] e do [[Bárion omega|bárion]] <math>\Omega^{-}</math>. Em ambos os casos, as equações das teorias apresentavam soluções inexplicáveis, o que levou à conjectura da existência de uma [[partícula]] desconhecida. Em ambos os casos, estas partículas foram descobertas alguns anos depois através de experiências específicas.<ref name="borel">{{Citar periódico |título=Mathematics: Art and Science |periódico=The Mathematical Intelligencer |publicado=Springer |número=4 |ultimo=Borel |primeiro=Armand |autorlink=Armand Borel |ano=1983 |paginas=9–17 |doi=10.4171/news/103/8 |issn=1027-488X |volume=5 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Citar periódico |título=Discovering the Positron (I) |data=novembro de 1961 |periódico=The British Journal for the Philosophy of Science |publicado=The University of Chicago Press |número=47 |ultimo=Hanson |primeiro=Norwood Russell |autorlink=Norwood Russell Hanson |paginas=194–214 |doi=10.1093/bjps/xiii.49.54 |jstor=685207 |volume=12}}</ref><ref>{{Citar periódico |título=Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω<sup>–</sup> particle |data=Fevereiro de 2016 |periódico=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics |ultimo=Ginammi |primeiro=Michele |paginas=20–27 |bibcode=2016SHPMP..53...20G |doi=10.1016/j.shpsb.2015.12.001 |volume=53}}</ref>

=== Ciências específicas ===

==== Física ====
{{AP|Relação entre matemática e física}}
[[Ficheiro:Pendule_schema.gif|miniaturadaimagem|Diagrama de um [[pêndulo]]]]
A matemática e a física influenciaram-se mutuamente ao longo da história moderna. A [[física moderna]] utliza amplamente a matemática<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=-DmfVjBUPksC|p=3}}|título=Essentials of Physics|ultimo=Wagh|primeiro=Sanjay Moreshwar|ultimo2=Deshpande|primeiro2=Dilip Abasaheb|data=27 de setembro de 2012|editora=PHI Learning Pvt. Ltd.|língua=en|isbn=978-81-203-4642-0|acessodata=3 de janeiro de 2023}}</ref> e é também a motivação por trás de grandes desenvolvimentos na matemática.<ref>{{Citar conferência |ultimo=Atiyah |primeiro=Michael |autorlink=Michael Atiyah |url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1990.1/Main/icm1990.1.0031.0036.ocr.pdf |titulo=On the Work of Edward Witten |data=1990 |acessodata=29 de dezembro de 2022 |pagina=31 |conferencia=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |arquivourl=https://web.archive.org/web/20130928095313/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1990.1/Main/icm1990.1.0031.0036.ocr.pdf |arquivodata=28 de setembro de 2013}}</ref>

==== Informática ====
{{AP|Informática}}
A ascensão da [[tecnologia]] no século XX abriu caminho para uma nova ciência: a [[computação]].{{Nre|[[Ada Lovelace]] é conhecida por ter escrito, na década de 1840, o primeiro programa de computador em colaboração com [[Charles Babbage]]}} Este campo está intimamente relacionado à matemática de várias maneiras. A [[ciência da computação teórica]], por exemplo, é essencialmente de natureza matemática. Em contrapartida, a [[informática]] também se tornou essencial para a obtenção de novos resultados. Este é um grupo de técnicas conhecidas como [[matemática experimental]].<ref>{{Citar web|ultimo=Borwein|primeiro=J.|ultimo2=Borwein|primeiro2=P.|url=http://oldweb.cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/expmath/html/node16.html|titulo=Conclusion|data=1996|website=oldweb.cecm.sfu.ca|arquivourl=https://web.archive.org/web/20080121081424/http://oldweb.cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/expmath/html/node16.html|arquivodata=21 de janeiro de 2008|urlmorta=dead|ultimo3=Girgensohn|primeiro3=R.|ultimo4=Parnes|primeiro4=S.}}</ref> O exemplo mais conhecido é o [[teorema das quatro cores]], comprovado em 1976 com a ajuda de um [[computador]]. Isto revolucionou a matemática tradicional, onde a regra até então era que o matemático verificasse cada parte da prova. Em 1998, a [[conjectura de Kepler]] sobre [[empacotamento de esferas]] também parecia ter sido parcialmente comprovada por um computador. Desde então, uma equipe internacional trabalhou na redação de uma prova formal, que foi concluída (e verificada) em 2015.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.cambridge.org/core/journals/forum-of-mathematics-pi/article/formal-proof-of-the-kepler-conjecture/78FBD5E1A3D1BCCB8E0D5B0C463C9FBC |título=A Formal Proof of the Kepler Conjecture |data=2017 |acessodata=25 de fevereiro de 2023 |periódico=Forum of Mathematics, Pi |ultimo=Hales |primeiro=Thomas |ultimo2=Adams |primeiro2=Mark |pagina=e2 |lingua=en |doi=10.1017/fmp.2017.1 |issn=2050-5086 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20201204053232/https://www.cambridge.org/core/journals/forum-of-mathematics-pi/article/formal-proof-of-the-kepler-conjecture/78FBD5E1A3D1BCCB8E0D5B0C463C9FBC |arquivodata=4 de dezembro de 2020 |ultimo3=Bauer |primeiro3=Gertrud |ultimo4=Dang |primeiro4=Tat Dat |ultimo5=Harrison |primeiro5=John |ultimo6=Hoang |primeiro6=Le Truong |ultimo7=Kaliszyk |primeiro7=Cezary |ultimo8=Magron |primeiro8=Victor |ultimo9=Mclaughlin |primeiro9=Sean |volume=5}}</ref> Um grande problema em aberto na ciência da computação teórica é [[P versus NP]], um dos sete [[Problemas do Prêmio Millennium]].<ref>{{Citar web|url=https://www.britannica.com/science/P-versus-NP-problem|titulo=P versus NP problem {{!}} mathematics|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=Britannica|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221206044556/https://www.britannica.com/science/P-versus-NP-problem|arquivodata=6 de dezembro de 2022|urlmorta=live}}</ref>

==== Biologia ====
{{AP|Biologia matemática e teórica}}
[[Ficheiro:Giant_Pufferfish_skin_pattern_detail.jpg|miniaturadaimagem|A pele deste [[Baiacu-gigante|baiacu gigante]] exibe um [[padrão de Turing]], que pode ser modelado por [[Modelo de reação-difusão|sistemas de reação-difusão]]]]

A [[biologia]] utiliza extensivamente a [[probabilidade]], como por exemplo na [[ecologia]] ou na [[Neurociência|neurobiologia]].<ref name=":2">{{Citar livro|título=The Oxford Handbook of Probability and Philosophy|ultimo=Millstein|primeiro=Roberta|data=8 de setembro de 2016|editor-sobrenome=Hájek|editor-nome=Alan|páginas=601–622|capitulo=Probability in Biology: The Case of Fitness|doi=10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27|acessodata=29 de dezembro de 2022|editor-sobrenome2=Hitchcock|editor-nome2=Christopher|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230307054456/http://philsci-archive.pitt.edu/10901/1/Millstein-fitness-v2.pdf|url=http://philsci-archive.pitt.edu/10901/1/Millstein-fitness-v2.pdf|arquivodata=7 de março de 2023}}</ref> A maior parte do debate sobre probabilidade em biologia, entretanto, centra-se no conceito de [[Aptidão|aptidão evolutiva]].<ref name=":2" />

