Просмотр кода страницы Производная функции

{{Значения|Производная}}
: ''Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. [[Комплексный анализ]]''.
[[Файл:Derivative of a function.svg|thumb|right|200px|Иллюстрация понятия производной]]
'''Произво́дная''' функции — понятие [[Дифференциальное исчисление|дифференциального исчисления]], характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как [[Предел функции|предел]] отношения [[Приращение функции|приращения функции]] к приращению её [[Функция (математика)|аргумента]] при стремлении приращения аргумента к [[Ноль (число)|нулю]] (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется '''дифференци́рованием'''.
Обратный процесс — нахождение [[Первообразная|первообразной]] — [[интегрирование]].

== История ==
В классическом [[дифференциальное исчисление|дифференциальном исчислении]] производная чаще всего определяется через понятие [[Предел (математика)|предела]], однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] называл производную ''флюксией'', обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия [[Дифференциал (математика)|дифференциал]]<ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 155—156</ref>.

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил [[Висковатов, Василий Иванович|В. И. Висковатов]], переведя на [[русский язык]] соответствующий французский термин ''dérivée'', используемый французским математиком [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжем]]<ref>{{книга|автор=[[Комков, Геннадий Данилович|Комков Г. Д.]], Левшин Б. В., Семенов Л. К.|заглавие=Академия наук СССР. Краткий исторический очерк (в двух томах)|том=1. 1724—1917|год=1977|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|страницы=173|издание=2-е изд}}</ref>.

== Определение ==
Пусть в некоторой [[Окрестность|окрестности]] [[Точка (геометрия)|точки]] <math>x_0 \in \R</math> определена [[Функция (математика)|функция]] <math>f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Производной функции называется такое число <math>A</math>, что функцию в окрестности <math> U(x_0) </math> можно представить в виде
: <math>f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h),  h \rightarrow 0</math>
если <math>A</math> существует.

=== Определение производной функции через [[Предел функции|предел]] ===
Пусть в некоторой [[Окрестность|окрестности]] [[Точка (геометрия)|точки]] <math>x_0 \in \R</math> определена [[Функция (математика)|функция]] <math>f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Производной функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется [[Предел функции|предел]], если он существует,
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{{\Delta x}\to 0} \frac{\Delta{f(x)}}{\Delta x}.</math>

=== Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x<sub>0</sub> ===
: <math>f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).</math>
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в [[Теоретическая механика|теоретической механике]] и физике, исторически часто тоже).

== Таблица производных ==
{| class="wikitable"
|-
! Производные степенных функций !! Производные тригонометрических функций !! Производные обратных тригонометрических функций
!Производные гиперболических функций
|-
| <math>\left( const\right) ^{(n)}=0</math>|| <math>\left( \sin x\right) ^{(n)}=\sin(x + \dfrac{\pi n}{2}) </math>|| <math>\left( \arcsin x\right) '=\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}</math>
|<math>(\sinh x)' = \cosh x</math>
|-
| <math>\left( x^{a}\right) ^{(n)}=\dfrac{a!}{(a-n)!}x^{a-n}</math>|| <math>\left( \cos x\right) ^{(n)}=-sin(x + \dfrac{\pi n}{2})</math>|| <math>\left( \arccos x\right) '=-\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}</math>
|<math display="inline">(\cosh x)' = \sinh x</math>
|-
| <math>\left( a^{x}\right) ^{(n)}=a^{x}\ln^{n} a</math>|| <math>\left( \operatorname{tg} x\right) '=\sec^2 x</math>|| <math>\left( \operatorname{arctg} x\right) '=\dfrac {1}{1+x^{2}}</math>
|<math>(\tanh x)' = \operatorname{sch}^2 x</math>
|-
| <math>\left( e^{x}\right) ^{\left( n\right) }=e^{x}</math>|| <math>\left( \operatorname{ctg} x\right) '=-\csc^2 x</math>|| <math>\left( \operatorname{arcctg} x\right) '=-\dfrac {1}{1+x^{2}}</math>
|<math>(\coth x)' = -\operatorname{csch}^2 x</math>
|-
|<math>\left( \log_{a}x\right) ^{(n)}=\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}\ln a}</math>
|<math>\left( \operatorname{sec} x\right) '= \sec x \cdot \mathrm{tg}\ x</math>
|<math>\left( \operatorname{arcsec} x\right) '= \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>
|<math>(\mathrm{sch}\ x)' = -\frac{\sinh x}{\cosh^2 x}</math>
|-
|<math>(\ln{x}) ^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}</math>
|<math>\left( \operatorname{cosec} x\right) '= -\mathrm{cosec}\ x \cdot \mathrm{ctg}\ x</math>
|<math>\left( \operatorname{arccosec} x\right) '= -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>
|<math>(\mathrm{csch}\ x)' = -\frac{\cosh x}{\sinh^2 x}</math>
|}
== Дифференцируемость ==
{{main|Дифференцируемая функция}}
Производная <math>f'(x_0)</math> функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math>, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция <math>f</math> является дифференцируемой в точке <math>x_0</math> тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
: <math>f \in \mathcal{D}(x_0)\Leftrightarrow\exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty).</math>
Для дифференцируемой в <math>x_0</math> функции <math>f</math> в окрестности <math>U(x_0)</math> справедливо представление
: <math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)</math> при <math>x \to x_0.</math>

