Дивергенция Йенсена — Шеннона

Дивергенция Йенсена — Шеннона — это метод измерения похожести двух распределений вероятностей. Она известна также как информационный радиус или полное отклонение от среднего. Дивергенция базируется на дивергенции Кульбака — Лейблера с некоторыми существенными (и полезными) отличиями, среди которых, что она симметрична и всегда имеет конечное значение. Квадратный корень из дивергенции Йенсена — Шеннона является метрикой, которая часто упоминается как расстояние Йенсена — Шеннона.

Определение

Рассмотрим множество $M_{+}^{1}(A)$ распределений вероятности, где A — это множество, снабжённое некоторой сигма-алгеброй измеримых подмножеств. В частности, мы можем взять в качестве A конечное или счётное множество, в котором все подмножества измеримы.

Дивергенция Йенсена — Шеннона (англ. Jensen–Shannon divergence, JSD) $M_{+}^{1}(A)\times M_{+}^{1}(A)\rightarrow [0,\infty {})$ — это симметризованная и сглаженная версия дивергенции Кульбака — Лейблера $D(P\parallel Q)$. Она определяется как

${\rm {JSD}}(P\parallel Q)={\frac {1}{2}}D(P\parallel M)+{\frac {1}{2}}D(Q\parallel M)$,

где $M={\frac {1}{2}}(P+Q)$

Недавно было предложено обобщение дивергенции Йенсена — Шеннона, в котором вместо арифметического среднего используется абстрактное среднее (наподобие геометрического или гармонического среднего). Геометрическая дивергенция Йенсена — Шеннона (англ. G-Jensen–Shannon divergence) даёт явную a формулу дивергенции между двумя гауссовыми распределениями путём применения геометрического среднего.

Более общее определение, позволяющее сравнить более двух распределений вероятности (См):

${\rm {JSD}}_{\pi _{1},\ldots ,\pi _{n}}(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n})=H\left(\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}P_{i}\right)-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}H(P_{i})$,

где $\pi _{1},\ldots ,\pi _{n}$ являются весами, выбранными для распределений вероятности $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$, а $H(P)$ является энтропией Шеннона для распределения $P$. Для случая двух распределений

$P_{1}=P,P_{2}=Q,\pi _{1}=\pi _{2}={\frac {1}{2}}.\$

Границы

Дивергенция Йенсена — Шеннона ограничена 1 для двух распределений вероятности, если (в дивергенции Кульбака — Лейблера) используется логарифм по основанию 2

$0\leqslant {\rm {JSD}}(P\parallel Q)\leqslant 1$

С такой нормализацией дивергенция Йенсена — Шеннона является нижней границей полного расстояния вариации между P и Q:

${\rm {JSD}}(P\parallel Q)\leqslant {\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{\omega \in \Omega }|P(\omega )-Q(\omega )|.$

Для натурального логарифма, который обычно используется в статистической термодинамике, верхняя граница равна ln(2):

$0\leqslant {\rm {JSD}}(P\parallel Q)\leqslant \ln(2)$

Дивергенция Йенсена — Шеннона ограничена величиной $\log _{2}(n)$ для более двух распределений вероятности, если используется логарифм по основанию 2

$0\leqslant {\rm {JSD}}_{\pi _{1},\ldots ,\pi _{n}}(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n})\leqslant \log _{2}(n)$

Связь со взаимной информацией

Дивергенция Йенсена — Шеннона является взаимной информацией между случайной переменной $X$, ассоциированной со смесью распределений между $P$ и $Q$ и двоичной индикаторной переменной $Z$, которая используется для переключения между $P$ и $Q$ для получения смеси. Пусть $X$ будет некоторой функцией на множестве событий, которая хорошо различает события, и выберем значение $X$ согласно $P$, если $Z=0$, и согласно $Q$, если $Z=1$, где $Z$ равновероятно. То есть мы выбираем $X$ согласно мере $M=(P+Q)/2$, и его распределение является смесью распределений. Мы вычисляем