A ecologia usa amplamente a [[Modelagem matemática|modelagem]] para simular a [[dinâmica populacional]],<ref name=":2"/><ref>See for example Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, ''Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés»'' 15-17 janvier 1996, CNRS</ref> estudar [[ecossistemas]] como o modelo predador-presa, medir a difusão da [[poluição]],{{Sfn|Bouleau|1999|pp=282–283}} ou para avaliar as [[mudanças climáticas]].{{Sfn|Bouleau|1999|p=285}} A dinâmica de uma população pode ser modelada por equações diferenciais acopladas, como as [[Equação de Lotka-Volterra|equações de Lotka-Volterra]].<ref>{{Citar web|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Mathematics/Mathematical_Biology_(Chasnov)/01%3A_Population_Dynamics/1.04%3A_The_Lotka-Volterra_Predator-Prey_Model|titulo=1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model|data=5 de janeiro de 2022|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=Mathematics LibreTexts|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221229204111/https://math.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Mathematics/Mathematical_Biology_(Chasnov)/01:_Population_Dynamics/1.04:_The_Lotka-Volterra_Predator-Prey_Model|arquivodata=29 de dezembro de 2022|urlmorta=live}}</ref> No entanto, existe o problema da [[validação do modelo]]. Isto é particularmente grave quando os resultados da modelização influenciam as decisões políticas; a existência de modelos contraditórios poderia permitir às nações escolher o modelo mais favorável.{{Sfn|Bouleau|1999|p=287}}

==== Ciências sociais ====
{{AP|Ciências sociais}}
As áreas da matemática utilizadas nas [[ciências sociais]] incluem [[probabilidade]]/[[estatística]] e [[equações diferenciais]], que são usadas em [[linguística]], [[economia]], [[sociologia]]<ref>{{Citar periódico |url=https://www.annualreviews.org/doi/10.1146/annurev.soc.28.110601.140942 |título=Mathematics in Sociology |data=2002 |periódico=Annual Review of Sociology |número=1 |ultimo=Edling |primeiro=Christofer R. |paginas=197–220 |lingua=en |doi=10.1146/annurev.soc.28.110601.140942 |issn=0360-0572 |volume=28}}</ref> e [[psicologia]].<ref>{{Citation|último =Batchelder|primeiro1 =William H.|título=Mathematical Psychology: History|data=2015-01-01|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B978008097086843059X|páginas=808–815|editor-sobrenome =Wright|editor-nome =James D.|acessodata=2023-09-30|local=Oxford|publicado=Elsevier|isbn=978-0-08-097087-5}}</ref>
[[Ficheiro:Supply-demand-equilibrium.svg|miniaturadaimagem| [[Lei da oferta e da procura|Curvas de oferta e demanda]], como esta, são um elemento básico da economia matemática.]]
O postulado fundamental da [[economia matemática]] é o do ator individual racional – ''[[Homo economicus]]'' ({{Tradução literal|homem econômico}}).<ref name=":3">{{Citar livro|url={{GBurl|id=6QrvmNo2qD4C|p=158}}|título=Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy|ultimo=Zak|primeiro=Paul J.|data=2010|editora=Princeton University Press|língua=en|isbn=978-1-4008-3736-6|acessodata=3 de janeiro de 2023}}</ref> Neste modelo, o indivíduo busca maximizar seu [[Teoria da escolha racional|interesse próprio]]<ref name=":3" /> e sempre faz escolhas ótimas usando [[Informação perfeita|informações perfeitas]].<ref name=":4">{{Citar web|ultimo=Kim|primeiro=Oliver W.|url=https://www.thecrimson.com/column/homo-economicus/article/2014/9/19/Harvard-homo-economicus-fiction/|titulo=Meet Homo Economicus|data=29 de maio de 2014|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=The Harvard Crimson|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221229204106/https://www.thecrimson.com/column/homo-economicus/article/2014/9/19/Harvard-homo-economicus-fiction/|arquivodata=29 de dezembro de 2022|urlmorta=live}}</ref> Contudo, muitas pessoas rejeitaram ou criticaram o conceito.<ref name=":4" /> Economistas observam que pessoas reais têm informações limitadas, fazem escolhas erradas e se preocupam com a justiça, o altruísmo e não apenas com o ganho pessoal.<ref name=":4" /> 

No início do século XX, houve um desenvolvimento no sentido de expressar movimentos históricos através de fórmulas. Por exemplo, em 1922, [[Nikolai Kondratiev]] discerniu o [[Ondas de Kondratiev|ciclo Kondratiev]] de aproximadamente 50 anos, que explica fases de crescimento ou de [[crise econômica]].<ref>{{Citar web|url=https://www.encyclopedia.com/history/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/kondratiev-nikolai-dmitrievich|titulo=Kondratiev, Nikolai Dmitrievich {{!}} Encyclopedia.com|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=www.encyclopedia.com|arquivourl=https://web.archive.org/web/20160701224009/http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-3404100667.html|arquivodata=1 de julho de 2016|urlmorta=live}}</ref> No final do século XIX, Nicolas-Remi Brück e Charles Henri Lagrange estenderam suas análises à [[geopolítica]].<ref>{{Citar web|url=https://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupid?key=ha010090244#:~:text=##+Math%C3%A9matique+de+l'histoire,org%E3%80%91|titulo=Mathématique de l'histoire-géometrie et cinématique. Lois de Brück. Chronologie géodésique de la Bible., by Charles LAGRANGE et al. &#124; The Online Books Page|website=onlinebooks.library.upenn.edu}}</ref> Desde a década de 1990, o [[Antropologia evolucionária|antropólogo evolucionário]] russo-americano,[[Peter Turchin]] trabalha no desenvolvimento da [[cliodinâmica]].<ref>{{Citar web|url=https://www.zdnet.com/article/cliodynamics-a-science-for-predicting-the-future/|titulo=Cliodynamics: a science for predicting the future|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=ZDNET|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221229204104/https://www.zdnet.com/article/cliodynamics-a-science-for-predicting-the-future/|arquivodata=29 de dezembro de 2022|urlmorta=live}}</ref>

Mesmo assim, a matematização das ciências sociais não é isenta de perigos. No polêmico livro ''[[Imposturas Intelectuais]]'' (1997), [[Alan Sokal|Sokal]] e [[Jean Bricmont|Bricmont]] denunciaram o uso infundado ou abusivo de terminologia científica, especialmente da matemática ou da física, nas ciências sociais.<ref>{{Citar livro|url=https://archive.org/details/fashionablenonse00soka|título=Fashionable Nonsense|ultimo=Sokal|primeiro=Alan|ultimo2=Jean Bricmont|editora=Picador|ano=1998|localização=New York|isbn=978-0-312-19545-8|oclc=39605994|autorlink=Alan Sokal}}</ref>

== Relação com astrologia e esoterismo ==
Alguns matemáticos renomados também foram considerados [[astrólogos]] renomados; por exemplo, [[Ptolemeu|Ptolomeu]], astrônomos árabes, [[Johannes Müller von Königsberg|Regiomontano]], [[Girolamo Cardano|Cardano]], [[Johannes Kepler|Kepler]], ou [[John Dee]]. Na [[Idade Média]], a [[astrologia]] era considerada uma ciência que incluía a matemática. Em sua enciclopédia, o físico suíço Theodor Zwinger escreveu que a astrologia era uma ciência matemática que estudava o "movimento ativo dos corpos à medida que agem sobre outros corpos" e reservou à matemática a necessidade de “calcular com probabilidade as influências [das estrelas]” para prever suas “conjunções e oposições”.<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=92n7ZE8Iww8C|p=130}}|título=Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Age: mélanges d'histoire des sciences offerts à Guy Beaujouan|ultimo=Beaujouan|primeiro=Guy|data=1994|editora=Librairie Droz|língua=fr|isbn=978-2-600-00040-6|acessodata=3 de janeiro de 2023}}</ref> Atualmente, no entanto, a astrologia não é mais considerada uma ciência, mas sim uma [[pseudociência]].<ref>{{Citar web|url=https://www.afis.org/L-astrologie-a-l-epreuve-ca-ne-marche-pas-ca-n-a-jamais-marche|titulo=L'astrologie à l'épreuve : ça ne marche pas, ça n'a jamais marché ! / Afis Science – Association française pour l'information scientifique|acessodata=28 de dezembro de 2022|website=Afis Science – Association française pour l’information scientifique|lingua=fr|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230129204349/https://www.afis.org/L-astrologie-a-l-epreuve-ca-ne-marche-pas-ca-n-a-jamais-marche|arquivodata=29 de janeiro de 2023|urlmorta=live}}</ref>