== Замечания ==
* Назовём <math>\Delta x = x - x_0</math> [[Приращение (математика)|приращением]] аргумента функции, а <math>\Delta y = f(x) - f(x_0)</math> или <math>\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)</math> приращением значения функции в точке <math>x_0.</math> Тогда
*: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}.</math>
* Пусть функция <math>f\colon(a,b) \to \R</math> имеет конечную производную в каждой точке <math>x_0 \in (a,b).</math> Тогда определена '''произво́дная фу́нкция'''
*: <math>f'\colon(a,b) \to \R.</math>
* Функция, имеющая производную в точке, [[Непрерывная функция|непрерывна]] в ней. Обратное не всегда верно.
{{Якорь|Непрерывная дифференцируемость}}
* Если производная функция сама является непрерывной, то функцию <math>f</math> называют '''непреры́вно дифференци́руемой''' и пишут: <math>f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).</math>

== Геометрический и физический смысл производной ==

=== Тангенс угла наклона касательной прямой ===
[[Файл:Derivative-SVG.svg|thumb|300px|right|Геометрический смысл производной. На [[График функции|графике функции]] выбирается [[абсцисса]] ''x<sub>0</sub>'' и вычисляется соответствующая [[ордината]] ''f(x<sub>0</sub>)''. В окрестности точки ''x<sub>0</sub>'' выбирается произвольная точка ''x''. Через соответствующие точки на графике функции F проводится [[секущая]] (первая светло-серая линия C<sub>5</sub>). Расстояние ''Δx = x — x<sub>0</sub>'' устремляется к нулю, в результате секущая переходит в [[Касательная|касательную]] (постепенно темнеющие линии C<sub>5</sub> — C<sub>1</sub>). [[Тангенс]] угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке ''x<sub>0</sub>''.]]
{{main|Касательная прямая}}

Если функция <math>f\colon U(x_0) \to \R</math> имеет конечную производную в точке <math>x_0,</math> то в окрестности <math>U(x_0)</math> её можно приблизить [[Линейная функция|линейной функцией]]
: <math>f_l(x) \equiv f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
Функция <math>f_l</math> называется касательной к <math>f</math> в точке <math>x_0.</math> Число <math>f'(x_0) </math> является угловым коэффициентом (''[[Угловой коэффициент|угловым коэффициентом]]'' касательной) или [[тангенс]]ом [[Угол|угла]] наклона касательной прямой.

Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько изменение ординаты больше изменения абсциссы. Если тангенс равен 1, то зависимое переменное изменяется настолько же, насколько изменяется независимое. Если тангенс равен нулю, значит изменение независимой переменной не приводит к изменению зависимой переменной.

Изначально (в геометрических задачах) тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м∕м), но применительно к вычислению производной тангенс может иметь размерность, например, скорость тела есть путь∕время, т. е. м∕с.

=== Скорость изменения функции ===
Пусть <math>s=s(t)</math> — закон прямолинейного [[Механическое движение|движения]]. Тогда <math>v(t_0)=s'(t_0)</math> выражает [[Мгновенная скорость|мгновенную скорость]] движения в момент времени <math>t_0</math>. Новая функция <math>s'(t)</math> также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как <math>s''(t)</math>, а функция <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> выражает [[мгновенное ускорение]] в момент времени <math>t_0.</math>

Вообще производная функции <math>y=f(x)</math> в точке <math>x_0</math> выражает скорость изменения функции в точке <math>x_0</math>, то есть скорость протекания [[Процесс (теория систем)|процесса]], описанного зависимостью <math>y=f(x).</math>