${\begin{aligned}I(X;Z)&=H(X)-H(X|Z)\\&=-\sum M\log M+{\frac {1}{2}}\left[\sum P\log P+\sum Q\log Q\right]\\&=-\sum {\frac {P}{2}}\log M-\sum {\frac {Q}{2}}\log M+{\frac {1}{2}}\left[\sum P\log P+\sum Q\log Q\right]\\&={\frac {1}{2}}\sum P\left(\log P-\log M\right)+{\frac {1}{2}}\sum Q\left(\log Q-\log M\right)\\&={\rm {JSD}}(P\parallel Q)\end{aligned}}$

Из результатов выше следует, что дивергенция Йенсена — Шеннона ограничена 0 и 1, поскольку взаимная информация неотрицательна и ограничена величиной $H(Z)=1$. Дивергенция Йенсена — Шеннона не всегда ограничена 0 и 1 — здесь верхняя граница 1 возникает из-за того, что мы рассматриваем конкретный случай двоичной переменной $Z$.

Можно применить тот же принцип для совместного распределения и произведения этих двух крайних распределений (по аналогии с дивергенцией Кульбака — Лейблера и взаимной информацией) и измерить, насколько достоверно можно решить, что результат получен от совместного распределения или от произведения распределений при предположении, что имеются только эти две возможности.

Квантовая дивергенция Йенсена — Шеннона

Обобщение распределений вероятности на матрицы плотности позволяет определить квантовую дивергенцию Йенсена — Шеннона (англ. quantum Jensen–Shannon divergence, QJSD). Она определяется для множества матриц плотности $(\rho _{1},\ldots ,\rho _{n})$ и распределений вероятности $\pi =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})$ как

${\rm {QJSD}}(\rho _{1},\ldots ,\rho _{n})=S\left(\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}S(\rho _{i})$

где $S(\rho )$ является энтропией фон Неймана плотности $\rho$. Эта величина вводится в теории квантовой информации, где называется информацией Холево — она даёт верхнюю границу для количества классической информации, закодированной квантовыми состояниями $(\rho _{1},\ldots ,\rho _{n})$ при априорных распределениях $\pi$ (см. статью «Теорема Холево»). Квантовая Дивергенция Йенсена — Шеннона для $\pi =\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ и двух матриц плотности является ограниченной всюду заданной симметричной функцией и равна нулю, только если две матрицы плотности совпадают. Она равна квадрату метрики чистых состояний и недавно было показано, что это метрическое свойство выполняется и для смешанных состояний. Метрика Бюреса тесно связана с квантовой дивергенцией Йенсена — Шеннона и является квантовым аналогом информационной метрики Фишера.

Обобщение

Нильсен ввёл косую K-дивергенцию: $K_{\alpha }(p||q)=\mathrm {KL} (p||(1-\alpha )p+\alpha q)=\int p(x)\log {\frac {p(x)}{(1-\alpha )p(x)+\alpha q(x)}}\mathrm {d} x.$ Отсюда получаем однопараметрическое семейство дивергенций Йенсена — Шеннона, называемое $\alpha$-дивергенциями Йенсена — Шеннона:

$\mathrm {JS} _{\alpha }(p,q)={\frac {1}{2}}\left(K_{\alpha }(p||q)+K_{\alpha }(q||p)\right)=\mathrm {JS} _{\alpha }(q,p),$

которое включает дивергенцию Йенсена — Шеннона (для $\alpha ={\frac {1}{2}}$) и половину дивергенции Джеффриса (для $\alpha =1$).

Приложения

Дивергенция Йенсена — Шеннона применяется в биоинформатике и сравнении геномов, при сравнении поверхностей белков, в общественных науках, при количественных исследованиях в истории, экспериментах с огнём и машинном обучении .

Литература для дальнейшего чтения

• Frank Nielsen (2010). "A family of statistical symmetric divergences based on Jensen's inequality". arXiv:1009.4004 [cs.CV].

Ссылки

• Ruby gem for calculating JS divergence
• Python code for calculating JS divergence
• THOTH: a python package for the efficient estimation of information-theoretic quantities from empirical data
• statcomp R library for calculating complexity measures including Jensen-Shannon Divergence