Многочлены Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Норма
Названы в честь Лежандр, Адриен Мари

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

[править | править код]

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

[править | править код]

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где  — гипергеометрическая функция. Подстановка в (2) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

и

Выражение через суммы

[править | править код]

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

Рекуррентная формула

[править | править код]

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при )[4]:

причём первые две функции имеют вид

Производная полинома Лежандра

[править | править код]

Вычисляется по формуле[5]

Корни полинома Лежандра

[править | править код]

Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]:

причём начальное приближение для -го корня () берётся по формуле[5]

Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями

[править | править код]

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

  для  
  для  

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра

[править | править код]

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При функция совпадает с .

Нормировка по правилу Шмидта

[править | править код]

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6]:

Сдвинутые многочлены Лежандра

[править | править код]

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как , где сдвигающая функция (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов на интервал , в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены :

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n
0
1
2
3
4

Матрица функции многочлена Лежандра

[править | править код]

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Первые 6 многочленов Лежандра

Первые многочлены Лежандра в явном виде:

Поскольку , то

  • Если , то
  • Для степень равна .
  • Сумма коэффициентов многочлена Лежандра равна 1.
  • Уравнение имеет ровно различных корней на отрезке
  • Пусть . Тогда
  • Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения
При уравнение принимает вид
  • Производящая функция для многочленов Лежандра равна
  • Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :
где  — символ Кронекера.
  • Для норма равна
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:
  • При каждом система присоединённых функций Лежандра полна в .
  • В зависимости от и присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
     — чётная функция,
     — нечётная функция.
  • , поскольку , а .
  • Для выполняется .

Ряды многочленов Лежандра

[править | править код]

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

[править | править код]

Липшицевая функция является функцией со свойством

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшицеву функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции

[править | править код]

Всякая функция , голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения

[править | править код]

Для величин, удовлетворяющих условиям , , ,  — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[7]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[8]

при условиях , , , .

Функции Лежандра

[править | править код]

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

Примечания

[править | править код]
  1. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039.
  2. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127.
  3. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140.
  4. Цимринг, 1988, с. 196.
  5. 1 2 3 Цимринг, 1988, с. 197.
  6. John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — Edition 4 for Octave version 4.4.1. — 2018. — С. 530—531. Архивировано 19 февраля 2018 года.
  7. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027.
  8. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028.

Литература

[править | править код]
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
  • Цимринг Ш. Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.