=== В приложениях ===
* При протекании процессов (физических, механических, химических, экономических и т. п.) процесс зависит не только от параметров, но и от скорости изменения этих параметров (вплоть до качественного изменения). Например, при медленном вращении ротора генератора напряжение на выходе будет небольшое и не позволит использовать его во многих технологических операциях. При быстром вращении того же ротора напряжение увеличивается; помимо расширения сферы использования оно, например, начинает представлять опасность для персонала. При еще большей скорости вращения ротора напряжение увеличивается настолько, что может повредить изоляцию проводов, вызвать коронный разряд, вывести из строя подключенное оборудование и т. п. В этом состоит важность информации о скорости изменения параметров.
* Определять производную функции как скорость изменения функции в данной точке не всегда корректно, так как скорость - это изменение какой-то величины в зависимости от времени. Есть задачи, в которых некоторая величина изменяется не в течение времени, а в зависимости от другой величины. В криволинейной трапеции высота изменяется в зависимости от длины основания. Количество прореагировавшего вещества в химическом процессе зависит от концентрации реагентов и т.п. В этих случаях имеет смысл говорить о производной не как о скорости, а как о графике изменений (прироста или убыли) величины в зависимости от другой величины.
* При описании процессов и в теории управления производную рассматривают как реакцию процесса (функции) на управляющий этим процессом параметр (независимое переменное). Насколько интенсивно реагирует процесс на управляющий сигнал (насколько он чувствителен к нему). Какое изменение процесса вызывает небольшое изменение управляющего воздействия.
* В геометрических задачах производная рассматривается как изменение высоты криволинейной трапеции на малом участке ее основания (криволинейную трапецию можно рассматривать как прямоугольник с переменной высотой); изменение радиуса фигуры вращения на малом участке ее оси вращения (фигура вращения рассматривается как цилиндр с переменным радиусом) и т. п.
* Производную можно использовать как предиктор (устройство или метод, предсказывающий будущее процесса). Например, если спрос на продукцию растет, то прирост спроса положительный, в будущем потребность в продукции будет только расти и имеет смысл расширять производство. Если спрос на продукцию падает, то прирост спроса отрицательный и в будущем продукция станет не востребована. Имеет смысл закрывать или перепрофилировать производство.
* В [[ПИД-регулятор]]ах в качестве предиктора используется дифференциальная составляющая: если скорость приближения ошибки к опорному сигналу невелика, имеет смысл увеличить управляющее воздействие, чтобы ускорить процесс управления. Если скорость приближения ошибки велика, система управления уменьшает управляющее воздействие, чтобы не проскочить опорный сигнал по инерции.

[[Файл:What is derivative (animation).gif|thumb|Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).]]

== Производные высших порядков ==
Понятие производной произвольного порядка задаётся [[Рекурсия|рекуррентно]]. Полагаем
: <math>f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).</math>
Если функция <math>f</math> дифференцируема в <math>x_0</math>, то производная первого порядка определяется соотношением
: <math>f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).</math>
Пусть теперь производная <math>n</math>-го порядка <math>f^{(n)}</math> определена в некоторой окрестности точки <math>x_0</math> и дифференцируема. Тогда
: <math>f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).</math>
В частности, [[вторая производная]] является производной от производной:
: <math>f''(x_0) = (f'(x))'|_{x=x_0}</math>.
Если функция <math>u = f(x, y, z)</math> имеет в некоторой области D [[частная производная|частную производную]] по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от <math>x, y, z,</math>  может иметь в некоторой точке <math>(x_0,y_0,z_0)</math> частные производные по той же или по любой другой переменной.
Для исходной функции <math>u = f(x, y, z)</math> эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
: <math>u''_{x^2} = f''_{x^2}(x_0, y_0, z_0)</math>  или  <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x^2}</math>
: <math>u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)</math>  или  <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x \partial y}</math>
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется [[смешанная частная производная|смешанной частной производной]]. Например,
: <math>u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)</math>

Класс функций, у которых производная <math>n</math>-порядка является непрерывной, обозначается как <math>C^{(n)}</math>.

