Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Эта статья — о теореме о параллельных секущих. О теореме Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности см. Теорема об угле, опирающемся на диаметр окружности.

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках

Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:

${\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.$

Замечания

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае не параллельных прямых

Доказательство теоремы Фалеса

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые $AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$ и при этом $AB=CD$.

1. Проведём через точки $A$ и $C$ прямые, параллельные другой стороне угла. $AB_{2}B_{1}A_{1}$ и $CD_{2}D_{1}C_{1}$. Согласно свойству параллелограмма: $AB_{2}=A_{1}B_{1}$ и $CD_{2}=C_{1}D_{1}$.
2. Треугольники $\bigtriangleup ABB_{2}$ и $\bigtriangleup CDD_{2}$ равны на основании второго признака равенства треугольников

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

История

Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «НачалахЭлементах Евклида» Евклида (предложение 2 книги VI).

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что ${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$, следует, что $A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

Пусть $f$ — проективное соответствие между точками прямой $l$ и прямой $m$. Тогда множество прямых $Xf(X)$ будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть $f$ — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых $Xf(X)$ будет коника (возможно, вырожденная).

В культуре

• Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме;

• Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.

См. также

• Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Литература

• Геометрия по Киселёву, § 188.

• Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7—9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.