== Filosofia ==
{{AP|Filosofia da matemática}}

=== Realidade ===
A conexão entre a matemática e a realidade material levou a debates filosóficos pelo menos desde a época de [[Pitágoras]]. O antigo filósofo [[Platão]] argumentou que as abstrações que refletem a realidade material têm elas próprias uma realidade que existe fora do espaço e do tempo. Como resultado, a visão filosófica de que os objetos matemáticos existem de alguma forma por si mesmos na abstração é muitas vezes referida como [[Filosofia da matemática#platonismo|platonismo]]. Independentemente das suas possíveis opiniões filosóficas, os matemáticos modernos podem ser geralmente considerados platônicos, uma vez que pensam e falam dos seus objetos de estudo como objetos reais.<ref name=SEP-Platonism>{{citar enciclopédia|título=Platonism in Metaphysics |enciclopédia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |último =Balaguer |primeiro =Mark |editor-sobrenome =Zalta |editor-nome =Edward N. |ano=2016 |edição=2016 |publicado=Metaphysics Research Lab, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/platonism |acessodata=2 de abril de 2022 |arquivodata=30 de janeiro de 2022 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20220130174043/https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/platonism/ |urlmorta=live }}</ref>

O matemático suíço [[Armand Borel]] resumiu esta visão da realidade matemática da seguinte forma, e forneceu citações de [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], [[Charles Hermite]], [[Henri Poincaré]] e [[Albert Einstein]] que apoiam seus pontos de vista.<ref name="borel">{{Citar periódico |título=Mathematics: Art and Science |periódico=The Mathematical Intelligencer |publicado=Springer |número=4 |ultimo=Borel |primeiro=Armand |autorlink=Armand Borel |ano=1983 |paginas=9–17 |doi=10.4171/news/103/8 |issn=1027-488X |volume=5 |doi-access=free}}</ref>

{{Quote|Algo se torna objetivo (em oposição a "subjetivo") assim que estamos convencidos de que existe nas mentes dos outros da mesma forma que existe nas nossas e que podemos pensar sobre isso e discuti-lo juntos.<ref>Ver {{citar periódico
 |primeiro =L. |último =White |ano=1947
 |título=The locus of mathematical reality: An anthropological footnote
 |periódico=Philosophy of Science
 | volume=14|número=4 |páginas=289–303
 | doi=10.1086/286957 | s2cid=119887253
 | id=189303 | postscript=;
}} also in {{citar livro
 |primeiro =J. R. |último =Newman |ano=1956
 |título=The World of Mathematics
 |publicado=Simon and Schuster |local=New York
 | volume=4 |páginas=2348–2364
}}</ref> Como a linguagem da matemática é tão precisa, ela é ideal para definir conceitos para os quais existe tal consenso. Na minha opinião, isso é suficiente para nos fornecer um sentimento de uma existência objetiva, de uma realidade matemática...}}

Entretanto, o platonismo e as visões concorrentes sobre a abstração não explicam necessariamente a eficácia irracional da matemática.<ref>{{Citar livro|título=The Software of the Universe, An Introduction to the History and Philosophy of Laws of Nature|ultimo=Dorato|primeiro=Mauro|editora=Ashgate|ano=2005|páginas=31–66|capitulo=Why are laws mathematical?|isbn=978-0-7546-3994-7|acessodata=5 de dezembro de 2022|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230817111932/https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/52076815/2ch-libre.pdf?1488997736=&response-content-disposition=inline%3B+filename%3DChapter_2_of_the_book_the_software_of_th.pdf&Expires=1692274771&Signature=PXpNLBsmWMkz9YUs6~LUOfXNkmkCAmDfxQUoWOkGJKP4YqPGQUFMuP1I0xFycLZkL0dyfGwdGQ7mPk44nvmpM3YpKBSeVCZRXtDMiwgqs1JhEWrJovAhrchPLM1mGn3pw5P6LPo0sDZsl7uaPoZHMyCyJpayHvFtpyj1oUMIdmGuYM5P3euy1R87g6xlKyNAp~~BR5I4gVpopzLoeZn7d3oEnOOua0GjsqsZ6H9mEgcZMpH-qF8w9iFa9aSXFpqxagQwcVVkg7DXkOjVV5jyzctBUKQtOQQ~-9EN1y-c9pFV-Xu-NNuoN3Ij6K4SwvjYv0a8DMs8T5SVj1Kz9i4CEQ__&Key-Pair-Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA|url=https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/52076815/2ch-libre.pdf?1488997736=&response-content-disposition=inline%3B+filename%3DChapter_2_of_the_book_the_software_of_th.pdf&Expires=1692274771&Signature=PXpNLBsmWMkz9YUs6~LUOfXNkmkCAmDfxQUoWOkGJKP4YqPGQUFMuP1I0xFycLZkL0dyfGwdGQ7mPk44nvmpM3YpKBSeVCZRXtDMiwgqs1JhEWrJovAhrchPLM1mGn3pw5P6LPo0sDZsl7uaPoZHMyCyJpayHvFtpyj1oUMIdmGuYM5P3euy1R87g6xlKyNAp~~BR5I4gVpopzLoeZn7d3oEnOOua0GjsqsZ6H9mEgcZMpH-qF8w9iFa9aSXFpqxagQwcVVkg7DXkOjVV5jyzctBUKQtOQQ~-9EN1y-c9pFV-Xu-NNuoN3Ij6K4SwvjYv0a8DMs8T5SVj1Kz9i4CEQ__&Key-Pair-Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA|arquivodata=17 de agosto de 2023}}</ref>

=== Definições propostas ===
Não existe um [[consenso]] geral sobre uma definição de matemática ou o seu [[Epistemologia|estatuto epistemológico]] {{Mdash}} isto é, o seu lugar entre outras atividades humanas.<ref name="Mura">{{Citar periódico |título=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences |data=Dezembro de 1993 |periódico=Educational Studies in Mathematics |número=4 |ultimo=Mura |primeiro=Roberta |paginas=375–85 |doi=10.1007/BF01273907 |jstor=3482762 |volume=25}}</ref><ref name="Runge">{{Citar livro|url={{GBurl|id=EDm0eQqFUQ4C|p=9}}|título=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry|ultimo=Tobies|primeiro=Renate|ultimo2=Neunzert|primeiro2=Helmut|editora=Springer|ano=2012|isbn=978-3-0348-0229-1|acessodata=20 de junho de 2015}}</ref> Muitos matemáticos profissionais não têm interesse em uma definição ou consideram a matemática como algo indefinível.<ref name="Mura" /> Sequer há consenso sobre se a matemática pode ser considerada uma [[arte]] ou uma [[ciência]].<ref name="Runge" /> Alguns estudiosos apenas dizem que a “matemática é o que os matemáticos fazem”.<ref name="Mura" /> Isto faz sentido, pois existe um forte consenso entre eles sobre o que a matemática é e não é. A maioria das definições propostas tenta definir a matemática pelo seu objeto de estudo.<ref>{{Citar conferência |ultimo=Ziegler |primeiro=Günter M. |ultimo2=Loos |primeiro2=Andreas |titulo="What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it |data=2 de novembro de 2017 |publicado=Springer |series=ICME-13 Monographs |paginas=63–77 |conferencia=Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education |doi=10.1007/978-3-319-62597-3_5 |isbn=978-3-319-62596-6}}</ref>

[[Aristóteles]] definiu a matemática como “a ciência da [[quantidade]]” e esta definição prevaleceu até o século XVIII. No entanto, ele também observou que o foco apenas na quantidade pode não distinguir a matemática de ciências como a [[física]]; em sua opinião, a abstração e o estudo da quantidade como uma propriedade "separável no pensamento" das instâncias reais diferenciam a matemática.<ref name="Franklin">{{Citar livro|url={{GBurl|id=mbn35b2ghgkC|p=104}}|título=Philosophy of Mathematics|ultimo=Franklin|primeiro=James|data=2009|editora=Elsevier|páginas=104–106|isbn=978-0-08-093058-9|autorlink=James Franklin (philosopher)|acessodata=20 de junho de 2015}}</ref> No século XIX, quando os matemáticos começaram a abordar temas que não têm uma relação clara com a realidade física, como os [[Conjunto infinito|conjuntos infinitos]], foram dadas uma variedade de novas definições.<ref name="Cajori">{{Citar livro|url={{GBurl|id=mGJRjIC9fZgC|p=285}}|título=A History of Mathematics|ultimo=Cajori|primeiro=Florian|editora=American Mathematical Society (1991 reprint)|ano=1893|páginas=285–286|isbn=978-0-8218-2102-2|autorlink=Florian Cajori|acessodata=20 de junho de 2015}}</ref>

