Деление (математика): различия между версиями

'''Деле́ние''' ('''операция деления''')  — действие, обратное [[умножение|умножению]]. Деление [[Знак деления|обозначается]] [[двоеточие]]м <math>:</math>, [[обелюс]]ом <math>\div</math>, [[Косая черта|косой чертой]] <math>/</math> или записывается в виде [[Обыкновенная дробь|дроби]].

В этом случае число <math>14</math> называется '''[[Делимое|делимым]]''', число <math>3</math>  — '''[[Делитель|делителем]]''', число <math>4</math>  — '''[[Неполное частное|(неполным) частным]]''' и число <math>2</math>  — '''[[Остаток от деления|остатком (от деления)]]'''.

'''Полным частным''', '''отношением''' или '''[[Соотношение|соотношениемсоотношение]]м''' чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется такое число <math>c</math>, что <math>a=b\cdot c</math>. В случае, когда <math>a=14</math> и <math>b=3</math>, их полное частное может быть записано в виде дроби <math>\frac{14}{3}</math> или [[Десятичная дробь|десятичной дроби]] <math>4,(6)</math>.

* Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде ''[[Acta eruditorum]]'' 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633  году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.

* Относительно деления в множестве <math>A</math> существует единственный нулевой элемент слева  — число <math>0</math>, делённое на любое число, даёт нуль:

== Выполнение деления ==

<math>a:b = \operatorname{hyper-2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -2, b) = a ^ {(-2)} b=c.</math><br />

<math> a {^{(-2)}} b = a : b = a \underbrace{ - b - b - \dots - b}_{c}.</math><br />

где: <math>- b - b - \dots - b</math>  — последовательность операций вычитания, выполненная <math>c</math> раз.

# <math>\quad [C]=[A] : [B] = [\rightarrow (A / B)]\quad \& \quad[R]</math>  — деление на равные части (отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения), частным чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется число элементов каждого подмножества разбиения;

# <math>\quad [C]=[A] : [B] = [A / (\rightarrow B)]\quad \& \quad[R]</math>  — деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения), частным чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется число (количество) подмножеств разбиения;

где: <math>A / B</math> это  — [[разбиение множества|разбиение конечного множества]] на равночисленные попарно не пересекающиеся [[Подмножество|подмножества]], такие что:

<math>\rightarrow</math>  — [[Арность|нульарная]] операция "«выделение элемента"».

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. На остаток накладываются следующее ограничение (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): <math>0\leqslant r<|b|</math>, <math>a = b\cdot c + r</math>,

Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел <math> \mathbb{N} </math>, (для [[Полукольцо|полукольца]] натуральных чисел).

[[Файл:Диаграмма13.svg|центр|890x890px|Примеры деления множества: верхний ряд  — деление на равные части, нижний ряд  — деление по содержанию.|мини]]

На множестве пар вещественных чисел <math>\mathbb{R}^2</math>[[Область значений функции|область значений]] [[Функция (математика)|функции]] деления <math>c=a : b~</math>[[График функции|графически]] имеет вид гиперболического [[параболоид]]а  — [[Поверхность второго порядка|поверхности второго порядка]]<ref>Уравнение <math>z=\frac{x}{y}</math> заменой переменных легко свести к уравнению гиперболического параболоида <math>\frac{z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2x</math>.</ref>.

Если произвести [[Проективно расширенная числовая прямая|проективное расширение множества вещественных чисел]] введением идеализированной точки <math>\infty~</math>, которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения [[Общая топология|общей топологии]] будет выполнена [[Компактификация#Одноточечная компактификация|одноточечная компактификация]] числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом <math> \perp = 0/0 </math>, в результате получится <math>\mathbb{R}_{\perp}^\infty =\mathbb{R} \cup \{ \infty,\perp \}</math>, на данной основе строится алгебраическая структура <math>\mathfrak W =\langle \mathbb{R}_{\perp}^\infty, 0, 1, +, \cdot, / \rangle ~</math>называемая «{{Iw|[[Колесо (математикаалгебра)|Колесом||Wheel_theory}}]]» (Wheel)<ref>{{Книга|автор=Jesper Carlstrom|заглавие=Wheels — On Division by Zero|ответственный=|издание=|место=Stockholm|издательство=Department of Mathematics Stockholm University|год=2001|страницы=|страниц=48|isbn=|isbn2=|ref=Wheels}}</ref>. Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту [[Алгебраическая система|алгебраическую систему]] в [[моноид]] как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.