Просмотр кода страницы Параллельная кривая

[[Файл:Evolute_and_parallel.gif|thumb|Эллипс (красный), его [[эволюта]] (синий) и несколько параллельных кривых (зелёный). Обратите внимание как изламываются параллельные кривые, при встрече с эволютой.]]

'''Параллельная кривая''' или '''эквидистанта''' плоской кривой — [[огибающая]] семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии <math>a</math> от данной определяется уравнениями

: <math>X=x+\frac{ay'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}</math>,
: <math>Y=y-\frac{ax'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}</math>.

Или в векторной форме:

: <math>\vec{r} = r(t)</math>
: <math>\vec{R} = \vec{r} + a \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \vec{r} + \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}</math>,

где матрица <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

==Свойства==

*[[Ориентированная кривизна]] <math>k_a</math> параллельной кривой <math>\gamma_a</math> выражается через кривизну <math>k</math> исходной кривой <math>\gamma</math> по формуле 
*:<math>k_a=\frac{k}{|1-a\cdot k|}.</math>

== См. также ==
* [[Эволюта]]
* [[Эвольвента]]

== Ссылки ==
* {{MathWorld|ParallelCurves|Параллельные кривые}}

{{geometry-stub}}
{{Кривые}}

{{Дифференциальные преобразования кривых}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия кривых]]