Outra abordagem para definir matemática é fazer uso de seus métodos. Assim, uma área de estudo pode ser qualificada como matemática desde que possa provar [[teoremas]], ou seja, afirmações cuja validade depende de uma prova, isto é, de uma [[dedução]] puramente [[lógica]].<ref>{{Citar periódico |url=https://cds.cern.ch/record/280311 |título=The Methodology of Mathematics |data=Janeiro de 2000 |acessodata=25 de novembro de 2022 |periódico=The Mathematical Gazette |número=485 |ultimo=Brown |primeiro=Ronald |ultimo2=Porter |primeiro2=Timothy |paginas=321–334 |doi=10.2307/3618304 |jstor=3618304 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20230323164159/https://cds.cern.ch/record/280311 |arquivodata=23 de março de 2023 |volume=79}}</ref> Outros, no entanto, assumem a perspectiva de que a matemática é uma investigação da [[teoria axiomática]] dos conjuntos, já que este estudo é atualmente uma disciplina fundamental para grande parte da matemática moderna.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.researchgate.net/publication/290955899 |título=Defining mathematics |acessodata=25 de novembro de 2022 |periódico=Acta Academica |número=4 |ultimo=Strauss |primeiro=Danie |ano=2011 |paginas=1–28 |volume=43}}</ref>

=== Rigor ===
O raciocínio matemático requer [[rigor]]. Isso significa que as definições devem ser absolutamente inequívocas e as [[Prova matemática|provas]] devem ser redutíveis a uma sucessão de aplicações de [[Regra de inferência|regras de inferência]],{{Nre|Isto não significa tornar explícitas todas as regras de inferência utilizadas. Pelo contrário, isto geralmente é impossível, sem [[computadores]] e [[assistentes de prova]]. Mesmo com esta tecnologia moderna, podem ser necessários anos de trabalho humano para redigir uma prova matemática completamente detalhada.}} sem qualquer uso de evidência empírica e [[intuição]].{{Nre|Isto não significa que a evidência empírica e a intuição não sejam necessárias para escolher os teoremas a provar e para os provar.}}<ref>{{Citar periódico |url=https://www.yacinhamami.com/wp-content/uploads/2019/12/Hamami-2019-Mathematical-Rigor-and-Proof.pdf |título=Mathematical Rigor and Proof |data=Junho de 2022 |acessodata=21 de novembro de 2022 |periódico=The Review of Symbolic Logic |número=2 |ultimo=Hamami |primeiro=Yacin |paginas=409–449 |doi=10.1017/S1755020319000443 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221205114343/https://www.yacinhamami.com/wp-content/uploads/2019/12/Hamami-2019-Mathematical-Rigor-and-Proof.pdf |arquivodata=5 de dezembro de 2022 |volume=15}}</ref> O raciocínio rigoroso não é específico da matemática, mas o padrão de rigor é muito mais alto do que em outros campos de estudo. Apesar da concisão da matemática, provas rigorosas podem exigir centenas de páginas para serem expressas. O surgimento de provas assistidas por computador permitiu que os comprimentos das provas se expandissem ainda mais,{{Nre|Para considerar como confiável um grande cálculo que ocorre em uma prova, geralmente são necessários dois cálculos usando um software independente}}<ref>{{Harvnb|Peterson|1988|p=4}}: "A few complain that the computer program can't be verified properly." (in reference to the Haken–Apple proof of the [[Teorema das quatro cores|Four Color Theorem]])</ref> como o teorema de Feit-Thompson de 255 páginas.{{Nre|O livro que contém a prova completa tem mais de mil páginas.}} O resultado desta tendência é uma filosofia da prova quase empirista, mas que não pode ser considerada infalível.<ref name="Kleiner_1991"/>

O conceito de rigor na matemática remonta à [[Grécia Antiga]], onde a sociedade incentivava o [[raciocínio lógico]] e [[dedutivo]]. No entanto, o rigor tenderia a desencorajar a exploração de novas abordagens, tais como [[números irracionais]] e conceitos de [[infinito]]. O método de demonstração de provas rigorosas foi aprimorado ao longo do século XVI através do uso de notação simbólica. Durante o século XVIII, a transição social permitiu que os matemáticos passassem a ganhar seu sustento através do ensino, o que levou a uma reflexão mais cuidadosa sobre os conceitos subjacentes à matemática e produziu abordagens mais rigorosas durante a transição de métodos geométricos para provas algébricas e depois aritméticas.<ref name="Kleiner_1991"/>

No final do século XIX, parecia que as definições dos conceitos básicos da matemática não eram suficientemente precisas para evitar paradoxos ([[geometria não euclidiana]] e [[função de Weierstrass]]) e contradições ([[paradoxo de Russell]]), o que foi resolvido pela inclusão de axiomas nas regras de inferência [[Apodicidade|apodítica]] das teorias matemáticas; a reintrodução do método axiomático iniciado pelos antigos gregos antigos.<ref name="Kleiner_1991"/> "Rigor" não é mais um conceito relevante em matemática, pois uma prova ou é correta ou é errônea, sendo que uma "prova rigorosa" é simplesmente um [[pleonasmo]]. Onde um conceito especial de rigor é aceito é nos aspectos socializados de uma prova, onde pode ser comprovadamente refutado por outros matemáticos. Depois de uma prova ter sido aceita por muitos anos ou mesmo décadas, ela pode então ser considerada confiável.<ref>{{Citar periódico |título=On the Reliability of Mathematical Proofs |periódico=Philosophy of Mathematics |publicado=Revue Internationale de Philosophie |número=167 (4) |ultimo=Perminov |primeiro=V. Ya. |ano=1988 |paginas=500–508 |volume=42}}</ref> No entanto, o conceito de “rigor” ainda pode continuar sendo útil para ensinar aos iniciantes o que é uma prova matemática.<ref>{{Citar periódico |título=Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor |periódico=International Journal of Educational Research |ultimo=Davis |primeiro=Jon D. |ultimo2=McDuffie |primeiro2=Amy Roth |ano=2019 |paginas=91–100 |doi=10.1016/j.ijer.2018.10.002 |ultimo3=Drake |primeiro3=Corey |ultimo4=Seiwell |primeiro4=Amanda L. |volume=93}}</ref>

== Treinamento e prática ==

=== Educação ===
{{AP|Educação matemática|STEM}}
A matemática tem uma capacidade evidente de cruzar fronteiras culturais e períodos de tempo. Como atividade humana, a prática da matemática tem um aspecto social, que inclui [[Educação matemática|educação]], [[Matemático|profissão]], reconhecimento, popularização e assim por diante. Na educação, a matemática é uma parte central do currículo e constitui um elemento importante das disciplinas acadêmicas do grupo [[STEM]]. Carreiras proeminentes para matemáticos profissionais incluem [[Professor|professor de matemática]], [[estatístico]], [[atuário]], [[analista financeiro]], [[economista]], [[Contabilista|contador]], [[Consultoria em tecnologia da informação|consultor de informática]], entre outras.<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=1cEYEAAAQBAJ|p=3}}|título=Mathematicians and Statisticians: A Practical Career Guide|ultimo=Endsley|primeiro=Kezia|editora=Rowman & Littlefield|ano=2021|series=Practical Career Guides|páginas=1–3|isbn=978-1-5381-4517-3|acessodata=29 de novembro de 2022}}</ref>

