Градиент

Эта статья о векторе; о способе заливки см. Градиент (компьютерная графика).

Оператор градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем они длиннее, тем круче наклон

Градие́нт (от лат. gradiens — «шагающий, растущий»)  — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $\varphi$ (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Этот вектор ортогонален изоповерхности $\varphi =$ const.

Градиент поля $\varphi$ обозначается: $\mathrm {grad} \ \varphi$. По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины $\varphi$ в направлении вектора. Например, если взять в качестве $\varphi$ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение $\mathrm {grad}$ тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением $(\mathrm {grad} \,\varphi )$ часто используется компактная запись с использованием оператора набла: $\nabla \varphi .$

Иллюстрация применения

Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля $T$, не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами $x$, $y$, $z$ температура равняется $T(x,y,z)$. В каждой точке комнаты градиент функции $T$ будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение и вычисление

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции $\varphi =\varphi (x,y,z)$ координат $x$, $y$, $z$ называется векторная функция с компонентами

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.$

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат ${\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}$:

$\mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.$

Если $\varphi$ — функция $n$ переменных $x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}$, то её градиентом называется $n$-мерный вектор

$\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),$

компоненты которого равны частным производным $\varphi$ по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
• Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции $f$ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $d\mathbf {x}$ даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена $f$, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения $f$ при смещении на $d\mathbf {x}$. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).$

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат $x_{i}$, полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $d\mathbf {x}$ — это вектор, градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}$

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

$\iiint \limits _{V}\nabla \varphi \,dV=\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s}$,

градиент можно выразить в интегральной форме:

$\nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \right),$

здесь ${\it {S}}$ — замкнутая поверхность охватывающая объём ${\it {{V},d\mathbf {s} }}$ — нормальный элемент этой поверхности.

Пример

Например, градиент функции $\varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z$ будет представлять собой:

$\nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).$

Некоторые применения

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $\varphi$:

$\gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid \varphi (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h\}.$

Нетрудно показать, что градиент функции $\varphi$ в точке ${\vec {x}}{\,}^{0}$ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности ${\vec {x}}{\,}^{0}$, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала:

${\vec {E}}=-\nabla \varphi$;

напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала:

${\vec {E}}_{gr}=-\nabla \varphi _{gr}$.

Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии:

${\vec {F}}=-\nabla U_{p}$.

Диффузионный поток, согласно первому закону Фика, пропорционален градиенту концентрации вещества:

${\vec {J}}=-D\nabla C$,

где $D$ — коэффициент диффузии.

Направление вектора ${\vec {E}}$, ${\vec {E}}_{gr}$, ${\vec {F}}$, ${\vec {J}}$ перпендикулярно поверхности постоянной величины $\varphi =$ const, $\varphi _{gr}=$ const, $U_{p}=$ const и $C=$ const, соответственно.

В других естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $\varphi$ по направлению ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ равняется скалярному произведению градиента $\varphi$ на единичный вектор ${\vec {e}}$:

${\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e}}).$

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname {grad} \,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},$

где $H_{i}$ — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\end{matrix}}.$

Отсюда:

$\operatorname {grad} \,U(r,\;\theta )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.$

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix}}.$

Отсюда:

$\operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\;\;\;\;\;\;\\H_{2}=r\;\;\;\;\;\;\\H_{3}=r\sin {\theta }\end{matrix}}.$

Отсюда:

$\operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.$

Вариации и обобщения

Пусть $u\colon X\to Y$ — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция $\rho \colon X\to \mathbb {R}$ называется верхним градиентом $u$ если следующее неравенство

$|u(p)-u(q)|_{Y}\leq \int \limits _{\gamma }\rho$

выполняется для произвольной спрямляемой кривой $\gamma$, соединяющей $p$ и $q$ в $X$.

См. также

• 4-градиент
• Векторный анализ
• Градиент концентрации
• Градиентные методы
• Оператор Кэнни
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Формулы векторного анализа

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения: уч. пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М. : Наука, 1965.
• Купцов Л. П. Градиент // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — Стб. 1080. — 1152 с.
• Рашєвский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — М. : Наука, 1967.

Ссылки

• Что такое градиент на YouTube
• Weisstein, Eric W. Gradient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.