== Способы записи производных ==
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
* [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]] <math>f^{(n)}(x_0)</math>, при этом для малых n часто используют штрихи и [[римские цифры]]:
: <math>f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x_0),</math>
: <math>f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x_0),</math>
: <math>f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x_0),</math>
: <math>f^{(4)}(x_0) = f^{IV}(x_0),</math> и т. д.
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
* [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбница]], удобная наглядной записью отношения [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малых]] (только в случае, если <math>x</math> — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
: <math>\frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0)</math>
* [[Ньютон, Исаак|Ньютона]], которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
: <math>\dot{x}(t_0)</math> — производная первого порядка <math>x</math> по <math>t</math> при <math>t=t_0</math>, или <math>\ddot{f}(x_0)</math> — вторая производная <math>f</math> по <math>x</math> в точке <math>x_0</math> и т. д.
* [[Эйлер, Леонард|Эйлера]], использующая [[дифференциальный оператор]] (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с [[функциональный анализ|функциональным анализом]]:
: <math> \mathrm{D}^n\!f(x_0)</math>, или иногда <math> \partial^n\!f(x_0)</math>.
* В [[Вариационное исчисление|вариационном исчислении]] и [[Математическая физика|математической физике]] часто применяется обозначение <math>f_x</math>, <math>f_{xx}</math>; для значения производной в точке — <math>f_x\vert_{x=x_0}</math>. Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:
: <math> f^{(n)}(x_0)= \frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0) = \overset {\overbrace{\cdot\cdot\ldots\cdot}^{n\ \text{раз}}}f(x_0) = \mathrm{D}^n\!f(x_0) = f{\underbrace{_{xx\ldots x}}_{n\ \text{раз}}}\vert_{x=x_0}.</math>

== Примеры ==
* Пусть <math>f(x) = x^2</math>. Тогда
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.</math>
* Пусть <math>f(x) = |x|</math>. Тогда если <math>x_0 \neq 0,</math> то
: <math>f '(x_0) = \sgn x_0,</math>
где <math>\sgn</math> обозначает [[Функция sgn(x)|функцию знака]]. А если <math>x_0 = 0,</math> то
<math>f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,</math>
а следовательно <math>f'(x_0)</math> не существует.

== Теоремы, связанные с дифференцированием ==
Для непрерывных функций <math>f,g</math> на отрезке <math>[a,b]</math>, дифференцируемых на интервале <math>(a,b)</math> справедливы:

'''[[Лемма Ферма]].''' Если <math>f</math> принимает максимальное или минимальное значение в точке <math>c</math> и существует <math>f'(c)</math>, то <math>f'(c)=0</math>.

'''[[Теорема Ролля|Теорема о нуле производной]].''' Если <math>f</math> принимает на концах отрезка <math>[a,b]</math> одинаковые значения, то на интервале <math>(a,b)</math> найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

'''[[Формула конечных приращений]].''' Для <math>f</math> найдётся точка <math>c\in(a,b)</math>, такая что <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)</math>.

'''[[Теорема Коши о среднем значении]].''' Если <math>g'</math> не равна нулю на интервале <math>(a,b)</math>, то найдётся такая точка <math>c\in(a,b)</math>, что <math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>.

'''[[Правило Лопиталя]].''' Если <math>\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0</math> или <math>\infty</math>, причём <math>g'(x)\ne 0</math> для всякого <math>x</math> из некоторой проколотой окрестности <math>c</math> и существует <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>, то <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>.

== Правила дифференцирования ==
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если <math>C</math> — постоянное число и <math>f=f(x), g=g(x)</math> — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие ''правила дифференцирования:''
* <math>C'=0</math>
* <math>x'=1</math>
* <math>\left(f+g\right)'=f '+g'</math><ref>Производная суммы равна сумме производных</ref>
{{Доказательство|
<math>y(x)=f(x)+g(x)</math>

<math>y'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{y(x+\Delta{x})-y(x)}{\Delta x}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(f(x+\Delta{x})+g(x+\Delta{x})) - (f(x)+g(x))}{\Delta x}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x \to 0}{(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x})}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=</math>

<math>=f'(x)+g'(x)</math>}}
* <math>\left(fg\right)'=f'g+fg'</math><ref>Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу</ref>
{{Доказательство|
<math>y(x)=f(x)g(x)</math>

<math>\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)</math>

<math>\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)</math>

<math>y'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)}{\Delta x}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)  g(x)+\Delta f(x)  \Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}(f(x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+g(x)\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}+\Delta g(x)\frac{\Delta f(x)}{\Delta x})=</math>

<math>=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=</math>

<math>=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>}}
* <math>\left(Cf\right)'=Cf'</math>
* <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}</math> …(g <big>≠</big> 0)
{{Доказательство|<math>y(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math>

<math>\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)</math>

<math>\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)</math>

<math>y'(x)=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}\lim_{\Delta x\to0}{\frac{(f(x)+\Delta f(x))g(x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}\lim_{\Delta x\to0}{\frac{f(x)g(x)+\Delta f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}\lim_{\Delta x\to0}{(g(x)\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}-f(x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta x})}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=</math>