Evidências arqueológicas mostram que o ensino da matemática ocorreu já no [[segundo milênio a.C.]], na [[antiga Babilônia]].<ref>{{Citar livro|título=The Oxford Handbook of the History of Mathematics|ultimo=Robson|primeiro=Eleanor|editora=OUP Oxford|ano=2009|editor-sobrenome=Robson|capitulo=Mathematics education in an Old Babylonian scribal school|isbn=978-0-19-921312-2|autorlink=Eleanor Robson|acessodata=24 de novembro de 2022|editor-sobrenome2=Stedall|editor-link2=Jackie Stedall}}</ref> Evidências comparáveis foram descobertas nos escribas no [[Antigo Oriente Próximo]] e depois no [[mundo greco-romano]], começando por volta do ano 300 a.C..<ref>{{Citar livro|título=Handbook on the History of Mathematics Education|ultimo=Bernard|primeiro=Alain|ultimo2=Proust|primeiro2=Christine|ultimo3=Ross|primeiro3=Micah|editora=Springer|ano=2014|editor-sobrenome=Karp|páginas=27–53|capitulo=Mathematics Education in Antiquity|doi=10.1007/978-1-4614-9155-2_3|isbn=978-1-4614-9154-5|editor-sobrenome2=Schubring|local-publicação=Nova York}}</ref> O livro didático de matemática mais antigo conhecido é o [[Papiro de Rhind]], datado de {{Circa|1650 a.C.}} no [[Egito Antigo]].<ref>{{Citar periódico |título=The World's First Mathematics Textbook |data=Abril de 2002 |periódico=Math Horizons |publicado=Taylor & Francis, Ltd. |número=4 |ultimo=Dudley |primeiro=Underwood |paginas=8–11 |doi=10.1080/10724117.2002.11975154 |jstor=25678363 |volume=9}}</ref> Devido à escassez de livros, os ensinamentos matemáticos na [[Índia Antiga]] foram repassados através da [[tradição oral]] memorizada desde o [[Civilização védica|período védico]] ({{Circa|1500|500 BCE}}-500 a.C.).<ref>{{Citar conferência |ultimo=Subramarian |primeiro=F. |url=http://hpm2012.onpcs.com/Proceeding/OT2/T2-10.pdf |titulo=Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam |acessodata=29 de novembro de 2022 |conferencia=History and Pedagogy of Mathematics conference, July 16–20, 2012 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221128082654/http://hpm2012.onpcs.com/Proceeding/OT2/T2-10.pdf |arquivodata=28 de novembro de 2022}}</ref> Na [[História da China|China Imperial,]] durante a [[dinastia Tang]] (618-907 d.C.), um currículo de matemática foi adotado para [[Exames imperiais|concursos públicos]] para ingressar na burocracia estatal.<ref>{{Citar livro|url=https://scholar.archive.org/work/3fb5lb2qsfg35gf2cv6viaydny/access/wayback/http://hkumath.hku.hk:80/~mks/Chapter%206-Siu.pdf|título=How Chinese Learn Mathematics|ultimo=Siu|primeiro=Man Keung|ano=2004|series=Series on Mathematics Education|volume=1|páginas=157–185|capitulo=Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination?|doi=10.1142/9789812562241_0006|isbn=978-981-256-014-8|acessodata=26 de novembro de 2022}}</ref>

Após a [[Idade das trevas|Idade das Trevas]], a educação matemática na Europa era ministrada por escolas religiosas como parte do [[Quadrívio]]. A instrução formal em [[pedagogia]] começou nas escolas [[Companhia de Jesus|jesuítas]] ao longo dos séculos XVI e XVII. A maior parte do currículo matemático, no entanto, permaneceu em um nível básico e prático até o século XIX, quando começou a florescer na [[França]] e na [[Alemanha]]. O periódico mais antigo abordando o ensino de matemática foi ''[[L'Enseignement Mathématique]]'', que começou a ser publicado no ano de 1899.<ref>{{Citar periódico |título=The History of Mathematical Education |periódico=The American Mathematical Monthly |publicado=Taylor & Francis, Ltd. |número=1 |ultimo=Jones |primeiro=Phillip S. |ano=1967 |paginas=38–55 |doi=10.2307/2314867 |jstor=2314867 |volume=74}}</ref> Os avanços do [[mundo ocidental]] na [[ciência]] e na [[tecnologia]] levaram ao estabelecimento de sistemas educativos centralizados em muitos [[Estados-nação]], sendo a matemática um componente central {{Mdash}} inicialmente por conta das suas aplicações militares.<ref>{{Citar periódico |título=Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies |data=Agosto de 2012 |periódico=ZDM Mathematics Education |número=4 |ultimo=Schubring |primeiro=Gert |ultimo2=Furinghetti |primeiro2=Fulvia |paginas=457–459 |doi=10.1007/s11858-012-0445-7 |ultimo3=Siu |primeiro3=Man Keung |volume=44 |doi-access=free}}</ref> Embora o conteúdo dos cursos varie, atualmente quase todos os países ensinam matemática aos seus alunos.<ref>{{Citar livro|url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED610099.pdf|título=TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science|ultimo=von Davier|primeiro=Matthias|ultimo2=Foy|primeiro2=Pierre|ultimo3=Martin|primeiro3=Michael O.|ultimo4=Mullis|primeiro4=Ina V.S.|editora=TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education and Human Development and International Association for the Evaluation of Educational Achievement|ano=2020|língua=en-US|capitulo=Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data: A Look at Country-Level Mode of Administration Effects|isbn=978-1-889938-54-7|acessodata=29 de novembro de 2022|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221129163908/https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED610099.pdf|arquivodata=29 de novembro de 2022}}</ref>

Durante a escola, as capacidades matemáticas e as expectativas positivas têm uma forte associação com o interesse profissional na área. Fatores extrínsecos, como apoio de professores, pais e grupos de pares, podem influenciar o nível de interesse pela matemática.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.academia.edu/download/45974312/j.2161-0045.2012.00001.x20160526-3995-67kydl.pdf |título=Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career |data=Março de 2012 |acessodata=29 de novembro de 2022 |periódico=The Career Development Quarterly |número=1 |ultimo=Rowan-Kenyon |primeiro=Heather T. |ultimo2=Swan |primeiro2=Amy K. |paginas=2–15 |doi=10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x |arquivourl=https://web.archive.org/web/20231122212933/https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/45974312/j.2161-0045.2012.00001.x20160526-3995-67kydl-libre.pdf?1464293840=&response-content-disposition=inline%3B+filename%3DSocial_Cognitive_Factors_Support_and_Eng.pdf&Expires=1700692172&Signature=cs9KfTPxoPh859wY~ExtJyAl9NpYb3X-2P4rDel1Z3z7DwehsHLRggoZtgi1pMsamxYobu9dVK4G7OsqfvNxcuwz3uKh1pnCMZQEz~ahVtPb4kvN-4dmwExJplzoxWu31o3SJOfuBt0GGE-0Hl8eLfPBg5agmtkjSwAWQwlqGrjp3YgYZGjbNxOEAM4t1l4qvoWXidWvSHHcEUNvlKYwCDvG0~QhGTmA6ldxmfS1ovf0adog-qqvjGxxJuSjtP6O8zCTwkPXYwi2e8giI0H6b5fNarHc-2q~-NRnVVtYKhvSBcwC22kNZoA7s8sp8ix9KIdM3uxiUIBRBRC-4aaVoQ__&Key-Pair-Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA |arquivodata=22 de novembro de 2023 |ultimo3=Creager |primeiro3=Marie F. |volume=60}}</ref> Alguns alunos que estudam matemática podem desenvolver apreensão ou medo em relação ao seu desempenho na matéria, o que é conhecido como [[ansiedade matemática]] ou fobia matemática e é considerado o mais proeminente dos distúrbios que afetam o desempenho acadêmico. Isto pode se desenvolver devido a vários fatores, como atitudes dos pais e professores, estereótipos sociais e características pessoais. A ajuda para neutralizar este problema pode advir de mudanças nas abordagens instrucionais, de interações com pais e professores e de tratamentos personalizados para cada estudante.<ref>{{Citar periódico |título=Spotlight on math anxiety |periódico=Psychology Research and Behavior Management |ultimo=Luttenberger |primeiro=Silke |ultimo2=Wimmer |primeiro2=Sigrid |ano=2018 |paginas=311–322 |doi=10.2147/PRBM.S141421 |pmc=6087017 |pmid=30123014 |ultimo3=Paechter |primeiro3=Manuela |volume=11 |doi-access=free}}</ref>

