Групповое кольцо

Групповое кольцо — конструкция кольца из кольца и группы.

Определение

Пусть $K$ - кольцо, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle G=\{g_1,...,g_n\}} - конечная группы. Тогда групповым кольцом $K[G]$ называется множество выражений вида $\alpha =\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}g_{k}=a_{1}g_{1}+...+a_{n}g_{n}$, которые складываются и умножаются как элементы обычного кольца:

Если $\alpha =\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}g_{k},\ \beta =\sum \limits _{k=1}^{n}b_{k}g_{k}$, то

$\alpha +\beta =\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})g_{k}$

$\alpha \cdot \beta =\sum \limits _{k=1}^{n}\left(\sum \limits _{g_{i}g_{j}=g_{k}}a_{j}b_{j}\right)g_{k}$

Свойства

• Если $K$ и $G$ - коммутативны, то $K[G]$ коммутативно.
• Если $K$ - кольцо с единицей, то $K[G]$ - кольцо с единицей.
• Вложение $G$ в $K[G]$ образует базис группового кольца.
• Если $H$ - подгруппа $G$, то $K[H]$ - подкольцо кольца $K[G]$.

Литература

• Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.