<math>=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}</math>}}
* <math>\left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2}</math> (g <big>≠</big> 0)
* Если функция задана параметрически:
<math>\left\{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right.</math>, то
<math>y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=y'_t\cdot t'_x=\frac{y'_t}{x'_t}</math>
{{main|Дифференцирование сложной функции}}
* <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x</math>
* Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования ([[Формула Лейбница (производной произведения)|формула Лейбница]]):
: <math>(f g)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}},</math> где <math>C_n^k</math> — [[биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]].
'''Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:'''
* если функция дифференцируема на интервале <math>(a,b)</math>, то она непрерывна на интервале <math>(a,b)</math>. Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция <math>y(x)=|x|</math> на <math>[-1,1]</math>);
* если функция имеет локальный [[Экстремум|максимум/минимум]] при значении аргумента, равном <math>x</math>, то <math>f'(x)=0</math> (это так называемая [[лемма Ферма]]);
* производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
* <math>(f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x)f'(x)} {f(x)}\right ) (\forall x \in D_f:   f(x)>0) </math>
{{Доказ1|
<math>
y=f(x)^{g(x)}
</math>

<math>
\ln y = g(x) \ln f(x)</math>

<math>
\frac {y'} {y} = g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x) f'(x)} {f(x)}
</math>

<math>
y' = y \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x) f'(x)} {f(x)}\right )
</math>

<math>
y' = f(x)^{g(x)} (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x) f'(x)} {f(x)})
</math>
}}

== Таблица производных некоторых функций ==
{{Основная статья|Таблица производных}}
{| class="wikitable"
|-
! Функция <math>f(x)</math> !! Производная <math>f'(x)</math>!! Примечание
|-
| <math>x^\alpha</math>||<math>\alpha \cdot x^{\alpha-1}</math> || {{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: Фиксируем <math>x \in \mathbb{D}(f)</math>, придадим приращение аргументу <math>\Delta x</math>. Вычислим приращение функции: <math>\Delta y=(x+\Delta x)^\alpha -x^\alpha=x^\alpha((1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1)</math>, т.о <math>(x^\alpha)'= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{x^\alpha((1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1)}{\Delta x}}=</math>[[Бесконечно малая и бесконечно большая#Эквивалентные величины|См.]]<math>=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\alpha\cdot x^\alpha\cdot \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}</math>

}}
|-
| <math>a^x</math> || <math>a^x\cdot\ln {a}</math> || {{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: Фиксируем <math>x \in \mathbb{D}(f)</math>, придадим приращение аргументу <math>\Delta x</math>. Вычислим приращение функции: <math>\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x(a^{\Delta x}-1)</math>, т.о <math>(a^x)'= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=</math>[[Бесконечно малая и бесконечно большая#Эквивалентные величины|См.]]<math>=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^x\cdot\Delta x \cdot \ln {a }}{\Delta x}=a^x\cdot\ln {a}</math>

}}

|-
| <math>\log_a {x}</math> || <math>\frac{1}{x\cdot \ln {a}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(\log_{a}x)' = \frac{1}{\ln{a}} \cdot (\ln{x}) '</math>

Узнаем производную <math>\ln{x}</math> через [[Производная обратной функции|производную обратной функции]]:

<math>y_x = \ln{x} \Rightarrow x_y = e^y,</math>

<math>y_x' = (\ln{x})' = \frac{1}{(e^y)'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x }</math>

Получаем:

<math>(\log_a{x})' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}</math>
}}
|-
| <math>\sin x</math> || <math>\cos x</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: Фиксируем <math>x \in \mathbb{D}(f)</math>, придадим приращение аргументу <math>\Delta x</math>. Вычислим приращение функции: <math>\Delta y=sin(x + \Delta x) - sin(x) = 2sin(\frac{x + \Delta x - x}{2}) \cdot cos(\frac{x + \Delta + x}{2}) = 2sin(\frac{\Delta x}{2}) \cdot cos(x + \frac{\Delta x}{2})</math>, т.о <math>\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{2sin(\frac{\Delta x}{2}) \cdot cos(x + \frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{sin(\frac{\Delta x}{2}) \cdot cos(x + \frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac {sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}}</math>([[Замечательные пределы|См.]]) <math> \cdot \lim_{\Delta x \to 0}{cos(x + \frac{\Delta x}{2})}=cos(x)</math>
}}
|-
| <math>\cos x</math> || <math>-\sin x</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: Фиксируем <math>x \in \mathbb{D}(f)</math>, придадим приращение аргументу <math>\Delta x</math>. Вычислим приращение функции: <math>\Delta y=cos(x + \Delta x) - cos(x) = -2sin(\frac{x + \Delta x + x}{2}) \cdot sin(\frac{x + \Delta - x}{2}) = -2sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot sin(\frac{\Delta x}{2})</math>, т.о <math>\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta \to 0}{\frac{-2sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}}=\lim_{\Delta \to 0}{\frac{-sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac {sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}}</math>([[Замечательные пределы|См.]]) <math> \cdot \lim_{\Delta x \to 0}{-sin(x + \frac{\Delta x}{2})}=-sin(x)</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{tg}\ x</math> || <math>\frac{1}{\cos^2{x}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: Фиксируем <math>x \in \mathbb{D}(f)</math>, придадим приращение аргументу <math>\Delta x</math>. Вычислим приращение функции: <math>\Delta y = tg(x + \Delta x) - tg(x) = \frac{sin(x + \Delta x - x)}{cos(x + \Delta x)\cdot cos(x)} = \frac{sin(\Delta x)}{cos(x + \Delta x) \cdot cos(x)} </math>, т.о.<br><math>\lim_{x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\frac{sin(\Delta x)}{cos(x + \Delta x) \cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}} \cdot</math>([[Замечательные пределы|См.]]) <math> \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{1}{cos(x + \Delta x) \cdot cos(x)}} = \frac{1}{cos^2(x)} </math>
}}
{{Hider|
  title = Доказательство 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(tg x)' = (\frac{sin (x)}{cos (x)})' = \frac{(sin (x))' \cdot cos (x) - sin (x) \cdot (cos (x))'}{cos^2(x)} = \frac{cos(x) \cdot cos (x) - sin(x) \cdot (-sin (x))}{cos^2(x)} = \frac{cos^2(x) + sin^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{ctg}\ x</math> || <math>-\frac{1}{\sin^2{x}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(ctg x)' = (\frac{cos (x)}{sin (x)})' = \frac{(cos (x))' \cdot sin (x) - cos (x) \cdot (sin (x))'}{sin^2(x)} = \frac{-sin(x) \cdot sin (x) + cos(x) \cdot cos (x)}{sin^2(x)} = -\frac{sin^2(x) + cos^2(x)}{sin^2(x)} = -\frac{1}{sin^2(x)}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{sec}\ x</math> || <math>\mathrm{sec}\ x \cdot \mathrm{tg}\ x</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(sec(x))' = (\frac{1}{cos(x)})' = \frac{(1)' \cdot cos(x) - 1 \cdot (cos(x))'}{cos^2(x)} = \frac{sin(x)}{cos^2(x)} = sec(x) \cdot tg(x)</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{cosec}\ x</math> || <math>-\mathrm{cosec}\ x \cdot \mathrm{ctg}\ x</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(cosec(x))' = (\frac{1}{sin(x)})' = \frac{(1)' \cdot sin(x) - 1 \cdot (sin(x))'}{sin^2(x)} = -\frac{cos(x)}{sin^2(x)} = -coses(x) \cdot ctg(x)</math>
}}
|-
| <math>\arcsin{x}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.<br>
<math>sin(arcsin((x)) = x</math><br>
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.<br>
<math>[sin(arcsin((x))]' = x'</math><br>
<math>cos(arcsin(x)) \cdot (arcsin(x))' = 1</math><br>
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{cos(arcsin(x))}</math><br>
Исходя из тригонометрического тождества(<math>sin^2 x + cos^2 x = 1</math>) — получаем.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{\pm\sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))}}</math><br>
Для того чтобы определить знак корня в знаменателе нужно взглянуть на область значений арксинуса.<br>
<math>E(arcsin(x)) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]</math><br>
Так как косинус находится в 1-й и 4-й четвертях, то косинус положительный.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))}}</math><br>
Отсюда<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
}}
|-
| <math>\arccos{x}</math> || <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:<br>
<math>arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}</math><br>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br>
<math>[arcsin(x) + arccos(x)]' = (\frac{\pi}{2})'</math><br>
<math>(arcsin(x))' + (arccos(x))' = 0</math><br>
Теперь выражаем производную арккосинуса.<br>
<math>(arccos(x))' = -(arcsin(x))'</math><br>
Получается.<br>
<math>(arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arctg}\ x</math> || <math>\frac{1}{1+x^2}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функии:<br>
<math>tg(arctg(x)) = x</math><br>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br>
<math>[tg(arctg(x))]' = 1</math><br>
<math>\frac{1}{cos^2(arctg(x))} \cdot (arctg(x))' = 1</math><br>
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:<br>
<math>(arctg(x))' = cos^2(arctg(x))</math><br>
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество(<math>cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2(x)}}</math>):<br>
<math>(arctg(x))' =  (\frac{1}{\sqrt{1 + tg^2(arctg(x))}})^2</math><br>
Получается.<br>
<math>(arctg(x))' = \frac{1}{1 + x^2}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arcctg}\ x</math> || <math>-\frac{1}{1+x^2}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:<br>
<math>arctg(x) + arcctg(x) = \frac{\pi}{2}</math><br>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br>
<math>[arctg(x) + arcctg(x)]' = (\frac{\pi}{2})'</math><br>
<math>(arctg(x))' + (arcctg(x))' = 0</math><br>
Теперь выражаем производную арккотангенса.<br>
<math>(arcctg(x))' = -(arctg(x))'</math><br>
Получается.<br>
<math>(arcctg(x))' = -\frac{1}{1+x^2}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arcsec}\ x</math> || <math>\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:

<math>arcsec(x) = arccos(\frac{1}{x})</math>

Теперь находим производную обеих частей этого тождества.

<math>(arcsec(x))' = (arccos(\frac{1}{x}))'</math>

<math>(arcsec(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot (-\frac{1}{x^2})</math>

<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}}</math>

<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}}</math>

Получается.

<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arccosec}\ x</math> || <math>-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:<br>
<math>arccosec(x) + arcsec(x) = \frac{\pi}{2}</math><br>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br>
<math>[arccosec(x) + arcsec(x)]' = (\frac{\pi}{2})'</math><br>
<math>(arccosec(x))' + (arcsec(x))' = 0</math><br>
Теперь выражаем производную арккосинуса.<br>
<math>(arccosec(x))' = -(arcsec(x))'</math><br>
Получается.<br>
<math>(arccosec(x))' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{sh}\ x</math> || <math>\mathrm{ch}\ x</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(\operatorname{sh}{x})' = 
\left ( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right )' = 
\frac{1}{2} \cdot (e^x - e^{-x})' = 
\frac{1}{2} \cdot (e^x - (-1) \cdot e^{-x}) = 
\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 
\operatorname{ch}{x}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{ch}\ x</math> || <math>\mathrm{sh}\ x</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(\operatorname{ch}{x})' = 
\left ( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right )' = 
\frac{1}{2} \cdot (e^x + e^{-x})' = 
\frac{1}{2} \cdot (e^x + (-1) \cdot e^{-x}) = 
\left ( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right ) = 
\operatorname{sh}{x}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{th}\ x</math> || <math>\frac{1}{\mathrm{ch}^2\ x}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(th (x))' = (\frac{sh (x)}{ch (x)})' = \frac{(sh (x))' \cdot ch (x) - sh (x) \cdot (ch (x))'}{ch^2(x)} = \frac{ch(x) \cdot ch (x) - sh(x) \cdot sh (x)}{ch^2(x)} = \frac{ch^2(x) - sh^2(x)}{ch^2(x)} = \frac{1}{ch^2(x)}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{cth}\ x</math> || <math>-\frac{1}{\mathrm{sh}^2\ x}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(cth x)' = (\frac{ch (x)}{sh (x)})' = \frac{(ch (x))' \cdot sh (x) - ch (x) \cdot (sh (x))'}{sh^2(x)} = \frac{sh(x) \cdot sh (x) - ch(x) \cdot ch (x)}{sh^2(x)} = \frac{sh^2(x) - ch^2(x)}{sh^2(x)} = -\frac{1}{sh^2(x)}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{sch}\ x</math> || <math>-\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}^2(x)}</math>||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(sch(x))' = (\frac{1}{ch(x)})' = \frac{(1)' \cdot ch(x) - 1 \cdot (ch(x))'}{ch^2(x)} = -\frac{sh(x)}{ch^2(x)}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{csch}\ x</math> || <math>-\frac{\operatorname{ch}(x)}{\operatorname{sh}^2(x)}</math>||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(csch(x))' = (\frac{1}{sh(x)})' = \frac{(1)' \cdot sh(x) - 1 \cdot (sh(x))'}{sh^2(x)} = -\frac{ch(x)}{sh^2(x)}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arsh}\ x</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(arsh (x))' = (\ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x + \sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot ((x)' + (\sqrt{x^2 + 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + (\sqrt{x^2 + 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{(x + \sqrt{x^2 + 1}) \cdot (\sqrt{x^2 + 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arch}\ x</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>(arch (x))' = (\ln{(x + \sqrt{x^2 - 1})})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x + \sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot ((x)' + (\sqrt{x^2 - 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (1 + (\sqrt{x^2 - 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}}) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{(x + \sqrt{x^2 - 1}) \cdot (\sqrt{x^2 - 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arth}\ x</math> || <math>\frac{1}{1 - x^2}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})' = \biggl(\frac{1}{2} \cdot \ln\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggl)\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{(1+x)'(1-x) - (1+x)(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x^2}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arcth}\ x</math> || <math>\frac{1}{1 - x^2}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})' = \biggl(\frac{1}{2} \cdot \ln\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{(x+1)'(x-1) - (x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{1}{1-x^2}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arsech}\ x</math> || <math>-\frac{1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}</math> ||
|-
| <math>\mathrm{arcsch}\ x</math> || <math>-\frac{1}{x(x+1)\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}</math>||
|}