=== Psicologia (estética, criatividade e intuição) ===
A validade de um teorema matemático depende apenas do rigor da sua prova, que teoricamente poderia ser feita automaticamente por um [[programa de computador]]. Isto não significa que não há lugar para criatividade num trabalho matemático. Pelo contrário, muitos resultados matemáticos importantes (teoremas) são soluções de problemas que outros matemáticos não conseguiram resolver e a invenção de uma forma de resolução pode ser uma forma fundamental do processo de resolução.<ref>{{Citar periódico |título=The Outlook of the Mathematicians' Creative Processes |data=2 de junho de 2015 |periódico=Procedia - Social and Behavioral Sciences |ultimo=Yaftian |primeiro=Narges |paginas=2519–2525 |doi=10.1016/j.sbspro.2015.04.617 |volume=191 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Citar periódico |título=The Frontage of Creativity and Mathematical Creativity |data=10 de outubro de 2013 |periódico=Procedia - Social and Behavioral Sciences |ultimo=Nadjafikhah |primeiro=Mehdi |ultimo2=Yaftian |primeiro2=Narges |paginas=344–350 |doi=10.1016/j.sbspro.2013.07.101 |volume=90 |doi-access=free}}</ref> Um exemplo extremo é o teorema de [[Roger Apéry]], cujo autor forneceu apenas as ideias para uma prova e a prova formal foi dada apenas alguns meses depois por três outros matemáticos.<ref>{{Citar periódico |url=http://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf |título=A proof that Euler missed... Apéry's Proof of the irrationality of ζ(3) |acessodata=22 de novembro de 2022 |periódico=The Mathematical Intelligencer |número=4 |ultimo=van der Poorten |primeiro=A. |ano=1979 |paginas=195–203 |doi=10.1007/BF03028234 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20150906015716/http://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf |arquivodata=6 de setembro de 2015 |volume=1}}</ref>

A criatividade e o rigor não são os únicos aspectos psicológicos da atividade dos matemáticos. Alguns deles podem ver a sua atividade como um jogo. Este aspecto da atividade matemática é enfatizado na [[matemática recreativa]].<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=AZlwAAAAQBAJ|pg=PR13}}|título=Famous Puzzles of Great Mathematicians|ultimo=Petkovi|primeiro=Miodrag|data=2 de setembro de 2009|editora=American Mathematical Society|páginas=xiii–xiv|isbn=978-0-8218-4814-2|acessodata=25 de novembro de 2022}}</ref> Os matemáticos podem encontrar um valor [[Estética|estético]] para o seu campo de estudo. Assim como a [[beleza]], a matemática é difícil de definir, está comumente relacionada à ''elegância'', que envolve qualidades como [[simplicidade]], [[simetria]], [[Completude (lógica)|completude]] e generalidade. [[G. H. Hardy]], em sua obra ''[[Apologia do Matemático]],'' expressou a crença de que as considerações estéticas são, em si, suficientes para justificar o estudo da [[matemática pura]]. Ele também identificou outros critérios, como [[significância]], imprevisibilidade e inevitabilidade, que contribuem para a estética matemática.<ref>{{Citar livro|url=https://archive.org/details/hardy_annotated/|título=A Mathematician's Apology|ultimo=Hardy|primeiro=G. H.|editora=Cambridge University Press|ano=1940|isbn=978-0-521-42706-7|autorlink=G. H. Hardy|acessodata=22 de novembro de 2022}} See also ''[[Apologia do Matemático|A Mathematician's Apology]]''.</ref> [[Paul Erdős]] expressou este sentimento de forma mais irônica ao falar de "O Livro", uma suposta coleção divina das mais belas provas. A obra literária ''[[Provas conforme O Livro]]'' de 1998, inspirado no livro de Erdős, é uma coleção de argumentos matemáticos particularmente sucintos e reveladores. Alguns exemplos de resultados particularmente elegantes incluídos são a prova de Euclides de que existem infinitos [[números primos]] e a [[transformada rápida de Fourier]] para [[Análise harmónica|análise harmônica]].<ref>{{Citar periódico |título=Reflections on Paul Erdős on His Birth Centenary, Part II |data=Março de 2015 |periódico=Notices of the American Mathematical Society |número=3 |ultimo=Alon |primeiro=Noga |ultimo2=Goldston |primeiro2=Dan |editor-sobrenome=Krishnaswami |editor-nome=Alladi |paginas=226–247 |doi=10.1090/noti1223 |ultimo3=Sárközy |primeiro3=András |ultimo4=Szabados |primeiro4=József |ultimo5=Tenenbaum |primeiro5=Gérald |ultimo6=Garcia |primeiro6=Stephan Ramon |ultimo7=Shoemaker |primeiro7=Amy L. |editor-sobrenome2=Krantz |editor-nome2=Steven G. |volume=62 |doi-access=free}}</ref>

Alguns acham que considerar a matemática uma ciência é subestimar a sua arte e história nas sete [[artes liberais]] tradicionais.<ref>See, for example [[Bertrand Russell]]'s statement "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty ..." in his {{Citar livro|título=History of Western Philosophy|ano=1919}}</ref> Uma forma desta diferença de [[ponto de vista]] se manifestar é no debate filosófico sobre se os resultados matemáticos são ''criados'' (como na arte) ou ''descobertos'' (como na ciência).<ref name="borel">{{Citar periódico |título=Mathematics: Art and Science |periódico=The Mathematical Intelligencer |publicado=Springer |número=4 |ultimo=Borel |primeiro=Armand |autorlink=Armand Borel |ano=1983 |paginas=9–17 |doi=10.4171/news/103/8 |issn=1027-488X |volume=5 |doi-access=free}}</ref>

== Impacto cultural ==

=== Expressão artística ===
[[Ficheiro:Julia_set_(highres_01).jpg|miniaturadaimagem|[[Fractal]] com simetria de escala e simetria central]]

[[Notas musicais]] que soam bem juntas para um ouvido ocidental são sons cujas [[frequência]]s fundamentais de vibração estão em proporções simples. Por exemplo, uma oitava duplica a frequência e uma [[quinta justa]] multiplica-a por <math>\frac{3}{2}</math>.<ref>{{Citar periódico |título=Musical intervals and simple number ratios |data=outubro de 1959 |periódico=Journal of Research in Music Education |número=2 |ultimo=Cazden |primeiro=Norman |paginas=197–220 |doi=10.1177/002242945900700205 |jstor=3344215 |volume=7}}</ref><ref>{{Citar periódico |título=Modern mathematics and music |data=Outubro de 1967 |periódico=The Mathematical Gazette |publicado=Cambridge University Press ({CUP}) |número=377 |ultimo=Budden |primeiro=F. J. |paginas=204–215 |doi=10.2307/3613237 |jstor=3613237 |volume=51}}</ref>

Os humanos, assim como alguns outros animais, consideram os padrões simétricos mais bonitos.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.nature.com/articles/372169a0 |título=Symmetry, beauty and evolution |data=Novembro de 1994 |acessodata=29 de dezembro de 2022 |periódico=Nature |número=6502 |ultimo=Enquist |primeiro=Magnus |ultimo2=Arak |primeiro2=Anthony |paginas=169–172 |lingua=en |bibcode=1994Natur.372..169E |doi=10.1038/372169a0 |issn=1476-4687 |pmid=7969448 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221228052049/https://www.nature.com/articles/372169a0 |arquivodata=28 de dezembro de 2022 |volume=372}}</ref> Matematicamente, as simetrias de um objeto formam um grupo conhecido como [[grupo de simetria]].<ref>{{Citar web|ultimo=Hestenes|primeiro=David|url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/SymmetryGroups.pdf|titulo=Symmetry Groups|data=1999|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=geocalc.clas.asu.edu|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230101210124/http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/SymmetryGroups.pdf|arquivodata=1 de janeiro de 2023|urlmorta=live}}</ref>

