Деление (математика): различия между версиями

'''Деле́ние''' ('''операция деления''')  — действие, обратное [[умножение|умножению]]. Деление [[Знак деления|обозначается]] [[двоеточие]]м <math>:</math>, [[обелюс]]ом <math>\div</math>, [[Косая черта|косой чертой]] <math>/</math> или горизонтальнойзаписывается чертойв виде [[Обыкновенная дробь|дроби]].

В этом случае число <math>14</math> называется '''[[Делимое|делимым]]''', число <math>3</math>  — '''[[Делитель|делителем]]''', число <math>4</math>  — '''[[Неполное частное|(неполным) частным]]''' и число <math>2</math>  — '''[[Остаток от деления|остатком (от деления)]]'''.

'''Полным частным''', '''отношением''' или '''[[Соотношение|соотношениемсоотношение]]м''' чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется такое число <math>c</math>, что <math>a=b\cdot c</math>. В случае, когда <math>a=14</math> и <math>b=3</math>, их полное частное может быть записано в виде [[Обыкновенная дробь|обыкновенной дроби]] <math>\frac{14}{3}</math> или [[Десятичная дробь|десятичной дроби]] <math>4,(6)</math>.

* Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде ''[[Acta eruditorum]]'' 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633  году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.

* Относительно деления в множестве <math>A</math> существует единственный нулевой элемент слева  — число <math>0</math>, делённое на любое число, даёт нуль:

== Выполнение деления ==

<math>a:b = \operatorname{hyper-2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -2, b) = a ^ {(-2)} b=c.</math><br />

<math> a {^{(-2)}} b = a : b = a \underbrace{ - b - b - \dots - b}_{c}.</math><br />

где: <math>- b - b - \dots - b</math>  — последовательность операций вычитания, выполненная <math>c</math> раз.

# <math>\quad [C]=[A] : [B] = [\rightarrow (A / (\rightarrow B)]\quad \& \quad[R]</math>  — деление напо равные частисодержанию (отыскание числа элементов в каждом подмножествеподмножеств разбиения), частным чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется число элементов каждого(количество) подмножестваподмножеств разбиения;

<math>\rightarrow</math>  — [[Арность|нульарная]] операция "«выделение элемента"».

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. На остаток накладываются следующее ограничение (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): <math>0\leqslant r<|b|</math>, <math>a = b\cdot c + r</math>,

Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел <math> \mathbb{N} </math>, (для [[Полукольцо|полукольца]] натуральных чисел).

[[Файл:Диаграмма13.svg|центр|890x890px|Примеры деления множества: верхний ряд  — деление на равные части, нижний ряд  — деление по содержанию.|мини]]

На множестве пар вещественных чисел <math>\mathbb{R}^2</math>[[Область значений функции|область значений]] [[Функция (математика)|функции]] деления <math>c=a : b~</math>[[График функции|графически]] имеет вид гиперболического [[параболоид]]а  — [[Поверхность второго порядка|поверхности второго порядка]]<ref>Уравнение <math>z=\frac{x}{y}</math> заменой переменных легко свести к уравнению гиперболического параболоида <math>\frac{z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2x</math>.</ref>.

[[Единицы физических величин|Единица измерения]] [[Физическая величина|физической величины]] имеет определённое наименование ([[Размерность физической величины|размерность]]): для [[Длина|длины]] (L) — [[метр]] (м), для [[Время|времени]] (T) — [[секунда]] (с), для [[Масса|массы]] (M) — [[грамм]] (г) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием<ref>{{Cite web|url=http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|title=Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста|author=Волинская Н. И.|publisher=brestschool7.iatp.by|accessdate=2016-04-18|archive-date=2016-08-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20160807101705/http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|deadlink=no}}</ref>. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции деления. При производстве операции деления над физическими величинами, делятся как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Деление разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы делим. Если физически возможно создание такого частного, например, при нахождении работы, [[Скорость|скорости]] или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин присваивается новое обозначение (новый [[термин]]), например: [[плотность]], [[ускорение]], [[мощность]] и прочее<ref>{{Cite web|url=http://lithology.ru/node/943|title=О «размерности» физических величин|author=Макаров Владимир Петрович|publisher=lithology.ru, Литология.РФ|accessdate=2016-04-18|archive-date=2016-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160506143359/http://lithology.ru/node/943|deadlink=no}}</ref>.

В отличие от простейших арифметических случаев, на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если [[Нейтральный элемент|единичный элемент]] вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то [[обратный элемент]] часто может быть как левым (<math>x^{-1}*x=e</math>), так и правым (<math>x*x^{-1}=e</math>). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

По определению числовых множеств <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> [[Деление на ноль|деление на число 0]] не определено. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, числа на нульноль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного<ref>''М. Я. Выгодский'' Справочник по элементарной математике.</ref>. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным [[Бесконечность|бесконечности]]» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов).

С [[Аффинная геометрия|геометрической]] точки зрения выполняется [[Расширенная числовая прямая|аффинное расширение числовой прямой]]. То есть привычная последовательность вещественных чисел «сжимается» так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно большие величины]] <math>+ \infty, - \infty</math>.

С точки зрения [[Общая топология|общей топологии]] выполняется двухточечная [[компактификация]] числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:

Если произвести [[ПроективноеПроективно преобразованиерасширенная числовая прямая|проективное]] расширение множества вещественных чисел]] введением идеализированной точки <math>\infty~</math>, которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения [[Общая топология|общей топологии]] будет выполнена [[Компактификация#Одноточечная компактификация|одноточечная компактификация]] числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом <math> \perp = 0/0 </math>, в результате получится <math>\mathbb{R}_{\perp}^\infty =\mathbb{R} \cup \{ \infty,\perp \}</math>, на данной основе строится алгебраическая структура <math>\mathfrak W =\langle \mathbb{R}_{\perp}^\infty, 0, 1, +, \cdot, / \rangle ~</math>называемая «{{Iw|[[Колесо (математикаалгебра)|Колесом||Wheel_theory}}]]» (Wheel)<ref>{{Книга|автор=Jesper Carlstrom|заглавие=Wheels — On Division by Zero|ответственный=|издание=|место=Stockholm|издательство=Department of Mathematics Stockholm University|год=2001|страницы=|страниц=48|isbn=|isbn2=|ref=Wheels}}</ref>. Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту [[Алгебраическая система|алгебраическую систему]] в [[моноид]] как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

University of Amsterdam|год=2014|страницы=|страниц=16|isbn=|isbn2=|ref=Common Meadows|archivedate=2018-03-26|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180326203024/https://arxiv.org/pdf/1406.6878v2.pdf}}</ref>. Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а также отказом от бинарного деления.

* [[Деление многочленов столбиком]]