== Производная вектор-функции по параметру ==
Определим производную [[Вектор-функция|вектор-функции]] <math>\mathbf{r}(t)</math> по параметру:

: <math>\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}</math>.

Если производная в точке <math>t</math> существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут <math>x'(t),\ y'(t),\ z'(t)</math>.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
* <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}</math> — производная суммы есть сумма производных.
* <math>\frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}</math> — здесь <math>f(t)</math> — дифференцируемая [[Числовая функция|скалярная функция]].
* <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}</math> — дифференцирование [[Скалярное произведение|скалярного произведения]].
* <math>\frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t),\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt},\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t), \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right]</math> — дифференцирование [[Векторное произведение|векторного произведения]].
* <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right)</math> — дифференцирование [[Смешанное произведение|смешанного произведения]].

== Способы задания производных ==
* Производная Джексона<ref>{{Cite web |url=http://www.essuir.sumdu.edu.ua/bitstream/123456789/2746/1/Statistical%20field%20theories%20deformed%20within%20different%20calculi.pdf |title=A.I. Olemskoi, S.S. Borysov,a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi |access-date=2014-04-21 |archive-date=2017-09-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170921231301/http://essuir.sumdu.edu.ua/bitstream/123456789/2746/1/Statistical%20field%20theories%20deformed%20within%20different%20calculi.pdf |deadlink=no }}</ref>:
: <math>D_{x}^{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.</math>

== Вариации и обобщения ==
* [[Производная (обобщение)|Обобщения производных]]
** [[Дробная производная]]
** [[Производная Пеано]]
** [[Частная производная]]

== См. также ==
{{кол}}
* [[Таблица производных]]
* [[Производная (математика)]]
* [[Дифференцирование сложной функции]]
* [[Производная обратной функции]]
* [[Дифференцируемая функция]]
* [[Основная теорема анализа]]
* [[Геометрический смысл производной]]
* [[Производная по направлению]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья
 |автор    = Виленкин Н., Мордкович А.
 |заглавие = Что такое производная
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  =  Квант  
 |тип      = 
 |год      = 1975 
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      = 
 |номер    =  12
 |страницы = 
 |doi      = 
 |issn     = 
}}
* ''[[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]],'' Что такое дифференцирование?, «[[Популярные лекции по математике]]», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
* ''В. А. Гусев'', ''А. Г. Мордкович'' «Математика»
* ''Г. М. Фихтенгольц'' «Курс дифференциального и [[Интегральное исчисление|интегрального исчисления]]», том 1
* ''В. М. Бородихин'', [https://ciu.nstu.ru/kaf/vm/a/file_get/123265?nomenu=1 Высшая математика], учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

== Ссылки ==
* [https://resh.edu.ru/subject/lesson/4923/main/200984/ Определение производной. Физический смысл производной]
* [https://resh.edu.ru/subject/lesson/3954/main/201015/ Правила дифференцирования]
* [https://planetcalc.ru/675/ Онлайн калькулятор производных с подробным пошаговым решением на русском языке]
* [http://www.mathforyou.net/DerivTable.html Таблица производных]
* «[https://zero2hero.org/article/math/24-proizvodnaya-integral-bankovskiy-schet Что такое производная — на примере с банковским счётом]» — перевод статьи [https://betterexplained.com/articles/understanding-calculus-with-a-bank-account-metaphor/ Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor | BetterExplained]{{ref-en}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Дифференциальное исчисление]]
[[Категория:Функции]]
[[Категория:Математический анализ]]