Por exemplo, o grupo subjacente à simetria do espelho é o [[grupo cíclico]] de dois elementos, <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> . Um [[teste de Rorschach]] é uma figura invariante por esta simetria,<ref>{{Citar enciclopédia|ultimo=Bender|primeiro=Sara|titulo=The Rorschach Test|data=Setembro de 2020|enciclopédia=The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment|publicado=Wiley|editor-sobrenome=Carducci|paginas=367–376|doi=10.1002/9781119547167.ch131|isbn=978-1-119-05751-2|editor-sobrenome2=Nave|editor-nome2=Christopher S.|editor-sobrenome3=Mio|editor-sobrenome4=Riggio|editor-nome4=Ronald E.}}</ref> assim como os corpos de [[borboletas]] e animais em geral (pelo menos na superfície).<ref>{{Citar livro|título=Symmetry|ultimo=Weyl|primeiro=Hermann|editora=Princeton University Press|ano=2015|series=Princeton Science Library|volume=47|isbn=978-1-4008-7434-7|autorlink=Hermann Weyl}}</ref> As ondas na superfície do mar possuem simetria de translação: mover o ponto de vista pela distância entre as cristas das ondas não altera a visão do mar. [[Fractal|Fractais]] possuem [[autossimilaridade]].<ref>{{Citar web|ultimo=Bradley|primeiro=Larry|url=https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/fractals.html|titulo=Fractals – Chaos & Fractals|data=2010|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=www.stsci.edu|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230307054609/https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/fractals.html|arquivodata=7 de março de 2023|urlmorta=live}}</ref><ref>{{Citar web|url=https://math.bu.edu/DYSYS/chaos-game/node5.html|titulo=Self-similarity|acessodata=29 de dezembro de 2022|website=math.bu.edu|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230302132911/http://math.bu.edu/DYSYS/chaos-game/node5.html|arquivodata=2 de março de 2023|urlmorta=live}}</ref>

=== Popularização ===
A matemática popular é o ato de apresentar a matemática sem termos técnicos.<ref>{{Citar conferência |ultimo=Kissane |primeiro=Barry |url=https://researchrepository.murdoch.edu.au/id/eprint/6242/ |titulo=Popular mathematics |data=Julho de 2009 |acessodata=29 de dezembro de 2022 |publicado=Australian Association of Mathematics Teachers |local=Fremantle, Western Australia |paginas=125–126 |conferencia=22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers |arquivourl=https://web.archive.org/web/20230307054610/https://researchrepository.murdoch.edu.au/id/eprint/6242/ |arquivodata=7 de março de 2023}}</ref> Apresentar matemática pode ser difícil, uma vez que o público em geral sofre de ansiedade matemática e os objetos matemáticos são altamente abstratos.<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=-d3TBwAAQBAJ|dq="popular mathematics" analogies|p=2}}|título=Mathematics Today Twelve Informal Essays|ultimo=Steen|primeiro=L. A.|data=2012|editora=Springer Science & Business Media|língua=en|isbn=978-1-4613-9435-8|acessodata=3 de janeiro de 2023}}</ref> No entanto, a escrita matemática popular pode superar isto usando aplicativos ou referências culturais.<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=9nGQDQAAQBAJ|dq="popular mathematics" analogies|p=331}}|título=The Best Writing on Mathematics 2016|ultimo=Pitici|primeiro=Mircea|data=2017|editora=Princeton University Press|língua=en|isbn=978-1-4008-8560-2|acessodata=3 de janeiro de 2023}}</ref>

== Prêmios ==
[[Ficheiro:FieldsMedalFront.jpg|miniaturadaimagem| A frente da [[Medalha Fields]] com uma ilustração do [[polímata]] grego [[Arquimedes]]]]
O prêmio de maior prestígio em matemática é a [[Medalha Fields]],{{Sfn|Monastyrsky|2001|p=1|ps=: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."}}{{Sfn|Riehm|2002|pp=778–782}} criada em 1936 e concedida a cada quatro anos (exceto por volta da [[Frente Iugoslava|Segunda Guerra Mundial]]) a até quatro indivíduos.<ref>{{Citar web|url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal|titulo=Fields Medal {{!}} International Mathematical Union (IMU)|acessodata=21 de fevereiro de 2022|website=www.mathunion.org|arquivourl=https://web.archive.org/web/20181226015744/https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal|arquivodata=26 de dezembro de 2018|urlmorta=live}}</ref><ref name="StAndrews-Fields">{{Citar web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal/|titulo=Fields Medal|acessodata=21 de fevereiro de 2022|website=Maths History|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20190322134417/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal.html|arquivodata=22 de março de 2019|urlmorta=live}}</ref> É considerado o equivalente matemático do [[Prêmio Nobel]].<ref name="StAndrews-Fields" />

Outros prêmios de matemática de prestígio incluem:<ref>{{Citar web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/|titulo=Honours/Prizes Index|acessodata=20 de fevereiro de 2023|editor=[[Universidade de St. Andrews]]|arquivourl=https://web.archive.org/web/20211217235828/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/|arquivodata=17 de dezembro de 2021|urlmorta=live}}</ref>

* O [[Prémio Abel|Prêmio Abel]], instituído em 2002<ref>{{Citar web|url=https://abelprize.no/page/about-abel-prize|titulo=About the Abel Prize|acessodata=23 de janeiro de 2022|publicado=The Abel Prize|arquivourl=https://web.archive.org/web/20220414060442/https://abelprize.no/page/about-abel-prize|arquivodata=14 de abril de 2022|urlmorta=live}}</ref> e concedido pela primeira vez em 2003;<ref>{{Citar enciclopédia|url=https://www.britannica.com/science/Abel-Prize|titulo=Abel Prize {{!}} mathematics award|acessodata=23 de janeiro de 2022|enciclopédia=Encyclopædia Britannica|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20200126120202/https://www.britannica.com/science/Abel-Prize|arquivodata=26 de janeiro de 2020|urlmorta=live}}</ref>
* A [[Medalha Chern]] pelo conjunto da obra, introduzida em 2009<ref>{{Citar web|url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Chern/Chern_MedalPress_Release_090601.pdf|titulo=Chern Medal Award|data=1 de junho de 2009|acessodata=21 de fevereiro de 2022|website=www.mathunion.org|arquivourl=https://web.archive.org/web/20090617012953/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Chern/Chern_MedalPress_Release_090601.pdf|arquivodata=17 de junho de 2009|urlmorta=live}}</ref> e concedida pela primeira vez em 2010;<ref>{{Citar web|url=https://www.mathunion.org/imu-awards/chern-medal-award|titulo=Chern Medal Award|acessodata=23 de janeiro de 2022|publicado=International Mathematical Union (IMU)|arquivourl=https://web.archive.org/web/20100825071850/http://www.mathunion.org/general/prizes/chern/details|arquivodata=25 de agosto de 2010|urlmorta=live}}</ref>
* O [[Prêmio Leroy P. Steele|Prêmio]] [[American Mathematical Society|AMS]] Leroy P. Steele, concedido desde 1970;<ref>{{Citar web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/AMSSteelePrize/|titulo=The Leroy P Steele Prize of the AMS|acessodata=17 de novembro de 2022|publicado=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland|arquivourl=https://web.archive.org/web/20221117201134/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/AMSSteelePrize/|arquivodata=17 de novembro de 2022|urlmorta=live}}</ref>
* O [[Prêmio Wolf de Matemática]], também pelo conjunto da obra,<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/4149|título=Wolf Prize in Mathematics|ultimo=Chern|primeiro=S. S.|ultimo2=Hirzebruch|primeiro2=F.|data=Setembro de 2000|língua=en|doi=10.1142/4149|isbn=978-981-02-3945-9|acessodata=21 de fevereiro de 2022|arquivourl=https://web.archive.org/web/20220221171351/https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/4149|arquivodata=21 de fevereiro de 2022}}</ref> instituído em 1978.<ref>{{Citar web|url=https://wolffund.org.il/the-wolf-prize/|titulo=The Wolf Prize|acessodata=23 de janeiro de 2022|website=Wolf Foundation|lingua=en-US|arquivourl=https://web.archive.org/web/20200112205029/https://wolffund.org.il/the-wolf-prize/|arquivodata=12 de janeiro de 2020|urlmorta=live}}</ref>

Uma famosa lista de 23 [[Problema em aberto|problemas em aberto]], chamada "[[problemas de Hilbert]]", foi compilada em 1900 pelo matemático alemão [[David Hilbert]].<ref name=":0">{{Citar web|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|titulo=Hilbert's Problems: 23 and Math|data=6 de maio de 2020|acessodata=23 de janeiro de 2022|website=Simons Foundation|lingua=en-US|arquivourl=https://web.archive.org/web/20220123011430/https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|arquivodata=23 de janeiro de 2022|urlmorta=live}}</ref> Esta lista alcançou grande celebridade entre os matemáticos<ref>{{Citar livro|url={{GBurl|id=1rjnCwAAQBAJ}}|título=In the Light of Logic|ultimo=Feferman|primeiro=Solomon|editora=Oxford University Press|ano=1998|series=Logic and Computation in Philosophy series|páginas=3–27|capitulo=Deciding the undecidable: Wrestling with Hilbert's problems|isbn=978-0-19-508030-8|autorlink=Solomon Feferman|acessodata=29 de novembro de 2022}}</ref> e, desde 2022, pelo menos treze dos problemas (dependendo de como alguns são interpretados) foram resolvidos.<ref name=":0" />

Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulada "[[Problemas do Prémio Millennium|Problemas do Prêmio Millennium]]", foi publicada no ano 2000. Apenas uma delas, a [[Hipótese de Riemann]], duplica um dos problemas de Hilbert. Uma solução para qualquer um desres problemas acarreta uma recompensa de 1 milhão de dólares.<ref>{{Citar web|url=http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|titulo=The Millennium Prize Problems|acessodata=23 de janeiro de 2022|publicado=Clay Mathematics Institute|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150703184941/http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|arquivodata=3 de julho de 2015|urlmorta=live}}</ref> Até hoje, apenas um destes problemas, a [[Conjectura de Poincaré]], foi resolvido.<ref>{{Citar web|url=http://www.claymath.org/millennium-problems|titulo=Millennium Problems|acessodata=23 de janeiro de 2022|publicado=Clay Mathematics Institute|arquivourl=https://web.archive.org/web/20181220122925/http://www.claymath.org/millennium-problems|arquivodata=20 de dezembro de 2018|urlmorta=live}}</ref>

== Ver também ==
*[[Lista de constantes matemáticas]]
{{notas e referências}}

=== Bibliografia ===
{{refbegin|30em}}
* {{citar livro|último =Bouleau |primeiro =Nicolas |título=Philosophie des mathématiques et de la modélisation: Du chercheur à l'ingénieur |publicado=L'Harmattan |ano=1999 |isbn=978-2-7384-8125-2 |ref=harv}}
* {{citar livro|último1 =Boyer |primeiro1 =Carl Benjamin |autorlink1 =Carl Benjamin Boyer |título=A History of Mathematics |data=1991 |publicado=Wiley |local=Nova York |isbn=978-0-471-54397-8 |edição=2ª |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/n3/mode/2up |capítulo= |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Eves |primeiro =Howard |autorlink =Howard Eves |título=An Introduction to the History of Mathematics |edição=6th |publicado=Saunders |ano=1990 |isbn=978-0-03-029558-4  |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Kleiner |primeiro =Israel |editor-first1=Israel |editor-last1=Kleiner |ano=2007 |título=A History of Abstract Algebra |publicado=Springer Science & Business Media |doi=10.1007/978-0-8176-4685-1 |isbn=978-0-8176-4684-4 |lccn=2007932362 |oclc=76935733 |s2cid=117392219 |url={{GBurl|id=RTLRBK-wj6wC}} |acessodata=8 de fevereiro de 2024 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Kline |primeiro =Morris |autorlink =Morris Kline |título=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin |local=Nova York |publicado=Oxford University Press |edição=|ano=1990 |isbn=978-0-19-506135-2  |ref=harv}}
* {{citar periódico|último =Monastyrsky |primeiro =Michael |url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf |ano=2001 |título=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal |periódico=CMS – Notes – de la SMC |volume=33 |número=2–3 |publicado=Canadian Mathematical Society |acessodata=28 de julho de 2006 |arquivodata=13 de agosto de 2006 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20060813224844/http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf |urlmorta=live  |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Oakley |primeiro =Barbara |título=A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) |data=2014 |publicado=Penguin Random House |local=Nova York |url=https://archive.org/details/isbn_9780399165245|citação=A Mind for Numbers. |isbn=978-0-399-16524-5  |ref=harv}}
* {{citar periódico|último =Peirce |primeiro =Benjamin |autorlink =Benjamin Peirce |páginas=97–229 |título=Linear associative algebra |editor-link=Charles Sanders Peirce |editor-nome =Charles&nbsp;Sanders |editor-sobrenome =Peirce |edição=Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B.&nbsp;Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph |periódico=American Journal of Mathematics |volume=4 |ano=1881 |url={{GBurl|id=De0GAAAAYAAJ|q=Peirce Benjamin Linear Associative Algebra|p=1}} |id=Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B.&nbsp;Peirce and annotations by his son, C.&nbsp;S.&nbsp;Peirce, of the 1872 lithograph ed. ''Google'' [{{GBurl|id=LQgPAAAAIAAJ|p=221}} Eprint] and as an extract, D.&nbsp;Van Nostrand, 1882, ''Google'' [https://archive.org/details/bub_gb_De0GAAAAYAAJ Eprint] |número=1–4 |doi=10.2307/2369153 |jstor=2369153 |hdl=2027/hvd.32044030622997 |hdl-access=free |acessodata=17 de novembro de 2020  |ref=harv}}.
* {{citar livro|último =Peterson |primeiro =Ivars |ano=1988 |título=The Mathematical Tourist: Snapshots of Modern Mathematics |publicado=W. H. Freeman and Company |isbn=0-7167-1953-3 |lccn=87033078 |oclc=17202382 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Popper |primeiro =Karl R. |autorlink =Karl Popper |título=In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years |local=New York |publicado=Routledge |capítulo=On knowledge |ano=1995 |isbn=978-0-415-13548-1 |bibcode=1992sbwl.book.....P |url=https://archive.org/details/insearchofbetter00karl  |ref=harv}}
* {{citar periódico|último =Riehm |primeiro =Carl |título=The Early History of the Fields Medal |periódico=Notices of the AMS |volume=49 |número=7 |páginas=778–782 |data=Agosto de 2002 |url=https://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf |acessodata=2 de outubro de 2006 |arquivodata=26 de outubro de 2006 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20061026000014/http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf |urlmorta=live |ref=harv}}
* {{citar periódico|último =Sevryuk |primeiro =Mikhail B. |data=Janeiro de 2006 |título=Book Reviews |periódico=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=43 |número=1 |páginas=101–109 |url=https://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf |acessodata=24 de junho de 2006 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01069-4 |arquivodata=23 de julho de 2006 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20060723082901/http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf |urlmorta=live |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Whittle |primeiro =Peter |capítulo=Almost home |editor-nome =F.P. |editor-sobrenome =Kelly |ano=1994 |título=Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle |local=Chichester |publicado=John Wiley |isbn=978-0-471-94829-2 |páginas=1–28 |capítulourl=http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |edição=previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" |urlmorta=live |arquivourl=https://web.archive.org/web/20131219080017/http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |arquivodata=19 de dezembro de 2013  |ref=harv}}
{{refend}}

== Ligações externas ==
* [http://www.impa.br/ Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Brasil]

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{{Ciências}}
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